Vaje na PA in PG

Preučite aritmetično in geometrijsko progresijo z rešenimi in komentiranimi vajami korak za korakom.

vaja 1

V AP je a2 = 5 in a7 = 15. Poiščite a4 in dodajte prvih pet členov tega AP.

glej odgovor

Pravilen odgovor: a4 = 9 in S = 35.

Resolucija

1. korak: določite razlog in a4.
Da zapustimo a2 in pridemo do a7, dodamo 5r, saj je to "razdalja" med 7 in 2.

a s 7 podnapisom je enako a z 2 podpisom plus 5 r 15 presledkom je enako presledkom 5 presledkom plus presledkom 5 r 15 presledek minus presledek 5 presledek je enako 5 r 10 presledek je prostor 5 r 10 nad 5 je enako r 2 enako r

Izraz a4 je izraz a2 plus 2r, ker da bi prišli od a2 do a4, "napredujemo" 2r. kmalu,

a s 4 podnapisom je enako a z 2 indeksom plus 2 r a s 4 podpisom je enak 5 presledkom plus presledkom 2,2 a s 4 podpisom je enak 5 presledkom plus presledkom 4 presledkom je enak presledku 9

Torej je četrti mandat AP 9.

2. korak: določi vsoto prvih petih členov tega AP.

Vsota pogojev AP je podana z:

S je enako številčnemu levemu oklepaju a z 1 indeksom plus a z n podrednim desnim oklepajem. n nad imenovalcem 2 konec ulomka

a1 = a2 - r (ker se vrnemo za eno pozicijo nazaj v PA, začenši z a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (ker se vrnemo dva položaja v PA, začenši z a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S je enako števec levi oklepaj 3 presledek plus presledek 11 desni oklepaj.5 nad imenovalcem 2 konec ulomka je enak števcu 14 presledka. prostor 5 nad imenovalcem 2 je konec ulomka enak 70 na 2 je enak 35

vaja 2

(Aeronavtika 2021) Profesor je napisal 8-člansko naraščajočo aritmetično progresijo, ki se začne s številko 3 in je sestavljena samo iz naravnih števil. Nato je opazil, da drugi, četrti in osmi člen te aritmetične progresije tvorijo v tem vrstnem redu geometrijsko progresijo. Profesor je tudi opazil, da je vsota členov te geometrijske progresije enaka

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

glej odgovor

Odgovor: a) 42

Z AP so izrazi, ki tvorijo PG a2, a4 in a8:

a z 2 podpisoma je enako a z 1 podpisom plus levi oklepaj n minus 1 desni oklepaj r a z 2 indeks je enak 3 plus levi oklepaj 2 minus 1 desni oklepaj r a z 2 podpisa je enak 3 plus r prostor

a s 4 podnapisi je enako a z 1 podpisom plus levim oklepajem 4 minus 1 desnim oklepajem r a s 4 podnapisom je enako 3 presledkom plus presledkom 3 r

a z 8 podpisom je enako 3 plus levi oklepaj 8 minus 1 desni oklepaj r a z 8 podpisom je enak 3 plus 7 r

Vsota treh členov je:

S je enako a z 2 podnapisoma plus a s 4 podnapisi plus a z 8 podnapisi S je enako levemu oklepaju 3 plus r desni oklepaj presledek plus presledek levi oklepaj 3 plus 3 r oklepaj desni presledek plus presledek levi oklepaj 3 plus 7 r desni oklepaj S je enako 9 presledek plus presledek 11 r presledek presledek levi oklepaj in vprašni prostor I oklepaj prav

Za določitev r uporabljamo geometrijsko sredino:

a s 4 indeksom je enak kvadratnemu korenu a z 2 indeksom. a z 8 indeksnim koncem korena 3 plus 3 r je enak kvadratnemu korenu levega oklepaja 3 plus r desnega oklepaja. levi oklepaj 3 plus 7 r desni oklepaj korenski konec

Kvadrat na obeh straneh

levi oklepaj 3 plus 3 r desni oklepaj na kvadrat je enak levemu oklepaju 3 plus r desni oklepaj. levi oklepaj 3 plus 7 r desni oklepaj

Kvadriranje prvega in razdelitev drugega člena:

levi oklepaj 3 plus 3 r desni oklepaj na kvadrat je enak levemu oklepaju 3 plus r desni oklepaj. levi oklepaj 3 plus 7 r desni oklepaj 9 presledek plus presledek 18 r presledek plus presledek 9 r na kvadrat je enako 9 presledek plus presledek 21 r presledek plus presledek 3 r presledek plus presledek 7 r na kvadrat 9 r na kvadrat minus 7 r na kvadrat je enako 24 r prostor minus prostor 18 r prostor plus prostor 9 prostor minus prostor 9 2 r na kvadrat je enako 6 r r na kvadrat je enako 3 r a. r prostor je enak presledku 3 r r prostor je enak števcu 3 r nad imenovalcem r konec ulomka je enak 3

Če nadomestimo r v enačbo I, imamo:

S prostor je enak prostor 9 prostor plus presledek 11 r S prostor je enak prostor 9 prostor plus prostor 11,3 S prostor je enak prostor 9 prostor plus prostor 33 S prostor je enak prostor 42

Torej je vsota prvih treh členov enaka 42.

3. vaja

(PM-SP 2019) Leta 2015 je veliko naftno podjetje začelo s postopkom ponovne uporabe vode, ki se uporablja za hlajenje delov, ki izdelal in izdelal projekcijo postopnega povečevanja v aritmetični progresiji do leta 2050 količine vode, ki bo ponovno uporabljena, iz leta v leto leto.

Tabela prikazuje količine vode, ponovno uporabljene v prvih 3 letih:

Naj bo An splošni izraz aritmetične progresije, ki označuje prostornino ponovno uporabljene vode v milijonih m³ z n = 1, predstavlja količino ponovno uporabljene vode v letu 2016, n = 2, ki predstavlja količino vode, ponovno uporabljene v letu 2017, itd. zaporedoma.

V teh pogojih je treba

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

glej odgovor

Pravilen odgovor: c) An = 0,5n + 23.

objektivno
Določite An kot funkcijo n.

Resolucija
Razmerje aritmetične progresije je 0,5, ker je 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Splošni izraz AP je podan z:

A s podnapisom n je enak presledku a z 1 podnapisnim presledkom plus presledek levi oklepaj n minus 1 desni oklepaj r

Zamenjava vrednosti:

A s podnapisom n je enako 23 vejica 5 presledek plus presledek 0 vejica 5 n presledek minus presledek 0 vejica 5 A s podnapisom n je enako 0 vejica 5 n plus 23 presledkov

4. vaja

(CEDERJ 2021) Zaporedje (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) je aritmetična progresija razmerja 6. Četrti mandat tega napredovanja je

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

glej odgovor

Pravilen odgovor: a) 31

Resolucija
r presledek je enak presledku a z 2 podpisoma minus a z 1 podpisom 6 presledek je enak presledku 3 x plus 4 presledka minus oklepaj levo 2x plus 3 oklepaj desno 6 je enako 3x plus 4 minus 2x minus 3 6 je enako x plus 1x je enako 6 minus 1x enako 5

Četrti člen je a3 + r, takole:

a s 4 podnapisi je enako a s 3 podnapisi plus r a s 4 podnapisi je enako 4 x presledek plus presledek 5 presledek plus presledek r

Zamenjava najdenih vrednosti:

a s 4 podnapisom je enako 4,5 presledkom plus presledkom 5 presledkom plus presledkom 6 a s 4 podnapisom je enako 20 plus presledkom 5 presledkom plus presledkom 6 a s 4 podnapisom je enako 31

5. vaja

(Enem 2021) V Braziliji čas, ki je potreben, da študent dokonča usposabljanje do diplome na višjem tečaju, glede na 9 let osnovne šole, 3 leta srednje šole in 4 leta mature (povprečni čas) je 16 let. Vendar realnost Brazilcev kaže, da je povprečni čas študija ljudi, starejših od 14 let, še vedno zelo majhen, kot je razvidno iz tabele.
Tabela, povezana z rešitvijo vprašanja.

Upoštevajte, da podaljšanje študijskega časa v vsakem obdobju za te ljudi ostaja konstantno do leta 2050 in da naj bi dosegli raven 70 % časa, potrebnega za pridobitev višjega tečaja. prej.
Leto, v katerem povprečni študijski čas starejših od 14 let doseže želeni odstotek, bo

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

glej odgovor

Pravilen odgovor: d) 2035.

1. del: določi 70 % od 16.

70 odstotkov predznak presledek 16 presledek je enak presledku 70 na 100 znak množenja 16 je enako 1120 na 100 je enako 11 točka 2

2. del: določite, po koliko obdobjih bo doseženih 11,2 let študija.

Časovno zaporedje študije je aritmetična progresija (AP) z razmerjem 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Znesek 11,2 leta bo dosežen v:

A z n podpisom je enako a z 1 podpisom plus presledek levi oklepaj n minus 1 desni oklepaj r 11 vejica 2 enako 5 vejica 2 plus levi oklepaj n minus 1 desni oklepaj 0 vejica 6 11 vejica 2 je enako 5 vejica 2 plus 0 vejica 6 n minus 0 vejica 6 11 vejica 2 minus 5 vejica 2 plus 0 vejica 6 je enako 0 vejica 6 n 6 plus 0 vejica 6 je enako 0 vejica 6 n 6 vejica 6 je enako 0 vejica 6 n števec 6 vejica 6 nad imenovalcem 0 vejica 6 konec ulomka je enak n 11 enako n

Znesek 11,2 bo dosežen v 11. mandatu PA.

3. del: določi, kateri je 11. mandat PA let.

Razmerje je a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 leta

A z 11 podpisom je enako a z 1 indeksom plus levi oklepaj n minus 1 desni oklepaj r A z 11 podpisom je enak 1995 plus levi oklepaj 11 minus 1 desni oklepaj 4 A z 11 indeksom je enako 1995 plus 10,4 A z 11 podpisom je enako 1995 presledkom plus presledkom 40 A z 11 podpisom je enako 2035

Zaključek
70 % od 16 let, potrebnih za dokončanje dodiplomskega študija, bo doseženih leta 2035.

6. vaja

(Gasilstvo 2021) Letalo in gasilsko vozilo imata rezervoarje za vodo s prostornino 12.000 oziroma 8.000 litrov vode. Tovornjak ima črpalko 2,5 GPM, kar pomeni, da lahko črpa 2,5 litra na minuto.

Iz te hipotetične situacije presodite naslednjo postavko, saj je 1 galona enaka 3,8 litra vode.

Če ima rezervoar za vodo prostornino X tisoč litrov, tako da so 8, X in 12 v geometrijski progresiji v tem vrstnem redu, potem je prostornina tega rezervoarja manjša od 10 tisoč litrov.

Prav

narobe

glej odgovor

Pravilen odgovor: prav

objektivno
Preverite, če je X < 10.

Resolucija
V geometrijski progresiji, PG, je srednji izraz geometrijska sredina med ekstremoma.

X manjši od kvadratnega korena iz 8,12 konec prostora X je manjši od kvadratnega korena iz 96

Pravzaprav je približni kvadratni koren iz 96 9,79. Ugotavljamo, da je prostornina X rezervoarja manjša od 10 tisoč litrov.

7. vaja

(Aeronavtika 2021) Bodi P.G. (24, 36, 54, ...). Z dodajanjem 5. in 6. izraza tega G.P. tam je bilo

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

glej odgovor

Pravilen odgovor: c) 1215/4

objektivno
Dodajte a5 + a6

Resolucija

1. korak: Določite razmerje q.

Razlog za PG je:

q je enak a z 2 indeksoma nad a z 1 podpisom je enak 36 na 24 enako 3 nad 2

2. korak: določite a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Zamenjava a4 v a5:

a s 5 podnapisnimi presledki je enak presledku a s 3 podnapisnimi presledki. prostor q prostor. presledek q presledek je enak presledku a s 3 podnapisnimi presledki. prostor q na kvadrat

3. korak: določite a6

a6 = a5. q

Zamenjava a5 v a6:

a s 6 podnapisom je enako a s 5 podnapisnim presledkom. presledek q presledek je enak presledku a s 3 podnapisnimi presledki. prostor q kvadratni prostor. presledek q presledek je enak presledku a s 3 podnapisnimi presledki. prostor q kub

4. korak: Dodajte a5 + a6 in nadomestite številske vrednosti.

a s 5 indeksom plus a s 6 podnapisom je enako a s 3 podnapisom. q presledek na kvadrat plus presledek a s 3 indeksom. q kocka a s 5 indeksom plus a s 6 podpisom je enaka 54 presledkom. presledek odpre oklepaj 3 čez 2 zapre oklepaj na kvadrat plus presledek 54 presledek. presledek odpre oklepaje 3 nad 2 zapre oklepaje v kocki a s 5 podnapisom plus a s 6 podnapisom je enako 54 presledkom. prostor 9 čez 4 prostor plus prostor 54 prostor. prostor 27 nad 8

54 kot dokaz:

a s 5 podnapisom plus a s 6 podpisom je enako 54 presledkom odpre oklepaje 9 nad 4 presledki plus presledki 27 nad 8 zapre oklepaje a s 5 podnapisom plus a s 6 podpisom je enako 54 odpre oklepaje števec 9 prostor. prostor 8 nad imenovalec 4 prostor. presledek 8 konec ulomka plus presledek števec 27 presledek. prostor 4 nad imenovalec 4 prostor. presledek 8 konec ulomka zapre oklepaje a s 5 indeksom plus a s 6 podpisa je enako 54 odpre oklepaje 72 nad 32 plus 108 nad 32 zapre oklepaje a s 5 podnapisom plus a s 6 podnapisom je enako 54 odpre oklepaje 180 nad 32 zapre oklepaje a s 5 podnapisom plus a s 6 podnapisom je enako 54 prostor. prostor 180 na 32 je enako 9720 na 32 je enako 1215 na 4

8. vaja

(UERJ 2019) Trikotniki A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, prikazani spodaj, imajo obsege p1, p2, p3. Točki teh trikotnikov, začenši z drugega, so središča stranic prejšnjega trikotnika.

priznaj to sklad A z 1 podpisom B z 1 podpisom s poševnico nad skladbo B z 1 podpisom C z 1 podpisom s poševnico zgoraj je enako 7 presledkom in presledkom A z 1 podpisom C z 1 podpisom s poševnico zgoraj je enako 4 .

Tako (p1, p2, p3) definira naslednje napredovanje:

a) aritmetično razmerje = – 8
b) aritmetično razmerje = – 6
c) geometrijsko razmerje = 1/2
d) geometrijsko razmerje = 1/4

glej odgovor

Pravilen odgovor: c) geometrijsko razmerje = 1/2

Resolucija

1. korak: določite obode p1, p2 in p3.

p z 1 podpisom je enak presledkom A z 1 podpisom B z 1 podpisom s poševnico zgoraj plus presledkom B z 1 podpisom C z 1 podpisom s poševnico zgoraj plus sklad A z 1 indeksom C z 1 podpisom s poševnico nad p z 1 podpisom je enak 7 presledkom plus presledkom 7 presledkom plus presledkom 4 p z 1 podpisom je enak 18

Z vzporednostjo preverimo, da so stranice notranjega trikotnika polovice neposredno zunanjega.

Na primer, B2A2 = A1C2

Tako je p2 polovica p1, tako kot je p3 polovica p2. Imamo:

p z 2 indeksoma je enako p z 1 podpisom, deljenim z 2, je enako 9 in p s 3 indeksom je enako p z 2 indeksoma, deljenim z 2, je enako 9 presledkom, deljeno z 2, je enako 4 vejica 5

2. korak: Sestavite napredovanje in ga razvrstite.

p z 1 podnapisnim vejičnim presledkom p z 2 podnapisnim presledkom z vejicami p s 3 podnapisnimi presledki je enako presledku 18 vejica 9 vejica preslednica 4 vejica 5

Izkazalo se je, da se za določitev p2 18 pomnoži z 1/2.

18 presledkov predznak za množenje presledka 1 polovica je enaka 9

Prav tako je 9, pomnoženo z 1/2, 4,5.

9 presledek predznak za množenje presledek 1 polovica je enaka 9 čez 2 je enako 4 vejica 5

Zaključek
Preverimo, da je progresija geometrijska, z razmerjem 1/2.

Vaja 9

(Enem 2021) Graf prikazuje proizvodnjo, ki jo je industrija registrirala v mesecih januarju, marcu in aprilu.

Pregled proizvodnje za mesec februar zaradi logističnih težav ni bil izveden. Vendar pa podatki za ostale tri mesece kažejo, da je proizvodnja v tem štirimesečnem obdobju eksponentno rasla, kar kaže krivulja trenda, ki je prikazana na grafu.

Ob predpostavki, da je bila rast v tem obdobju eksponentna, je mogoče sklepati, da je proizvodnja te panoge v mesecu februarju v tisoč enotah znašala

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

glej odgovor

Pravilen odgovor: c) 240.

Resolucija

Splošni člen PG je eksponent a kot funkcija n, kjer sta a1 in q stalni števili.