THE obvod je plochý geometrický útvar tvorený spojenie bodov v rovnakej vzdialenosti, to znamená, že majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu nazývaného stred. Štúdia obvodu je tiež prítomná v analytická geometria, z ktorého je možné odvodiť rovnicu, ktorá ju predstavuje.
Napriek tomu kruh a obvod sú ploché geometrické obrazce s niektorými prvkami spoločnými, čo zvyčajne vedie k pochybnostiam, tieto obrazce predstavujú dôležité rozdiely, najmä pokiaľ ide o rozmernosť.
Prečítajte si tiež: Vzdialenosť medzi dvoma bodmi - dôležitý koncept analytickej geometrie
prvky kruhu
Všimnite si obvod:
Bod Ç volá sa to stred kruhu, a všimnite si, že body A a B k tomu patria. Segment, ktorý sa spája s koncami kruhu prechádzajúcimi stredom, sa nazýva priemer. Na predchádzajúcom obvode potom musíme priemer je segment AB.
Do rozdelíme priemer na polovicu, dajme si polomer obvodu, teda polomer (r) kruhu je to segment, ktorý spája stred a koniec. V tomto prípade je polomerom segment CB. Medzi týmito dvoma prvkami môžeme vytvoriť matematický vzťah, pretože priemer je dvakrát väčší ako polomer.
d = 2 · r
Príklad
Určte polomer kruhu, ktorého priemer je 40 cm.
Vieme, že priemer je dvakrát väčší ako polomer, napríklad takto:
dĺžka obvodu
Zvážte kruh, ktorý má polomer merajúci r. O dĺžka alebo obvod obvod je daný súčinom çkonštantná pi (π) o dvojnásobný polomer.
Keď vypočítame dĺžku alebo obvod kruhu, určujeme veľkosť priamky zelená na predchádzajúcom výkrese, a ak to chcete urobiť, stačí nahradiť hodnotu polomeru vo vzorci, ktorý pokračuje ďalej obrázok.
Príklad
Určte dĺžku obvodu polomeru 5 cm.
Polomer kruhu sa rovná 5 cm, takže na určenie dĺžky kruhu musíme túto hodnotu nahradiť vo vzorci.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24,5
C = 31,2 cm
Pozri tiež: Konštrukcia vpísaných polygónov
oblasť obvodu
Uvažujme o kruhu s polomerom r. Aby sme mohli vypočítať vašu plochu, musíme vynásobte štvorec hodnoty polomeru π.
Keď vypočítame plochu kruhu, určujeme povrchovú mieru, to znamená celú oblasť vo vnútri kruhu.
- Príklad
Určte plochu kruhu, ktorý má polomer rovný 4 cm.
Máme, že polomer obvodu je rovný 4 cm, takže môžeme túto mieru nahradiť vo vzorci pre plochu. Pozri:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14,16
H = 50,24 cm2
Rovnica znížená o obvod
Vieme, že kruh sa dá vybudovať zbierka bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť z pevného bodu nazývaného počiatok alebo stred. Zvážte teda pevný bod v Karteziánske lietadlo O (a, b). Množina bodov - reprezentovaná P (x, y) - ktoré sú v rovnakej vzdialenosti r od tohto pevného bodu, vytvorí kruh s polomerom r.
Všimnite si, že body tvaru P (x, y) sú všetky v rovnakej vzdialenosti od bodu O (a, b), tj vzdialenosť medzi bodmi O a P sa rovná polomeru kruhu, teda:
O redukovaná rovnica, všimnite si, že čísla The a B sú súradnice stredu kruhu a to r je miera polomeru.
- Príklad
Určte súradnice stredu a mieru polomeru kružnice, ktorá má rovnicu:
a) (x - 2)2 + (r - 6)2 = 36
Pri porovnaní tejto rovnice s redukovanou rovnicou máme:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(X - 2)2 + (y -6)2 = 36
Vidíme, že a = 2, b = 6 a r2 = 36. Jedinou rovnicou, ktorú treba vyriešiť, je:
r2 = 36
r = 6
Preto je súradnica stredu: O (2, 6) a dĺžka polomeru je 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Podobne máme:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Zatiaľ čo hodnota polomeru je daná:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + r2 = 1
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
X2 + r2 = 1
Všimnite si, že x2 = (x + 0)2 a r2 = (y + 0)2 . Musíme teda:
(X - The)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Preto je súradnica stredu O (0, 0) a polomer sa rovná 1.
Tiež prístup: Ako nájsť stred kruhu?
všeobecná rovnica kruhu
Aby sme určili všeobecnú rovnicu kruhu, musíme vytvoriť redukovanú rovnicu ju. Uvažujme teda o kružnici, ktorá má stred v súradniciach O (a, b) a polomere r.
Spočiatku budeme termíny rozvíjať na druhú pomocou pozoruhodné výrobky; potom odovzdáme všetky čísla prvému členovi; a nakoniec spojíme výrazy s rovnakým doslovným koeficientom, to znamená výrazy s rovnakými písmenami. Pozri:
Príklad
Určte súradnice stredu a stredný polomer kruhu, ktorý má rovnicu:
a) x2 + r2 - 4x - 6r + 4 + 9 - 49 = 0
Aby sme určili polomer a súradnice kruhu, ktorý má túto rovnicu, musíme ju porovnať so všeobecnou rovnicou. Pozri:
X2 + r2 – 2X - 2by + The2 + B2 –r2 = 0
X2 + r2 – 4X - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Z zeleného porovnania musíme:
2. = 4
a = 2
alebo
The2 = 4
a = 2
Z červeného porovnania vyplýva, že:
2b = 6
b = 3
alebo
B2 = 9
b = 3
Môžeme teda povedať, že stred má súradnicu O (2, 3). Teraz, pri porovnaní hodnoty r, máme:
r2 = 49
r = 7
Polomer kruhu má preto dĺžku rovnú 7.
b) x2 + r2 - 10x + 14r + 10 = 0
Podobným spôsobom porovnajme rovnice:
X2 + r2 – 2X - 2by + The2 + b2 - r2 = 0
X2 + r2 –10X + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Určenie hodnoty b:
–2b = 14
b = - 7
Všimnite si teraz, že:
The2 + b2 - r2 = 10
Pretože poznáme hodnoty a a b, môžeme ich vo vzorci nahradiť. Pozri:
The2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Preto súradnice stredu sú O (5, –7) a polomer má dĺžku rovnú 8.
Rozdiely medzi obvodom a kruhom
Rozdiel medzi kruhom a kruhom sa týka počet rozmerov každého prvku. Zatiaľ čo kruh má jednu dimenziu, kruh má dva.
Kruh je oblasť v rovine tvorená bodmi, ktoré sú rovnako vzdialené od pevného bodu nazývaného počiatok. Kruh sa skladá z každého regiónu v kruhu. Pozrite sa na rozdiel v obrázkoch:
Pozri tiež:obvodová dĺžka a plocha kruhu
vyriešené cviky
Otázka 1 - Obvod má obvod rovný 628 cm. Určte priemer tejto kružnice (adoptujte π = 3,14).
Rozhodnutie
Pretože obvod sa rovná 628 cm, môžeme túto hodnotu dosadiť do výrazu dĺžky obvodu.
otázka 2 - Dva kruhy sú sústredné, ak majú rovnaký stred. Ak to poznáte, určite plochu prázdneho obrázku.
Rozhodnutie
Upozorňujeme, že na určenie oblasti v bielej farbe musíme určiť oblasť väčšieho kruhu a potom plochu menšieho kruhu modrou farbou. Upozorňujeme tiež, že ak odstránime modrý kruh, zostane iba oblasť, ktorú chceme, takže musíme tieto oblasti odpočítať. Pozri:
THEVäčší = r2
THEVäčší = (3,14) · (9)2
THEVäčší = (3,14) · 81
THEVäčší = 254,34 cm2
Poďme teraz vypočítať plochu modrého kruhu:
THEMENŠÍ = r2
THEMENŠÍ = (3,14) · (5)2
THEMENŠÍ = (3,14) · 25
THEMENŠÍ = 78,5 cm2
Prázdna plocha je teda daná rozdielom medzi väčšou plochou a menšou plochou.
THEBIELY = 254,34 – 78,5
THEBIELY = 175,84 cm2
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
