Cosine Law: uporaba, primeri in vaje

THE Cosine Law se uporablja za izračun mere ene strani ali neznanega kota katerega koli trikotnika, ob poznavanju drugih mer.

Izjava in formule

Kosinusni izrek pravi, da:

"V poljubnem trikotniku je kvadrat na eni strani vsota kvadratov na drugih dveh straneh, minus dvakratnik zmnožka teh dveh stranic na kosinus kota med njima.."

Tako imamo po zakonu kosinusov naslednja razmerja med stranicama in koti trikotnika:

Primeri

1. Dve strani trikotnika merita 20 cm in 12 cm in med njima tvorita kot 120 °. Izračunajte meritev tretje strani.

Rešitev

Za izračun mere tretje strani bomo uporabili zakon kosinusov. Za to razmislimo:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (vrednost najdena v trigonometričnih tabelah).

Zamenjava teh vrednosti v formuli:

The² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
The² = 400 + 144 + 240
The² = 784
a = 784
a = 28 cm

Tretja stran torej meri 28 cm.

2. Določite mero stranice AC in mero kota z ogliščem v točki A na naslednji sliki:

Najprej določimo AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50.
B² = 164 – 160. cos 50.
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Zdaj pa določimo kotno mero po zakonu kosinusov:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Opomba: Za iskanje vrednosti kosinusnih kotov uporabimo Trigonometrična miza. V njem imamo vrednosti kotov od 1º do 90º za vsako trigonometrično funkcijo (sinus, kosinus in tangenta).

Uporaba

Kosinusni zakon se lahko uporablja za kateri koli trikotnik. Naj bo to ostrokotni (notranji koti manjši od 90 °), tupokotni (z notranjim kotom večjim od 90 °) ali pravokotnik (z notranjim kotom, enakim 90 °).

Prikaz trikotnikov z vidika njihovih notranjih kotov

Kaj pa pravokotni trikotniki?

Uporabimo zakon kosinusov na stran nasproti kotu 90 °, kot je navedeno spodaj:

The² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Ker je cos 90º = 0, zgornji izraz postane:

The² = b² + c²

Kar je enako izrazu Pitagorov izrek. Tako lahko rečemo, da je ta izrek poseben primer zakona kosinusov.

Kosinusni zakon je primeren za probleme, kjer poznamo dve plati in kot med njima in želimo najti tretjo stran.

Še vedno ga lahko uporabimo, ko poznamo tri stranice trikotnika in želimo poznati enega od njegovih kotov.

Za primere, ko poznamo dva kota in samo eno stran in želimo določiti drugo stran, je primerneje uporabiti zakon grehov.

Definicija Cosine in Sine

Kosinus in sinus kota sta definirana kot trigonometrična razmerja v pravokotnem trikotniku. Stran nasproti pravemu kotu (90 °) se imenuje hipotenuza, drugi dve strani pa kraki, kot je prikazano na spodnji sliki:

Prikaz pravokotnega trikotnika in njegovih stranic: boki in hipotenuza

Nato je kosinus opredeljen kot razmerje med merjenjem sosednje noge in hipotenuze:

Sinus pa je razmerje med merjenjem nasprotne noge in hipotenuze.

Vaje sprejemnega izpita

1. (UFSCar) Če stranice trikotnika merijo x, x + 1 in x +2, potem za katero koli x realna in večja od 1, je kosinus največjega notranjega kota tega trikotnika enak:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Glejte Odgovor

Alternativa e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) V trikotniku, prikazanem na spodnji sliki, imata AB in AC enako mero, višina glede na stran BC pa je enaka 2/3 mere BC.

Na podlagi teh podatkov je kosinus kota CÂB:

a) 25. 7.
b) 20. 7.
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Glejte Odgovor

Alternativa a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Dve strani trikotnika merita 8 m in 10 m in tvorita kot 60 °. Tretja stran tega trikotnika meri:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2,61 m

Glejte Odgovor

Alternativa a) 2√21 m

Preberite več o temi:

• Trigonometrija
• Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
• Trigonometrijske vaje v pravokotnem trikotniku
• Trigonometrični odnosi
• Trigonometrični krog
• Trigonometrične funkcije