Ti kompleksna števila izhajajo iz potrebe po razrešitvi enačbe ki so koren negativnega števila, ki je do takrat ni bilo mogoče rešiti z delom z realnimi števili. Kompleksna števila lahko predstavimo na tri načine: a algebrska oblika (z = a + bi), sestavljen iz resničnega dela The in namišljeni del B; The Geometrijska oblika, predstavljena v kompleksni ravnini, znani tudi kot Argand-Gaussova ravnina; in tvoj trigonometrična oblika, znana tudi kot polarna oblika. Na podlagi njihove predstavitve, ko delamo s številskim naborom, imajo kompleksna števila natančno določene operacije: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in potenciranje.
Skozi geometrijsko predstavitev v kompleksni ravnini definiramo tudi modul (ki ga predstavlja |z|) kompleksnega števila - kar je razdalja od točke, ki predstavlja kompleksno število, do začetka - in kakšen je argument kompleksno število - to je kot, ki se tvori med vodoravno osjo in tirnico, ki povezuje izvor s točko, ki predstavlja število zapleteno.
potreba po kompleksnih številkah
V matematiki je bila razširitev številskega nabora na nov niz skozi zgodovino nekaj povsem običajnega. Izkazalo se je, da se je v tem času razvila matematika in nato do izpolnjujejo potrebe časaje bilo opaziti, da obstajajo številke, ki ne spadajo v številski niz, na katerega se nanaša. Tako je bilo s pojavom številski nizi cela števila, utemeljitve, nerazumne in realne vrednosti, in nič drugače ni bilo, ko je bilo treba nabor realnih števil razširiti na nabor kompleksnih števil.
Ko poskušamo rešiti kvadratne enačbe, je zelo pogosto, da najdemo kvadratni koren negativnega števila, ki ga je v množici realnih števil nemogoče rešiti, zato je potrebna kompleksna števila. Na začetku študije teh številk so prispevali pomembni matematiki, kot je Giralmo Cardono, vendar sta Gauss in Argand formalizirala njihov nabor.
Preberite tudi: Geometrijski prikaz vsote kompleksnih števil
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
algebrska oblika kompleksnega števila
Pri poskusu reševanja kvadratne enačbe, kot je x² = –25, je bila pogosto rečena, da je nerešljiva. V poskusu algebrizacije pa je algebrski prikaz, ki omogoča izvajanje operacij s temi števili, čeprav ne morete izračunati kvadratnega korena negativnega števila.
Za lažje reševanje situacij, v katerih sodelujete z kvadratni koren negativnega števila, namišljena enota.
Torej, pri analizi predstavljene enačbe x² = -25 imamo:
Tako so rešitve za enačbo -5jaz e5jaz.
Za opredelitev algebrske oblike, pismo jaz, poznan kot namišljena enota kompleksnega števila. Kompleksno število predstavlja:
z = The + Bjaz
Na čem The in B so realna števila.
The: realni del, označen z a = Re (z);
B: namišljeni del, označen z Im (z);
jaz: namišljena enota.
Primeri
The) 2 + 3jaz
B) -1 + 4jaz
ç) 5 – 0,2jaz
d) -1 – 3jaz
ko dejanski del je ničen, številka je znana kot čisti namišljenina primer -5jaz in 5jaz so čisti imaginariji, ker nimajo pravega dela.
Ko je namišljeni del ničen, je kompleksno število tudi realno število.
Operacije s kompleksnimi števili
Kot kateri koli številski niz mora biti tudi postopek dobro opredeljenazato je mogoče ob upoštevanju predstavljene algebrske oblike izvesti štiri osnovne operacije kompleksnih števil.
Seštevanje dveh kompleksnih števil
Za izvedbo dodatek dveh kompleksnih števil z1 in z2, bomo dodali pravi del z1 in z2 in vsota namišljenega dela.
Bodite:
z1 = a + bjaz
z2 = c + djaz
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)jaz
Primer 1
Uresničitev vsote z1 in z2.
z1 = 2 + 3jaz
z2 = 1 + 2jaz
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)jaz
z1 +z2= 3 + 5jaz
2. primer
Uresničitev vsote z1 in z2.
z1 = 5 – 2jaz
z2 = – 3 + 2jaz
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)jaz
z1+z2 = (5 – 3) + 0jaz
z1 +z2= 3 + 0jaz = 3
Glej tudi: Geometrijski prikaz vsote kompleksnih števil
Odštevanje dveh kompleksnih števil
Preden se pogovorimo o odštevanje, moramo določiti, kaj je inverzno kompleksnemu številu, to je z = a + bjaz. Inverzna vrednost z, ki jo predstavlja –z, je kompleksno število –z = –a –bjaz.
Za izvedbo odštevanja med z1in -z2, pa tudi poleg tega bomo naredili odštevanje med realnimi deli in med namišljenimi deli ločeno, vendar je treba razumeti, da -z2 je obratno kompleksni številki, zaradi česar je potrebno igrati igro znakov.
Primer 1
Izvajanje odštevanja z1 in z2.
z1 = 2 + 3jaz
z2 = 1 + 2jaz
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)jaz
z1–z2= 1 + 1jaz = 1+ jaz
2. primer
Izvajanje odštevanja z1 in z2.
z1= 5 – 2jaz
z2 = – 3 + 2jaz
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)jaz
z1–z2= (5 + 3) + (–4)jaz
z1 –z2= 8 + (–4)jaz
z1 –z2= 8 –4jaz
Imaginarne enote moči
Preden govorimo o množenju, moramo razumeti moč namišljene enote. V iskanju metode za izračun moči jazšt, treba se je zavedati, da se te moči obnašajo ciklično. Za to izračunajmo nekaj potenc v jaz.
Izkazalo se je, da naslednje moči niso nič drugega kot njegovo ponavljanje, upoštevajte, da:
jaz 4 = jaz 2 · jaz 2 = (–1) (–1) = 1
jaz 5 = jaz 2 · jaz 3 = (–1) (–jaz) = jaz
Ko še naprej izračunavamo moči, bodo odgovori vedno elementi množice {1, i, –1, -jaz}, nato pa poiščite moč enote jazšt, bomo n (eksponent) delili s 4, in počitekte delitve (r = {0, 1, 2, 3}) bo novi eksponent za jaz.
Primer1
Izračun i25
Ko delimo 25 s 4, bo količnik 6, preostanek pa enak 1. Torej moramo:
jaz 25 = jaz1 = jaz
2. primer
Izračun jaz 403
Ko 403 delimo s 4, bo količnik 100, ker je 100 · 4 = 400, ostalo pa 3, zato moramo:
jaz 403 =jaz 3 = -jaz
Množenje kompleksnih števil
Če želite izvesti množenje dveh kompleksnih števil, uporabimo distribucijsko lastnino. Bodite:
z1= a + bjaz
z2= c + djaz, nato izdelek:
z1 · z2 = (a + bjaz) (c + djaz), ki uporablja distribucijsko lastnino,
z1 · z2 = ac + oglasjaz + cbjaz + bdjaz 2, toda kot smo videli, jaz ² = -1
z1 · z2 = ac + oglasjaz + cbjaz - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)jaz
S pomočjo te formule je mogoče najti zmnožek poljubnih dveh kompleksnih števil, vendar v a Na splošno je ni treba okrasiti, saj za zadevni izračun samo uporabimo lastnost distribucijski.
Primer
Izračun zmnožka (2 + 3jaz) (1 – 4jaz):
(2+3jaz) (1 – 4jaz) = 2 – 8jaz + 3jaz– 12jaz ², spominjam se tega i² = -1:
(2 + 3jaz) (1 – 4jaz) = 2 – 8jaz + 3jaz+ 12
(2 + 3jaz) (1 – 4jaz) = (2 + 12) + (– 8 + 3)jaz
(2+3jaz) (1 – 4jaz) = 14 – 5jaz
Dostop tudi: Kompleksno seštevanje, odštevanje in množenje števil
Konjugirano kompleksno število
Preden začnemo govoriti o delitvi, moramo razumeti, kaj je konjugat kompleksnega števila. Koncept je preprost, najti konjugat kompleksnega števila, samo zamenjatimos znak namišljenega dela.
delitev dveh kompleksnih števil
Za izvedbo delitev dveh kompleksnih števil, ulomek moramo pomnožiti s konjugatom imenovalca, tako da je dobro definirano, kaj je resnični del in kaj namišljeni del.
Primer
Izračun delitve (6 - 4jaz): (4 + 2jaz)
Glej tudi: Nasproti, konjugirano in enakost kompleksnih števil
Kompleksna ravnina ali Argand-Gaussova ravnina
Znan kot kompleksen načrt oz Načrtrgand-gauss, dovoli predstavitev v geometrijski obliki kompleksnega števila je ta načrt prilagoditev v Kartezijansko letalo za predstavitev kompleksnih števil. Vodoravna os je znana kot realna delna os Re (z), in navpična os je znana kot os namišljenega dela Im (z). Torej kompleksno število, ki ga predstavlja a + bjaz generira točke v kompleksni ravnini, ki jo tvori urejeni par (a, b).
Primer
Prikaz števila 3 + 2jaz v geometrijski obliki Z (3,2).
Kompleksno število modulo in argument
Modul kompleksnega števila, geometrično, je oddaljenost od točke (a, b) ki predstavlja to število v kompleksni ravnini do izvora, to je točka (0,0).
Kot lahko vidimo, | z | je hipotenuza pravokotni trikotnikzato ga je mogoče izračunati z uporabo Pitagorov izrek, zato moramo:
Primer:
Izračun modula z = 1 + 3jaz
O Theprepir kompleksnega števila, geometrično, je kota tvori vodoravna os in | z |
Če želimo najti vrednost kota, moramo:
Cilj je najti kot θ = arg z.
Primer:
Poiščite argument kompleksnega števila: z = 2 + 2jaz:
Ker sta a in b pozitivni, vemo, da je ta kot v prvem kvadrantu, zato izračunajmo | z |.
Če poznamo | z |, je mogoče izračunati sinus in kosinus.
Ker sta v tem primeru a in b enaka 2, bomo pri izračunu sinθ našli enako rešitev za kosinus.
Poznavanje vrednosti sinθ in cosθ, upoštevanje tabele pomembnih kotov in poznavanje tega θ pripada prvemu kvadrantu, zato je θ mogoče najti v stopinjah ali radianih, zato sklepamo kaj:
Trigonometrična ali polarna oblika
Predstavitev kompleksnega števila v trigonometrična oblika to je mogoče šele, ko razumemo koncept modula in argumenta. Na podlagi te predstavitve se razvijejo pomembni koncepti za preučevanje kompleksnih števil na naprednejši ravni. Za izvedbo trigonometrične predstavitve se bomo spomnili njene algebarske oblike z = a + bi, vendar moramo pri analizi kompleksne ravnine:
Z nadomestitvijo v algebrski obliki vrednosti a = | z | cos θ in b = | z | sen θ, moramo:
z = a + bjaz
Z z = | z | cos θ + | z | senθ jaz, dajanje | z | kot dokaz pridemo do formule trigonometrične oblike:
z = | z | (cos θ + jaz · Greh θ) |
Primer: V trigonometrični obliki napišite številko
Za pisanje v trigonometrični obliki potrebujemo argument in modul z.
1. korak - Izračun | z |
Če poznamo | z |, lahko vrednost θ poiščemo tako, da si ogledamo tabelo pomembnih kotov.
Zdaj je mogoče številko z zapisati v trigonometrični obliki s kotom v stopinjah ali z kotom, izmerjenim v radianih.
Preberite tudi: Sevanje kompleksnih števil v trigonometrični obliki
rešene vaje
Vprašanje 1 - (UFRGS) Glede na kompleksna števila z1 = (2, –1) in z2 = (3, x), je znano, da zmnožek med z1 in z2 je resnično število. Torej x je enako:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Resolucija
Alternativa D.
Da je izdelek realno število, je namišljeni del enak nič.
S pisanjem teh števil v algebrsko obliko moramo:
z1 = 2 – 1jaz in z2 = 3 + xjaz
z1 · Z2 = (2 – 1jaz) (3 + xjaz)
z1 · Z2 = 6 + 2xjaz –3jaz - xjaz ²
z1 · Z2 = 6 + 2xjaz –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)jaz
Ker nas zanima, da je namišljeni del enak nič, bomo rešili za 2x - 3 = 0
Vprašanje 2 - (UECE) Če je i kompleksno število, katerega kvadrat je enak -1, potem je vrednost 5jaz 227 + jaz 6 – jaz 13 to je enako kot:
The) jaz + 1
b) 4jaz –1
c) -6jaz –1
d) -6jaz
Resolucija
Alternativa C.
Da bi rešili ta izraz, moramo poiskati preostanek vsakega števila, deljenega s 4.
227: 4 povzroči količnik 56 in preostanek 3.
jaz 227 = jaz 3 = –jaz
6: 4 ima za posledico količnik 1 in preostanek 2.
jaz 6 = jaz 2 = –1
13: 4 ima za posledico količnik 3 in ostanek 1.
jaz 13 = jaz1 = jaz
Torej moramo:
5jaz 227 + jaz 6 – jaz 13
5 (–jaz) + (–1) – jaz
–5jaz –1 – jaz
–6jaz – 1
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
