THE aritmetično napredovanje (AP) je številčno zaporedje ki ga uporabljamo za opis vedenja nekaterih pojavov v matematiki. V PA je rast ali propad je vedno stalna, torej od enega do drugega izraza, bo razlika vedno enaka in ta razlika je znana kot razlog.
Kot rezultat predvidljivo vedenje napredovanja, lahko ga opišete iz formule, znane kot splošni izraz. Iz istega razloga je mogoče tudi izračunati vsoto izrazov PA z uporabo posebne formule.
Preberite tudi: Geometrijski napredek - kako izračunati?
Kaj je PA?
Razumevanje, da je PA zaporedje izrazov, v katerih razlika med izrazom in prejšnjim je vedno stalna, če želimo opisati to napredovanje iz formule, moramo najti začetni izraz, oz to je prvi izraz napredovanja in njegov razlog, ki je ta stalna razlika med pogoji.
Na splošno je PA zapisan tako:
(1, a2, The3, a4, The5, a6, The7, a8)
Prvi izraz je a1 in od njega do dodaj razlog r, poiščimo pogoje naslednika.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Torej, da napišemo aritmetično napredovanje, moramo vedeti, kdo je njegov prvi izraz in zakaj.
Primer:
Napišimo prvih šest izrazov AP, vedoč, da je njegov prvi izraz 4 in da je razmerje enako 2. poznavanje1 = 4 in r = 2, sklepamo, da se to napredovanje začne pri 4 in poveča z 2 na 2. Zato lahko opišemo njegove izraze.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Ta BP je enak (4,6,8,10,12,14…).
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Splošni izraz PA
Opis PA iz formule nam olajša iskanje katerega koli izraza. Za iskanje katerega koli izraza dostopne točke uporabimo naslednjo formulo:
Thešt= a1 + r · (n-1) |
N → je položaj izraza;
The1→ je prvi izraz;
r → razlog.
Primer:
Najdi splošni izraz PA (1,5,9,13,…) in 5., 10. in 23. mandat.
1. korak: najti razlog.
Če želite najti razmerje, preprosto izračunajte razliko med dvema zaporednima člankoma: 5 - 1 = 4; potem je v tem primeru r = 4.
2. korak: poiščite splošni izraz.
Kako vemo, da1= 1 in r = 4, nadomestimo v formuli.
Thešt= a1 + r (n - 1)
Thešt= 1 + 4 (n - 1)
Thešt= 1 + 4n - 4
Thešt= 4n - 3 → splošni izraz PA
3. korak: poznamo splošni izraz, izračunajmo 5., 10. in 23. člen.
5. člen → n = 5
Thešt= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. mandat → n = 10
Thešt= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. izraz → n = 23
Thešt= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Vrste aritmetičnih progresij
Obstajajo tri možnosti za PA. Lahko se povečuje, zmanjšuje ali konstantno.
Gojenje
Kot že ime pove, se aritmetično napredovanje povečuje, ko s povečevanjem izrazov se povečuje tudi njihova vrednost., to pomeni, da je drugi člen večji od prvega, tretji večji od drugega itd.
The1
Da se to lahko zgodi, mora biti razmerje pozitivno, to pomeni, da se PA povečuje, če je r> 0.
Primeri:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
padajoče
Kot že ime pove, se aritmetično napredovanje spušča, ko s povečevanjem izrazov se njihova vrednost zmanjšuje, to pomeni, da je drugi člen manjši od prvega, tretji manjši od drugega itd.
The1 >2 >3 >4 > …. >št
Da se to lahko zgodi, mora biti razmerje negativno, to pomeni, da se PA povečuje, če je r <0.
Primeri:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Stalno
Aritmetično napredovanje je konstantno, kadar, s povečevanjem izrazov ostaja vrednost enaka., to pomeni, da je prvi člen enak drugemu, ki je enak tretjemu itd.
The1 =2 =3 =4 = …. = ašt
Da je PA konstanten, mora biti razmerje enako nič, to je r = 0.
Primeri:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Glej tudi: Zmnožek izrazov PG - kakšna je formula?
Lastnosti PA
1. nepremičnina
Glede na kateri koli izraz PA povprečno aritmetika med naslednikom in predhodnikom je enako temu izrazu.
Primer:
Upoštevajte napredovanje (-1, 2, 5, 8, 11) in izraz 8. Povprečje med 11 in 5 je enako 8, to pomeni, da je vsota naslednika s predhodnikom števila v PA vedno enaka temu številu.
2. nepremičnina
Vsota enako oddaljenih izrazov je vedno enaka.
Primer:
Vsota izrazov PA
Recimo, da želimo dodati zgoraj prikazanih šest izrazov BP: (16,13,10,7,4,1). Lahko preprosto dodamo njihove izraze - v tem primeru je izrazov malo, je mogoče - če pa je daljši niz, uporabite lastnost. Vemo, da je vsota enako oddaljenih izrazov vedno enaka, kot smo videli v lastnosti, torej če to izvedemo seštejemo enkrat in pomnožimo s polovično količino izrazov, dobimo vsoto prvih šestih izrazov PAN.
Upoštevajte, da bi v primeru izračunali vsoto prvega in zadnjega, ki je enako 17, pomnoženo s polovico zneska izrazov, to je 17 krat 3, kar je enako 51.
Formula vsota izrazov PA razvil ga je matematik Gauss, ki je to simetrijo uresničil v aritmetičnih progresijah. Formula je zapisana na naslednji način:
sšt → vsota n elementov
The1 → prvi mandat
Thešt → zadnji termin
n → število izrazov
Primer:
Izračunajte vsoto lihih števil od 1 do 2000.
Resolucija:
Vemo, da je to zaporedje PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Izvedba vsote bi bila veliko dela, zato je formula zelo priročna. Od 1. do 2000 je polovica števil neparna, torej je 1000 neparnih številk.
Podatki:
n → 1000
The1 → 1
Thešt → 1999
Dostop tudi: Vsota končnega PG - kako to storiti?
Interpolacija aritmetičnih sredin
Če poznamo dva zaporedna izraza aritmetičnega napredovanja, lahko najdemo vse izraze, ki spadata med ti dve števili, kar poznamo interpolacija aritmetičnih sredin.
Primer:
Interpolirajmo 5 aritmetičnih sredin med 13 in 55. To pomeni, da obstaja 5 številk med 13 in 55 in tvorijo napredovanje.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Za iskanje teh številk je treba najti razlog. Poznamo prvi izraz (1 = 13) in tudi 7. mandat (7= 55), vendar vemo, da:
Thešt =1 + r · (n - 1)
Ko je n = 7 → ašt= 55. Vemo tudi vrednost a1=13. Torej, če jo nadomestimo s formulo, moramo:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Če poznamo razlog, lahko najdemo izraze med 13 in 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
rešene vaje
Vprašanje 1 - (Enem 2012) - Igranje kart je dejavnost, ki spodbuja sklepanje. Tradicionalna igra je Solitaire, ki uporablja 52 kart. Sprva se s kartami oblikuje sedem stolpcev. Prvi stolpec ima eno kartico, drugi dve karti, tretji tri karte, četrti štiri karte itd zaporedoma v sedmi stolpec, ki ima sedem kart in kaj sestavlja kup, ki so neuporabljene karte v stolpci.
Število kart, ki sestavljajo kupček, je:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Resolucija
Alternativa B.
Najprej izračunamo skupno število uporabljenih kart. Sodelujemo z AP, katerega prvi mandat je 1, razmerje pa je tudi 1. Torej, pri izračunu vsote 7 vrstic je zadnji člen 7 in tudi vrednost n je 7.
Ko vemo, da je bilo skupno uporabljenih 28 kart in da jih je 52, kup oblikujemo:
52 - 28 = 24 kart
Vprašanje 2 - (Enem 2018) Mestna hiša majhnega mesta v notranjosti se je odločila, da bo okoli ulice postavila palice za razsvetljavo po ravni cesti, ki se začne na osrednjem trgu in konča na kmetiji v okolici. podeželsko. Ker ima trg že razsvetljavo, bo prvi drog postavljen 80 metrov od trga, drugi na 100 metrov, tretji na 120 metrov itd. zaporedoma, pri čemer vedno držite razdaljo 20 metrov med stebri, dokler zadnja postaja ni postavljena na razdalji 1380 metrov od kvadrat.
Če lahko mesto plača največ 8.000,00 R $ na postavljeno objavo, je najvišji znesek, ki ga lahko porabite za postavitev teh objav:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) 528.000,00 R $.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Resolucija
Alternativa C.
Vemo, da bodo stebri postavljeni na vsakih 20 metrov, to je r = 20, in da je prvi člen tega PA 80. Vemo tudi, da je zadnji izraz 1380, vendar ne vemo, koliko izrazov je med 80 in 1380. Za izračun tega števila izrazov uporabimo formulo splošnega izraza.
Podatki: ašt = 1380; The1=80; in r = 20.
Thešt= a1 + r · (n-1)
Postavljenih bo 660 objav. Če bo vsaka od njih stala največ 8.000 R $, je najvišji znesek, ki ga lahko porabite za umestitev teh objav:
66· 8 000 = 528 000
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
