Trikotna matrica: vrste, determinanta, vaje

Matrica je trikotna ko so elementi nad glavno diagonalo ali elementi pod glavno diagonalo ničli. Za to vrsto matrike obstajata dve možni klasifikaciji: prva je, če so elementi nad glavno diagonalo nični, kar vzpostavi spodnjo trikotno matriko; drugi je, ko so elementi pod glavno diagonalo nični, kar postavlja zgornjo trikotno matriko.

Za izračun determinante trikotne matrike po Sarrusovem pravilu samo izvedite glavno diagonalno množenje, saj bodo vsa druga množenja enaka nič.

Preberite tudi: Matrika - kaj je to in obstoječe vrste

Trikotna matrica je poseben primer matrike.

Trikotne matrične vrste

Da bi razumeli, kaj je trikotna matrica, si je treba zapomniti, kakšna je glavna diagonala kvadratne matrike, to je matrika, ki ima enako število vrstic in stolpcev. Glavna diagonala matrike so izrazi a._ij, kjer je i = j, to so izrazi, pri katerih je številka vrstice enaka številki stolpca.

Primer:

Izrazi na glavni diagonali so označeni z rdečo barvo.

Razumevanje, kaj je kvadratna matrica in kakšna je njena glavna diagonala, vemo, kaj je trikotna matrica in njene klasifikacije. Za trikotno matriko obstajata dve možni klasifikaciji:

Thespodnja trikotna matrica in zgornja trikotna matrica.

• Spodnja trikotna matrica: se pojavi, ko so vsi izrazi nad glavno diagonalo enaki nič in so izrazi pod glavno diagonalo enaki realna števila.

Numerični primer:

• Zgornja trikotna matrica: se zgodi, ko so vsi izrazi pod glavno diagonalo enaki nič in so izrazi nad glavno diagonalo realna števila.

Numerični primer:

Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)

diagonalna matrica

Diagonalna matrika je poseben primer trikotne matrike. V njem so edini izrazi, ki niso ničli, tisti, ki jih vsebuje glavna diagonala. Izrazi nad ali pod glavno diagonalo so enaki nič.

Numerični primeri diagonalne matrike:

Determinant trikotne matrike

Glede na trikotno matriko pri izračunu determinante te matrike z Sarrusova vladavina, lahko vidite, da so vsa množenja enaka nič, razen množenja izraza glavne diagonale.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Upoštevajte, da je pri vseh izrazih razen pri prvem nič ena od dejavnikov in to vse množenje z nič je enako nič, torej:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Upoštevajte, da je to zmnožek med pogoji glavne diagonale.

Ne glede na število vrstic in stolpcev, ki jih ima trikotna matrika, je determinanta bo vedno enaka zmnožku členov glavne diagonale.

Glej tudi: Determinant - značilnost, ki se uporablja za kvadratne matrice

Lastnosti trikotne matrike

Trikotna matrica ima nekatere posebne lastnosti.

• 1. lastnost: determinanta trikotne matrice je enaka zmnožku členov glavne diagonale.
• 2. lastnost: produkt med dvema trikotnima matricama je trikotna matrica.
• 3. lastnost: če je eden od členov glavne diagonale trikotne matrice enak nič, potem bo njen determinant enak nič in posledično ne bo obrnljiv.
• 4. lastnost: inverzna matrika trikotne matrike je tudi trikotna matrica.
• 5. lastnost: vsota dveh zgornjih trikotnih matrik je zgornja trikotna matrica; podobno je vsota dveh spodnjih trikotnih matrik spodnja trikotna matrica.

Rešene vaje

1) Glede na matriko A je vrednost determinante A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resolucija

D.

Ta matrika je spodnje trikotna, zato je njena determinanta množenje izrazov na glavni diagonali.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Presodite naslednje trditve.

I → Vsaka kvadratna matrica je trikotna.

II → Vsota zgornje trikotne matrike s spodnjo trikotno matrico je vedno trikotna matrica.

III → Vsaka diagonalna identitetna matrika je trikotna matrica.

Pravilni vrstni red je:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resolucija

D.

I → False, ker je vsaka trikotna matrica kvadratna, ni pa vsaka kvadratna matrica trikotna.

II → False, saj vsota med zgornjo in spodnjo trikotno matrico ne povzroči vedno trikotne matrike.

III → Res je, saj so izrazi, ki se razlikujejo od diagonale, enaki nič.

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Bi se radi sklicevali na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? Poglej:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Trikotna matrica"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm. Dostop 29. junija 2021.

Cramerjevo pravilo

Matrica, determinant, ločljivost sistema, Cramerjevo pravilo, uporaba Cramerjevega pravila, Kako uporabiti Cramerjevo pravilo, Neznanke sistema.