Polinomski faktoring: vrste, primeri in vaje

Faktoring je postopek, ki se uporablja v matematiki in je sestavljen iz predstavljanja števila ali izraza kot produkta faktorjev.

S pisanjem polinoma, kot je množenje drugih polinomov, lahko pogosto poenostavimo izraz.

Spodaj si oglejte vrste polinomske faktorizacije:

Skupni dejavnik dokazov

To vrsto razčlenjevanja uporabljamo, kadar obstaja dejavnik, ki se ponovi v vseh pogledih polinoma.

Ta faktor, ki lahko vsebuje številke in črke, bo postavljen pred oklepaje.

Znotraj oklepajev bo rezultat deljenja vsakega člana polinoma s skupnim faktorjem.

V praksi naredimo naslednje korake:

1º) Ugotovite, ali obstaja številka, ki deli vse koeficiente polinoma in črke, ki se ponavljajo v vseh izrazih.
2º) Pred oklepaje (kot dokazilo) postavite skupne dejavnike (številko in črke).
3.) V oklepaje dajte rezultat deljenja vsakega faktorja polinoma s faktorjem, ki je v evidenci. Pri črkah uporabljamo pravilo delitve pristojnosti iste baze.

Primeri

a) Kakšna je faktorska oblika polinoma 12x + 6y - 9z?

Najprej ugotovimo, da je število 3 deli vse koeficiente in da ni črke, ki bi se ponavljala.

Število 3 postavimo pred oklepaje, vse izraze delimo s tri in rezultat, ki ga vstavimo v oklepaje:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Faktor 2a²b + 3a³c - a⁴.

Ker ni nobene številke, ki bi delila 2, 3 in 1 hkrati, pred oklepaji ne bomo postavili nobene številke.

Pismo The se ponovi v vseh izrazih. Skupni dejavnik bo The², kar je najmanjši eksponent The v izražanju.

Vsak člen polinoma delimo z The²:

2.² b:² = 2.^{2 - 2} b = 2b

3.³c:² = 3.^{3 - 2} c = 3ac

The⁴: a² =²

Postavili smo The² pred oklepaji in rezultati delitev znotraj oklepajev:

2.²b + 3a³c - a⁴ =² (2b + 3ac - a²)

razvrščanje v skupine

V polinumu, ki ne obstaja, faktor, ki se ponavlja v vseh izrazih, lahko uporabimo razčlenjevanje z razvrščanjem v skupine.

Za to moramo opredeliti izraze, ki jih je mogoče razvrstiti po skupnih dejavnikih.

Pri tej vrsti faktoriziranja dokazujemo skupne dejavnike združevanja.

Primer

Faktor polinoma mx + 3nx + my + 3ny

Pogoji mx in 3nx ima skupni dejavnik x. že pogoje moj in 3ny imajo skupni dejavnik y.

V dokaz teh dejavnikov:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Upoštevajte, da se (m + 3n) zdaj ponavlja tudi v obeh izrazih.

Ponovno ga dokažemo, da najdemo faktorsko obliko polinoma:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Popoln kvadratni trinom

Trinomi so polinomi s 3 členi.

Popolni kvadratni trinomi a² + 2ab + b² in² - 2ab + b² rezultat izjemnega izdelka te vrste (a + b)² in (a - b)².

Tako bo razstavitev popolnega kvadratnega trinoma na faktorije:

The² + 2ab + b² = (a + b)² (kvadrat vsote dveh izrazov)

The² - 2ab + b² = (a - b)² (kvadrat razlike dveh izrazov)

Če želimo ugotoviti, ali je trinom res popoln kvadrat, naredimo naslednje:

1º) Izračunajte kvadratni koren izrazov, ki so videti na kvadrat.
2) Najdene vrednosti pomnožite z 2.
3.) Najdeno vrednost primerjajte z izrazom, ki nima kvadratov. Če so enaki, je popoln kvadrat.

Primeri

a) Faktor polinoma x² + 6x + 9

Najprej moramo preizkusiti, ali je polinom popoln kvadrat.

X² = x in √9 = 3

Pomnožimo z 2, ugotovimo: 2. 3. x = 6x

Ker je najdena vrednost enaka izrazu, ki ni na kvadrat, je polinom popoln na kvadrat.

Tako bo faktorizacija:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

b) Faktor polinoma x² - 8xy + 9y²

Testiranje, če gre za popoln kvadratni trinom:

X² = x in √9y² = 3 leta

Množenje: 2. x. 3y = 6xy

Najdena vrednost se ne ujema z izrazom polinoma (8xy ≠ 6xy).

Ker to ni popoln kvadratni trinom, ne moremo uporabiti te vrste faktorizacije.

Razlika dveh kvadratov

Faktor na polinome tipa a² - B² uporabljamo izjemen znesek vsote in razlike.

Tako bo faktorizacija polinoma te vrste:

The² - B² = (a + b). (a - b)

Če upoštevamo faktor, moramo izračunati kvadratni koren obeh izrazov.

Nato napiši zmnožek vsote najdenih vrednosti in razlike med temi vrednostmi.

Primer

Faktor 9x binoma² - 25.

Najprej poiščite kvadratni koren izrazov:

√9x² = 3x in √25 = 5

Te vrednosti zapišite kot zmnožek vsote in razlike:

9x² - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

popolna kocka

polinome a³ + 3.²b + 3ab² + b³ in³ - tretji²b + 3ab² - B³ rezultat izjemnega izdelka te vrste (a + b)³ ali (a - b)³.

Tako je upoštevana oblika popolne kocke:

The³ + 3.²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

The³ - tretji²b + 3ab² - B³ = (a - b)³

Če želimo take polinome razčleniti, moramo izračunati kubični koren izrazov na kocko.

Nato je treba potrditi, da je polinom popolna kocka.

Če je tako, izračunamo vsoto ali odštevanje vrednosti najdenih kubičnih korenin.

Primeri

a) Faktor polinoma x³ + 6x² + 12x + 8

Najprej izračunajmo kubični koren izrazov kocka:

³√ x³ = x in ³√ 8 = 2

Nato potrdite, ali gre za popolno kocko:

3. x². 2 = 6x²

3. x. 2² = 12x

Ker so najdeni izrazi enaki izrazom v polinomu, je to popolna kocka.

Tako bo faktorizacija:

x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³

b) Faktor polinoma a³ - 9.² + 27. - 27.

Najprej izračunajmo kubični koren izrazov na kocke:

³do³ = a in ³√ - 27 = - 3

Nato potrdite, ali gre za popolno kocko:

3. The². (-3) = - 9²

3. The. (- 3)² = 27.

Ker so najdeni izrazi enaki izrazom v polinomu, je to popolna kocka.

Tako bo faktorizacija:

The³ - 9.² + 27a - 27 = (a - 3)³

Preberite tudi vi:

• Potenciranje
• Polinomi
• Polinomska funkcija
• praštevila

Rešene vaje

Upoštevajte naslednje polinome:

a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -²
e) 9.² + 12. + 4

Glejte Odgovor

a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3a + 2)²

Glej tudi:

• Algebrski izrazi
• Vaje iz algebrskih izrazov
• Pomembni izdelki
• Pomembni izdelki - vaje