Eulerjeva relacija je enakost, ki povezuje število vozlišč, robov in ploskev v konveksnih poliedrjih. Piše, da je število obrazov plus število vozlišč enako številu robov plus dva.
Eulerjeva relacija je podana z:
Kje,
F je število obrazov,
V število oglišč,
THE število robov.
Z Eulerjevo relacijo lahko določimo ali potrdimo neznane vrednosti V, F ali A, kadar koli je polieder konveksen.
| Polieder | F | V | THE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| kocka | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| trikotna piramida | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Pentagonalna osnovna prizma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| pravilen oktaeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Primer
Konveksni polieder ima 20 ploskov in 12 oglišč. Določite število robov.
Z uporabo Eulerjeve relacije in izolacijo A:
Zamenjava vrednosti F in V:
Obrazi, oglišča in robovi
Poliedri so trdne, tridimenzionalne geometrijske oblike brez zaobljenih stranic. Te stranice so ploskve (F) poliedra.
Srečanje obrazov imenujemo robovi (A).
Točke so točke, kjer se srečajo trije ali več robov.
konveksni poliedri
Konveksni poliedri so geometrijska telesa, ki ne predstavljajo konkavnosti, zato na nobeni od njihovih ploskov ni notranjih kotov, večjih od 180º.
V tem poliedru ima notranji kot, označen z modro, več kot 180º, zato ne gre za konveksni polieder.
Oglejte si več o poliedri.
Vaje o Eulerjevi relaciji
vaja 1
Poiščite število obrazov v poliedru z 9 robovi in 6 oglišči.
Pravilen odgovor: 5 obrazov.
Uporaba Eulerjeve relacije:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
vaja 2
Dodekaeder je platonsko telo z 12 ploskvami. Če veste, da ima 20 vozlišč, določite njegovo število robov.
Pravi odgovor:
Uporaba Eulerjeve relacije:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
3. vaja
Kako se imenuje polieder s 4 oglišči in 6 robovi glede na število stranic, kjer so ploskve trikotniki?
Odgovor: Tetraeder.
Določiti moramo njegovo število obrazov.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Polieder, ki ima 4 ploskve v obliki trikotnikov, se imenuje tetraeder.
Kdo je bil Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) je bil eden najbolj izurjenih matematikov in fizikov v zgodovini, prav tako pa je prispeval k študiju astronomije. Nemško govoreči Švicar, je bil profesor fizike na Sankt Peterburški akademiji znanosti in kasneje na berlinski akademiji. Objavil je več študij o matematiki.
Naučite se tudi:
- Geometrijska telesa
- Prostorska geometrija
- Geometrijske oblike
- Prizma - geometrijska figura
- piramida
- Tlakovanje
- kocka
