Razdalja med dvema točkama

Razdalja med dvema točkama je mera odseka daljice, ki ju povezuje.

Ta ukrep lahko izračunamo s pomočjo analitične geometrije.

Razdalja med dvema točkama na ravnini

V ravnini je točka popolnoma določena, saj pozna urejen par (x, y), povezan z njo.

Da bi vedeli razdaljo med dvema točkama, jih bomo sprva predstavili v kartezični ravnini, nato pa to razdaljo izračunali.

Primeri:

1) Kolikšna je razdalja med točko A (1.1) in točko B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Kolikšna je razdalja med točko A (4.1) in točko B (1,3)?

Upoštevajte, da je razdalja med točko A in točko B enaka hipotenuzi pravokotnega trikotnika z krakoma 2 in 3.

Torej, uporabili bomo Pitagorov izrek za izračun razdalje med danima točkama.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Formula razdalje med dvema točkama na ravnini

Za iskanje formule razdalje lahko posplošimo izračun, izveden v primeru 2.

Za kateri koli dve točki, na primer A (x₁yy₁) in B (x₂y₂), imamo:

Če želite izvedeti več, preberite tudi:

• geometrija ravnine
• Dekartov načrt
• naravnost

Razdalja med dvema točkama v vesolju

Za predstavitev točk v prostoru uporabljamo tridimenzionalni koordinatni sistem.

Točka je v celoti določena v prostoru, ko je z njo povezana urejena trojka (x, y, z).

Da bi našli razdaljo med dvema točkama v prostoru, jih sprva lahko predstavimo v koordinatnem sistemu in od tam izvedemo izračune.

Primer:

Kolikšna je razdalja med točko A (3,1,0) in točko B (1,2,0)?

V tem primeru vidimo, da točki A in B pripadata ravnini xy.

Razdalja bo podana z:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Formula razdalje med dvema točkama v prostoru

Če želite izvedeti več, preberite tudi:

• Prostorska geometrija
• Črtna enačba
• Matematične formule

Rešene vaje

1) Točka A pripada osi abscis (os x) in je enako oddaljena od točk B (3.2) in C (-3.4). Kakšne so koordinate točke A?

Glejte Odgovor

Ker točka A pripada osi abscis, je njena koordinata (a, 0). Torej moramo poiskati vrednost a.

(0 - 3)² + (do - 2)² = (0 + 3)² + (do -4)²
9 + do² - 4a +4 = 9 + a² - 8. + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) so koordinate točke A.

2) Razdalja od točke A (3, a) do točke B (0,2) je enaka 3. Izračunaj vrednost ordinate a.

Glejte Odgovor

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
The² - 4. +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

Televizija je v zadnjih letih doživela pravo revolucijo glede kakovosti slike, zvoka in interaktivnosti z gledalcem. Ta preobrazba je posledica pretvorbe analognega signala v digitalni signal. Vendar številna mesta še vedno nimajo te nove tehnologije. V želji, da bi te ugodnosti prinesla v tri mesta, namerava televizijska postaja zgraditi nov prenosni stolp, ki pošlje signal antenam A, B in C, ki v teh mestih že obstajajo. Lokacije anten so predstavljene v kartezični ravnini:

Stolp mora biti nameščen na enako oddaljeni lokaciji od treh anten. Primerno mesto za gradnjo tega stolpa ustreza koordinatni točki

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa e: (50; 30)

Glej tudi: razdalja med dvema točkovnima vajama

4) ENEM - 2011

Soseska mesta je bila načrtovana v ravni regiji z vzporednimi in pravokotnimi ulicami, ki razmejujejo bloke enake velikosti. V naslednji kartezični koordinatni ravnini se ta soseska nahaja v drugem kvadrantu, razdalje pa v
osi so podane v kilometrih.

Ravna črta enačbe y = x + 4 predstavlja načrtovanje poti podzemne črte podzemne železnice, ki bo prečkala sosesko in druge regije mesta.
Na točki P = (-5,5) je javna bolnišnica. Skupnost je prosila odbor za načrtovanje, naj načrtuje postajo podzemne železnice, tako da razdalja do bolnišnice, merjena v ravni črti, ne bo večja od 5 km.
V odgovor na prošnjo skupnosti je odbor pravilno trdil, da bo to samodejno izpolnjeno, saj je bila gradnja postaje na točki že predvidena.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa b: (-3,1).

Glej tudi: vaje iz analitične geometrije