THE modularna enačba je a enačba da je v prvem ali drugem članu vsebuje izraze v modulu. Modul, znan tudi kot absolutna vrednost, je povezan z razdaljo, ki jo ima število na nič. Ker govorimo o razdalji, je modul števila vedno pozitiven. Reševanje problemov modularne enačbe zahteva uporabo definicije modula, enačbo običajno razdelimo na dva možna primera:
kadar je tisto, kar je znotraj modula, pozitivno in
ko je tisto, kar je znotraj modula, negativno.
Preberite tudi: Kakšna je razlika med funkcijo in enačbo?
en modul realnega števila
Da bi lahko rešili probleme modularne enačbe, se moramo spomniti definicije modula. Modul je vedno enak kot razdalja števila mora biti nič, in predstavlja modul števila št, uporabljamo ravno črto, kot sledi: |št|. Za izračun |št|, smo razdelili na dva primera:
Zato lahko rečemo, da |št| je enako lastnemu št kadar je pozitivno število ali enako nič, v drugem primeru pa |št| je enako nasprotju št če je negativna. Ne pozabite, da je nasprotje negativnega števila vedno pozitivno, zato je |št| vedno ima rezultat enak pozitivnemu številu.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Primeri:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Glej tudi: Kako rešiti logaritemsko enačbo?
Kako rešiti modularno enačbo?
Da bi našli rešitev modularne enačbe, je treba analizirati vsako od možnosti, torej deliti, vedno v dveh primerih, vsak od modulov. Poleg poznavanja definicije modula za reševanje modularnih enačb, bistveno je vedeti, kako rešiti polinomske enačbe.
Primer 1:
| x - 3 | = 5
Da bi našli rešitev te enačbe, je pomembno vedeti, da obstajata dva možna rezultata |št| = 5, to so oni, št = -5, saj | -5 | = 5 in tudi št = 5, ker | 5 | = 5. Torej, če uporabimo isto idejo, moramo:
I → x - 3 = 5 oz
II → x - 3 = -5
Ločeno reševanje ene od enačb:
Resolucija I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Resolucija II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Obstajata torej dve rešitvi: S = {-2, 8}.
Če je x = 8, je enačba resnična, ker:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Upoštevajte tudi, da če je x = -2, velja tudi enačba:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
2. primer:
| 2x + 3 | = 5
Kot v primeru 1 je treba tudi za iskanje rešitve v skladu z definicijo modula razdeliti na dva primera.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Resolucija I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Resolucija II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Nato nastavite rešitev je: S = {1, -4}.
3. primer:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Ko imamo enakost dveh modulov, jo moramo razdeliti na dva primera:
1. primer, prvi in drugi član istega znaka.
2. primer, prvi in drugi član nasprotnih znakov.
Resolucija I:
Obe strani bomo naredili večji od nič, to pomeni, da bomo preprosto odstranili modul. Lahko tudi z obema negativoma, vendar bo rezultat enak.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Resolucija II:
Strani nasprotnih znakov. Izbrali bomo eno stran za pozitivno, drugo pa za negativno.
Izbira:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Torej moramo:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Torej, nabor rešitev je: S = {4, -2/3}.
Dostop tudi: Kaj so iracionalne enačbe?
rešene vaje
Vprašanje 1 - (UFJF) Število negativnih rešitev modularne enačbe | 5x - 6 | = x² je:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolucija
Alternativa E
Rešiti želimo modularno enačbo:
| 5x - 6 | = x²
Torej, razdelimo ga na dva primera:
Resolucija I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Torej moramo:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Ne pozabite, da nam delta vrednost pove, koliko rešitev ima kvadratna enačba:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Ker je 1 pozitiven, sta v tem primeru dve resnični rešitvi.
Resolucija II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Ker je Δ tudi v tem primeru pozitivna, potem obstajata dve resnični rešitvi, tako da je skupna realna rešitev 4.
Vprašanje 2 - (PUC SP) Komplet rešitev enačbe | 2x - 1 | = x - 1 je:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resolucija
Alternativa A
Resolucija I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Torej moramo:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Resolucija II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
