Kot realna števila poznamo vsa racionalna števila in iracionalno. S preučevanjem številski nizi, pomembno je razumeti, da sledijo potrebam in zgodovini človeštva, številčni sklopi so:
- niz naravnih števil
- celo število nastavljeno
- niz racionalnih števil
- niz iracionalnih števil
- niz realnih števil
Ti realna števila imajo lastnosti kot so: asociativni, komutativni, obstoj nevtralnega elementa za seštevanje in množenje, obstoj inverznega elementa pri množenju in distribucijski. realna števila lahko predstavimo na pravi črti - kako jih urejeno predstaviti.
Preberite tudi: Kaj so praštevila?
Kakšne so resnične številke?
Kot realna števila poznamo množico, ki jo tvori zveza racionalnih in iracionalnih števil. Sodelovati z njimi je povsem običajno, vendar niz realnih števil ni bil prvi, ki se je pojavil v zgodovini.
naravna števila
O prvi številčni niz nastala je iz naravnih števil. Ustvarjeni so bili iz osnovne potrebe ljudi, da štejejo in štejejo predmete svojega vsakdanjega življenja. Ti naravna števila so:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
cela števila
Z razvojem družbe so se hrepenenja človeka spreminjala in delo z negativnimi števili. Operacije, kot so 4 - 6, ki v nizu naravnih števil niso imele smisla, so to začele izvajati s pojavom tega novega niza. Nabor cela števila je prišel z dodajanjem negativnih števil v nizu naravnih števil, to je to tvorijo naravna števila in nasprotno od njih.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
racionalna števila
Izkazalo se je, da kljub temu z dodajanjem negativnih števil nabor celih števil ni bil dovolj, saj je starodavni Egipt, je zelo pogosto uporabljati številke, ki niso cela števila. Takrat se je uresničila potreba po formalizaciji novega niza: niza, ki so ga oblikovali vsi števila, ki jih lahko predstavimo z ulomkom je znano kot racionalna števila.
Za razliko od množice celih števil, v racionalnem ni mogoče napisati seznama izrazov z njihovimi predhodniki in nasledniki, ker bo glede na racionalna števila vedno še ena racionalno število med njimi. Na primer, med 1 in 2 je 1,5; med 1 in 1,5 je 1,25; in tako naprej. Zato za predstavitev racionalnih števil uporabljamo naslednji zapis:
V tem zapisu je racionalno število tisto, ki ga lahko predstavimo z ulomkom The Spodaj B, Na čem The je celo število in B je celo število, ki ni nič.
V množici racionalnih števil vključena so bila vsa cela števila ki so bile že znane, saj jih je mogoče poleg natančnih decimalnih števil in znaka predstaviti kot ulomek občasne desetine, pozitivno in negativno.
Glej tudi: Kaj so redne številke?
iracionalna števila
V nasprotju z definicijo racionalnih števil obstajajo števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomka. Nekateri matematiki so jih pravočasno preučili, da bi to naredili, vendar to ni mogoče. Te številke so neperiodične desetine in korenine ni natančno, ki na koncu ustvarijo neperiodično desetino. Število π je na primer iracionalno število, ki je v vsakdanjem življenju precej pogosto. Nabora iracionalnih števil ni mogoče uvrstiti na seznam, tako kot racionalnih števil, in je predstavljen s črko jaz.
Primeri:
- √2 → nenatančne korenine so iracionalna števila;
- -√5 → korenine niso natančne, tudi če so negativne iracionalne številke;
- 3.123094921… → neperiodične decimalne številke so iracionalna števila.
realna števila
Ker se vsa naravna in cela števila štejejo za racionalna, so števila doslej lahko razvrščeni v dva velika niza, množico racionalnih števil in množico števil iracionalno. Nabor realnih števil ni nič drugega kot zveza racionalnih in iracionalnih števil.
R = {Q U I}
Zaenkrat se vsem številkam, ki jih poznamo, rečejo realna števila.
Operacije z realnimi številkami
Operacije, ki vključujejo realne številke, so tiste, ki so znane za vse prejšnje nize števil. Ali so:
- dodatek
- odštevanje
- delitev
- množenje
- potenciranje
- radikacijo
Za izvajanje katere koli od teh operacij med realnimi števili ni nobene razlike od operacij s prejšnjimi številkami.
Ob upoštevanju takšnih operacij je pomembno to poudariti obstajajo lastnosti v množici realnih števil.
Lastnosti realnih števil
Pomembno je razumeti, da so lastnosti realnih števil posledice njegove opredelitve in so uporabni za izvajanje operacij. Ali so:
- obstoj nevtralnega elementa za seštevanje in množenje
- komutativna lastnina
- asociativna lastnina
- distribucijsko lastnino
- obstoj inverzne
nevtralni element
Bodi The realno število.
Obstaja številka, ki je dodana The, ima za posledico samo The:
The + 0 = The
0 je nevtralen element vsote..
Obstaja številka, ki jo pri množenju z The, ima za posledico samo The.
The · 1 = The
1 je nevtralen element množenja.
Komutativna lastnost
Bodi The in B dve realni številki.
Pri seštevanju ali množenju vrstni red števil ne bo spremenil rezultata.
The + B = B + The
a · b = b · a
asociativna lastnina
Bodi The, B in ç realna števila.
Tako pri seštevanju kot pri množenju sta dve upravljani številki ravnodušni do vsakega vrstnega reda.
(The + B) + ç = The + (B + ç)
(a · b) · Ç = The· (b · c)
distribucijsko lastnino
Bodi The, B in ç realna števila.
Distribucijska lastnost kaže, da zmnožek vsote je enak vsoti zmnožkov.
ç (a + b) = ca + cb
Obstoj inverzne
Bodi The realno število, ki ni nič.
za vsako realno število The drugačna od nič, obstaja takšna številka, da izdelek vstopi The in to število je enako 1.
zastopanje na ravni
V vrstici lahko predstavimo množico realnih števil, saj obstaja natančno določeno načelo reda zanj. Ta predstavitev na premici je znana kot prava črta oz ponovnoje številčno in to je precej pogosto tudi pri preučevanju kartezijanske ravnine.
Dostop tudi: Kaj je ulomek?
rešene vaje
Vprašanje 1 - Prosimo, presodite naslednje trditve:
I - Periodične decimalne številke so realne številke.
II - Vsako realno število je racionalno ali iracionalno.
III - Vsako celo število ni naravno.
Z analizo izjav lahko rečemo, da:
A) samo jaz sem napačen.
B) samo II je napačen.
C) samo III je napačen.
D) vsi so resnični.
E) vsi so lažni.
Resolucija
Alternativa D.
I - Res je, ker so desetine iracionalna števila, zato so realna števila.
II - Res je, saj je množica realnih števil zveza realnih in iracionalnih števil.
III - Res je, saj sta negativni števili, kot sta -2 in -5, cela števila, vendar niso naravna.
Vprašanje 2 - Oglejte si naslednje lastnosti:
I - komutativna lastnina
II - razdelilna lastnina
III - asociativna lastnina
Analizirajte naslednje operacije in jih označite s številom njihovih lastnosti:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Katera od možnosti ustreza pravilnemu vrstnemu redu lastnosti:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Resolucija
Alternativa A.
1 - (II) V tem primeru se je zgodilo distribucijsko premoženje, saj je bilo 3 pomnoženo z vsakim od dejavnikov operacije.
2 - (I) V tem primeru vrstni red faktorjev ne spremeni proizvoda, komutativnosti množenja.
3 - (III) Imamo asociativno lastnost, saj vrstni red dodajanja teh elementov ne spremeni vsote.
4 - (I) Tudi tu imamo komutativnost, saj vrstni red paketov ne spremeni vsote.
