Pitagorin izrek: formula in vaje

O Pitagorov izrek navaja dolžino stranic pravokotnega trikotnika. Ta geometrijska slika je oblikovana z notranjim kotom 90 °, ki se imenuje pravi kot.

Izjava tega izreka je:

"Vsota kvadratov nog ustreza kvadratu vaše hipotenuze."

Formula Pitagorinega izreka

V skladu z izjavo pitagorejskega teorema je formula predstavljena na naslednji način:

The² = b² + c²

Biti,

The: hipotenuza
B: kateto
ç: kateto

THE hipotenuza je najdaljša stran pravokotnega trikotnika in stran, ki je nasprotna pravemu kotu. Drugi dve strani sta nogi. Kot, ki ga tvorita ti dve strani, ima mero, enako 90º (pravi kot).

Identificirali smo tudi noge glede na referenčni kot. To pomeni, da lahko stran imenujemo sosednja ali nasprotna stran.

Ko je noga blizu referenčnega kota, se pokliče sosednji, po drugi strani pa, če je proti temu kotu, se imenuje nasprotno.

Spodaj so trije primeri uporabe pitagorejskega izreka za metrična razmerja pravokotnega trikotnika.

Primer 1: izračunajte mero hipotenuze

Če ima pravokotni trikotnik za mere krakov 3 cm in 4 cm, kakšna je hipotenuza tega trikotnika?

Zato so stranice pravokotnega trikotnika 3 cm, 4 cm in 5 cm.

2. primer: izračunajte mero ene od nog

Določite mero kraka, ki je del pravokotnega trikotnika, katerega hipotenuza je 20 cm, druga noga pa 16 cm.

Zato so mere stranic pravokotnega trikotnika 12 cm, 16 cm in 20 cm.

3. primer: preverite, ali je trikotnik pravokotnik

Trikotnik ima stranice, ki merijo 5 cm, 12 cm in 13 cm. Kako veste, ali gre za pravokotnik?

Da bi dokazali, da je pravokotni trikotnik resničen, morajo meritve njegovih stranic upoštevati pitagorejski izrek.

Ker dane mere ustrezajo Pitagorinemu izreku, tj. Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadrata katetov, potem lahko rečemo, da je trikotnik pravokotnik.

Preberite tudi: Metrične relacije v pravokotnem trikotniku

Pitagorejski trikotnik

Ko meri stranice a pravokotni trikotnik so pozitivna cela števila, trikotnik se imenuje pitagorejski trikotnik.

V tem primeru se noge in hipotenuza imenujejo "pitagorejska obleka" ali "pitagorejska trojka". Za preverjanje, ali tri številke tvorijo pitagorejsko trojico, uporabimo razmerje do² = b² + c².

Najbolj znani pitagorejski trio predstavljajo številke: 3, 4, 5. Hipotenuza je enaka 5, večja noga 4 in manjša noga 3.

Upoštevajte, da so površine kvadratov, narisanih na vsaki strani trikotnika, povezane tako kot Pitagorin izrek: površina kvadrata na dolgi strani ustreza vsoti površin ostalih dveh kvadrat.

Zanimivo je, da večkratniki teh števil tvorijo tudi pitagorejsko obleko. Na primer, če trio 3, 4 in 5 pomnožimo s 3, dobimo številke 9, 12 in 15, ki tvorijo tudi pitagorejsko obleko.

Poleg oblek 3, 4 in 5 obstaja še množica drugih oblek. Kot primer lahko navedemo:

• 5, 12 in 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 in 29
• 12, 35 in 37

Preberite tudi: Trigonometrija v pravokotnem trikotniku

Kdo je bil Pitagora?

glede na zgodovino Pitagora s Samosa (570 a. Ç. - 495 a. C.) je bil grški filozof in matematik, ki je ustanovil pitagorejsko šolo v južni Italiji. Imenovano tudi pitagorejsko društvo je vključevalo študij matematike, astronomije in glasbe.

Čeprav so metrična razmerja pravokotnika poznali že Babilonci, ki so živeli že veliko pred Pitagoro, prvi dokaz, da je ta izrek veljal za kateri koli pravokotni trikotnik, domneva Pitagora.

Pitagorin izrek je eden najbolj znanih, najpomembnejših in najpogosteje uporabljenih izrek v matematiki. Bistvenega pomena je pri reševanju problemov v analitični geometriji, ravninski geometriji, prostorski geometriji in trigonometriji.

Poleg izreka so bili tudi drugi pomembni prispevki Pitagorejskega društva za matematiko:

• Odkrivanje iracionalnih števil;
• Lastnosti celih števil;
• MMC in MDC.

Preberite tudi: Matematične formule

Dokazi o pitagorejskem teoremu

Obstaja več načinov dokazovanja Pitagorinega izreka. Na primer knjiga Pitagorejski predlog, objavljena leta 1927, je predstavila 230 načinov za dokazovanje, druga izdaja, izdana leta 1940, pa se je povečala na 370 demonstracij.

Oglejte si spodnji video in si oglejte nekaj predstavitev pitagorejskega teorema.

Koliko načinov je, da dokažemo pitagorejski izrek? - Betty Fei

Komentirane vaje o pitagorejskem teoremu

Vprašanje 1

(PUC) Vsota kvadratov treh strani pravokotnega trikotnika je enaka 32. Kako dolga je hipotenuza trikotnika?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: b) 4.

Iz podatkov v izjavi vemo, da² + b² + c² = 32. Po drugi strani pa po Pitagorinem izreku moramo² = b² + c² .

Zamenjava vrednosti b²+ c² avtor² v prvem izrazu najdemo:

The² +² =32 ⇒ 2. The² = 32 ⇒ do² = 32/2 ⇒ do² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Za več vprašanj glejte: Pitagorin izrek - vaje

2. vprašanje

(In bodisi)

Na zgornji sliki, ki predstavlja zasnovo stopnišča s 5 stopnicami enake višine, je skupna dolžina ograje enaka:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: b) 2,1 m.

Skupna dolžina ograje bo enaka vsoti dveh odsekov dolžine, ki sta enaka 30 cm z odsekom, za katerega ne poznamo mere.

Na sliki lahko opazimo, da neznani odsek predstavlja hipotenuzo pravokotnega trikotnika, katerega mera enega od krakov je enaka 90 cm.

Da bi našli mero druge noge, moramo dodati dolžino 5 korakov. Torej imamo b = 5. 24 = 120 cm.

Za izračun hipotenuze uporabimo Pitagorin izrek za ta trikotnik.

The² = 90² + 120² do² = 8100 + 14 400 ⇒ do² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Upoštevajte, da smo lahko za izračun hipotenuze uporabili idejo pitagorejskih oblek, saj so kraki (90 in 120) večkratniki obleke 3, 4 in 5 (množenje vseh izrazov s 30).

Na ta način bo skupna mera ograje:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Preizkusite svoje znanje z Trigonometrijske vaje

3. vprašanje

(UERJ) Millôr Fernandes je v čudovitem poklonu matematiki napisal pesem, iz katere povlečemo spodnji del:

Na toliko listov knjige iz matematike,
Koeficient se je nekega dne divjo zaljubil
od Neznanega.
Pogledal jo je s svojim neštetim pogledom
in videl jo je od vrha do baze: nenavadna postava;
romboidne oči, trapezoidna usta,
pravokotno telo, sferoidne prsi.
Naredil svoje življenje vzporedno z njenim,
dokler se niso srečali v Neskončnosti.
"Kdo si ti?" - vprašal je v radikalni tesnobi.
»Sem vsota kvadratov nog.
Lahko pa me pokličete hipotenuza.”

(Millôr Fernandes. Trideset let sebe.)

Incognita je narobe rekla, kdo je. Da bi izpolnili Pitagorin izrek, je treba storiti naslednje

a) “Sem kvadrat vsote nog. Ampak pokliči me kvadrat hipotenuze. "
b) »Sem vsota nog. Lahko pa me pokličete hipotenuza. "
c) “Sem kvadrat vsote nog. Lahko pa me pokličete hipotenuza. "
d) »Sem vsota kvadratov nog. Ampak pokliči me kvadrat hipotenuze. "

Glejte Odgovor

Alternativa d) »Sem vsota kvadratov nog. Ampak pokliči me kvadrat hipotenuze. "

Preberite več o temi:

• enakokraki trikotnik
• Sinus, kosinus in tangenta
• Matematika v Enem