O algebraické zlomky sú zlomkové algebraické výrazy, ktoré majú v menovateli najmenej jednu neznámu. V čitateľovi aj v menovateli týchto zlomkov sa často vyskytujú faktory, ktoré nechávajú možnosť ich zjednodušenia. Mnohí ignorujú, že existujú určité pravidlá, ktoré sa riadia týmto procesom zjednodušenia a sú študované od začiatku základnej školy. Preto akýkoľvek zjednodušenie kto poruší tieto pravidlá, má veľký potenciál sa mýliť. Preto uvádzame nižšie tri najčastejšie chyby pri zjednodušovaní algebraických zlomkov a správny spôsob vykonávania týchto postupov.
Pred pokračovaním odporúčame prečítať si článok Zjednodušenie algebraických zlomkov pre tých, ktorí o tejto veci stále pochybujú.
1 - Strih prvkov rovný v čitateli a menovateli
Toto je najbežnejšia chyba. Na začiatku učenia sa študenti chcú „vystrihnúť“ všetky rovnaké prvky v čitateľovi a menovateli písmena a algebraická frakcia. Nejde však o rovnaké prvky, ktoré sa musia „strihať“, ale áno, faktorov rovná sa.
Pravidlo je nasledovné:
Ak existuje rovnaké faktory v čitateli a menovateli je možné tieto faktory znížiť. Pamätajte: rozdelenie medzi nimi dá 1, čo nemá vplyv na rozdelenie resp násobenie. Pretože tieto faktory jednoducho zmiznú, stal sa tento proces známy ako „rezanie“. Pamätajte tiež, že čísla v násobení sa nazývajú faktory.Sčítané alebo odčítané prvky nemôžeš byť rezaný, pretože z jeho rozdelenia nevyplýva 1. Ak si teda vezmeme príklad uvedený nižšie, ktorý zahŕňa sumu, uvidíme správny a nesprávny spôsob vykonania zjednodušenie.
Príklad: Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok.
4x + 4r
x + r
Nesprávne:
4X + 4r = 4 + 4 = 8
X + r
Nezabudnite, že odrezané neznáme čísla (zvýraznené červenou farbou) nie sú faktormi násobenia, ale skôr súčasťou sčítania. Preto je vyššie urobený strih nesprávny.
Správny:
4x + 4r
x + r
procesu polynomiálna faktorizácia spoločným faktorom budeme mať:
4(x + y) = 4
x + r
V čitateli algebraického zlomku nájdeme násobenie, kde sú faktory 4 a x + y. V menovateli nájdeme iba x + y. Upozorňujeme, že x + y je faktor, pretože sa nepridáva ani neodpočítava od žiadneho iného čísla alebo neznáma. Pre lepšie zobrazenie stačí uviesť zátvorky:
4(x + y) = 4
(x + y)
Keby namiesto x + y bolo v menovateli iba číslo 4, dalo by sa to tiež zjednodušiť, vyrezaním iba čísla 4.
Teraz sa pozri na prípad, keď by nemohol byť zjednodušenie:
4(x + y)
x + y + k
* k je akékoľvek číslo, neznáme alebo monomiálne.
2 - Faktorovanie trojuholníka dokonalých štvorcov pomocou spoločného faktorového procesu v dôkazoch
Takmer kedykoľvek a polynóm v algebraická frakcia, treba to zohľadniť. Potom je potrebné porovnať faktory prítomné v čitateľovi a menovateli pri hľadaní možných faktorov zjednodušene (ďalšie slovo pre „strih“).
Stáva sa, že študenti čelia a dokonalý štvorcový trojuholník a zabudnite, že je to výsledok a pozoruhodný produkt, len sa vracia k tomuto produktu, aby vykonal faktorizácia. Snaží sa teda dokázať spoločné faktory.
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
Ľudia, ktorí sa pokúsia o tento druh, často robia vyššie uvedenú chybu.
Všimnite si nasledujúci príklad, ktorý zobrazuje aj správny tvar a najčastejšie nesprávnu formu rozlíšenia.
Príklad: Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok.
4x2 + 8xy + 4r2
x + r
Nesprávne:
4x2 + 8xy + 4r2
x + r
4 (x2 + 2xy + r2)
x + r
alebo
4 (x + 2r) + 4r2
x + r
Upozorňujeme, že to nie je možné ani zjednodušiť, práve preto, že faktoringový proces nebol vykonaný správne.
Správny:
4x2 + 8xy + 4r2
x + r
(2x + 2r)2
x + r
(2x + 2r) (2x + 2 roky)
x + r
V tomto kroku si všimnite, že číslo 2 je spoločné pre všetky prvky dvoch faktorov čitateľa. V tejto situácii je potrebné brať do úvahy faktor spoločný pre tieto dva faktory. Výsledkom bude:
2 · (x + y) · 2 · (x + y)
x + r
2 · 2 · (x + y) (x + y)
x + r
4 · (x + y) (x + y)
x + r
Teraz áno, môžeme znížiť faktor, ktorý sa opakuje v čitateľovi aj v menovateli.
4 · (x + y)(X + y)= 4 · (x + y)
x + r
3 - Zamieňajte pozoruhodné výrobky
Všimnite si zoznam pozoruhodných výrobkov, ktorý obsahuje štvorce alebo súčin súčtu rozdielu.
(x + y)2 = x2 + 2xy + r2
(x - y)2 = x2 –2xy + r2
(x + y) (x - y) = x2 - r2
Zakaždým, keď má polynóm formu dokonalého štvorcového trojuholníka alebo rozdielu dvoch štvorcov - nachádza sa v pravá strana vyššie uvedených rovností -, je možné ich nahradiť pozoruhodným produktom, ktorý ich vygeneroval (ľavá strana zodpovedajúce).
O zjednodušenie algebraických zlomkov, zabúdanie na to, že pozoruhodný produkt zodpovedá dokonalému štvorcovému trojuholníku, je veľmi opakujúca sa chyba - najmä pokiaľ ide o rozdiel dvoch štvorcov. Keď sa objaví, je bežné si predstaviť, že už je započítaný, alebo že exponent 2 je možné uviesť „ako dôkaz“ (a samozrejme to nie je možné urobiť).
Všimnite si nasledujúci príklad zahŕňajúci rozdiel dvoch štvorcov:
Príklad: Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok.
4x2 - 4r2
x + r
Správne:
Pamätajte, že čitateľ je rozdiel dvoch štvorcov a dá sa nahradiť:
(2x - 2r) (2x + 2r)
x + r
Zjednodušenie sa uskutoční tak, že sa dvojka dôkazov prejaví opäť v dvoch faktoroch.
2 · (x - r) · 2 · (x + y)
x + r
2 · 2 · (x - r) · (X + y)
x + r
4 · (x - r)·(x + y) = 4 · (x - y)
x + r
Všimnite si, že v rozdiele dvoch štvorcov je v jednom z faktorov sčítanie a v druhom odčítanie.
Nesprávne:
Použite jeden z ďalších dvoch významných prípadov produktu:
4x2 - 4r2
x + r
(2x + 2r) (2x + 2r)
x + r
Alebo „dajte exponent 2 ako dôkaz“:
4x2 - 4r2
x + r
4 (x - y)2
x + r
Aby ste sa vyhli týmto posledným dvom chybám, odporúčame prečítať si text súčet štvorec, Spoločný dôkazný činiteľ a Potencovanie.
Dobré štúdie!
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
