Analitična geometrija proučuje geometrijske elemente v koordinatnem sistemu v ravnini ali prostoru. Ti geometrijski objekti so določeni z njihovo lokacijo in položajem glede na točke in osi tega orientacijskega sistema.
Od starih ljudstev, kot so Egipčani in Rimljani, se je ideja o koordinatah že pojavila v zgodovini. Toda to področje matematike je bilo sistematizirano v 17. stoletju z deli Renéja Descartesa in Pierra de Fermata.
Kartezijev ortogonalni sistem
Ortogonalni kartezijski sistem je referenčna osnova za lociranje koordinat. V ravnini ga sestavljata dve pravokotni osi, ki sta druga na drugo.
- Izhodišče O(0,0) tega sistema je presečišče teh osi.
- Os x je abscisa.
- Os y je ordinata.
- Štirje kvadranti so usmerjeni v nasprotni smeri urnega kazalca.
naročen par
Vsaka točka na ravnini ima koordinate P(x, y).
x je abscisa točke P in predstavlja razdaljo od njene ortogonalne projekcije na os x do izhodišča.
y je ordinata točke P in je razdalja od njene ortogonalne projekcije na os y do izhodišča.
razdalja med dvema točkama
Razdalja med dvema točkama na kartezični ravnini je dolžina odseka, ki povezuje ti dve točki.
Formula za razdaljo med dvema točkama in
kaj.
Koordinate sredine
Srednja točka je točka, ki deli segment na dva enaka dela.
Biti središče segmenta
, njegove koordinate so aritmetične sredine abscise in ordinate.
in
Pogoj tritočkovne poravnave
Glede na točke: .
Te tri točke bodo poravnane, če je determinanta naslednje matrike enaka nič.
Primer
Kotni koeficient premice
pobočju ravne črte je tangenta njenega naklona
glede na os x.
Za pridobitev naklona iz dveh točk:
Če je m > 0, je črta naraščajoča, v nasprotnem primeru, če je m < 0, je črta padajoča.
splošna enačba premice
Kje je,B in ç so konstantna realna števila in, The in B niso hkrati nični.
Primer
Linijska enačba, ki pozna točko in naklon
podana točka in naklon
.
Enačba črte bo:
Primer
Reducirana oblika ravne enačbe
Kje:
m je naklon;
n je linearni koeficient.
št je urejen tam, kjer premica seka os y.
Primer
Poglej Linijska enačba.
Relativni položaj med dvema vzporednima črtama v ravnini
Dve različni črti sta vzporedni, če sta njuna naklona enaka.
če naravnost r ima naklon , in naravnost s ima naklon
, sta vzporedna, ko:
Za to morajo biti vaša nagnjenja enaka.
Tangente so enake, ko so koti enaki.
Relativni položaj med dvema konkurenčnima ravnima v ravnini
Dve črti sta sočasni, če so njuni nagibi različni.
V zameno se pobočja razlikujejo, če so njihovi koti naklona glede na os x različni.
pravokotne črte
Dva ostanka sta pravokotna, če je produkt njunih pobočij enak -1.
dve ravnini r in s, izrazito, s pobočji in
, so pravokotne, če in samo če:
oz
Drug način, kako ugotoviti, ali sta dve premici pravokotni, je iz njihovih enačb v splošni obliki.
Enačbi premici r in s sta:
Dve premici, pravokotni nanjo, ko:
Poglej Navpične črte.
Obseg
Obseg je lokus na ravnini, kjer so vse točke P(x, y) enake razdalje r iz njegovega središča C(a, b), kjer r je mera polmera.
Obodna enačba v zmanjšani obliki
Kje:
r je polmer, razdalja med katero koli točko na vašem loku in središčem. Ç.
The in B so koordinate središča Ç.
splošna enačba kroga
Dobimo ga tako, da razvijemo kvadratne člene reducirane enačbe oboda.
Zelo pogosto je v vajah prikazati splošno obliko obodne enačbe, znano tudi kot normalna oblika.
stožčasti
Beseda stožec izvira iz stožca in se nanaša na krivulje, ki jih dobimo s prerezom. Elipsa, hiperbola in parabola so krivulje, imenovane stožčaste.
Elipsa
Elipsa je zaprta krivulja, ki jo dobimo s prerezom ravnega krožnega stožca z ravnino, poševno na os, ki ne poteka skozi oglišče in ni vzporedna z njenimi generatrikami.
V ravnini je množica vseh točk, katerih vsota razdalj do dveh notranjih fiksnih točk je konstantna.
Elementi elipse:
- F1 in F2 sta žarišča elipse;
- 2c je goriščna razdalja elipse. To je razdalja med F1 in F2;
- Točka O je središče elipse. To je sredina med F1 in F2;
- A1 in A2 sta oglišči elipse;
- segmentu
velika os in je enaka 2a.
- segmentu
mala os je enaka 2b.
- Ekscentričnost
kjer je 0 < in < 1.
Enačba z zmanjšano elipso
Razmislite o točki P(x, y), ki jo vsebuje elipsa, kjer je x abscisa in y ordinata te točke.
Središče elipse v izhodišču koordinatnega sistema in velika os (AA) na osi x.
Središče elipse v izhodišču koordinatnega sistema in velika os (AA) na osi y.
Zmanjšana enačba elipse z osemi, vzporednimi s koordinatnimi osemi
ob upoštevanju točke kot izvor kartezijanskega sistema in točka
kot središče elipse.
Glavna os AA, vzporedna z osjo x.
Glavna os AA, vzporedna z osjo y.
Hiperbola
Hiperbola je niz točk na ravnini, kjer razlika med dvema fiksnima točkama F1 in F2 povzroči konstantno pozitivno vrednost.
Elementi hiperbole:
- F1 in F2 sta žarišča hiperbole.
- 2c =
je goriščna razdalja.
- Bistvo je središče hiperbole O, Povprečje segmenta F1F2.
- A1 in A2 sta oglišči.
- 2a = A1A2 je realna ali prečna os.
- 2b = B1B2 je imaginarna ali konjugirana os.
-
je ekscentričnost.
Skozi trikotnik B1OA2
Hiperbola reducirana enačba
Z realno osjo okoli osi x in središčem v izvoru.
Z realno osjo na osi y in središčem v izvoru.
Hiperbola enačba z osemi, vzporednimi s koordinatnimi osmi
AA realna os vzporedna z osjo x in središčem .
Realna os AA vzporedna z osjo y in središčem .
Prispodoba
Parabola je lokus, kjer je množica točk P(x, y) enaka oddaljenosti od fiksne točke F in premice d.
Elementi prispodobe:
- F je središče prispodobe;
- d je ravna vodila;
- Os simetrije je ravna črta skozi fokus F in pravokotna na vodilnico.
- V je vrh parabole.
- p je odsek enake dolžine med fokusom F in točko V e, med točko in direktivo d.
Reducirane enačbe parabole
Z ogliščem v izhodišču in osjo simetrije na osi y.
Če je p>0 konkavnost navzgor.
Če je p<0 konkavnost navzdol.
Z ogliščem v izhodišču in osjo simetrije na osi x.
Če je p>0 konkavnost v desno.
Če je p<0 konkavnost v levo.
S simetrično osjo, vzporedno z osjo y in ogliščem .
S simetrično osjo, vzporedno z osjo x in ogliščem .
vadite z Vaje iz analitične geometrije.
Več o tem na:
Kartezijanski načrt
razdalja med dvema točkama
stožčasti
Izračun kotnega koeficienta
