Čo je to permutácia?

Permutácia je jedným z predmetov diskutovaných v disciplíne kombinatorická analýza v matematike. Keď máme v ruke ľubovoľnú usporiadanú postupnosť s „n“ počtom odlišných prvkov, akákoľvek iná postupnosť tvorená rovnakými „n“ usporiadanými prvkami sa nazýva a permutácia.

Môžeme teda povedať, že ak A je permutácia B, potom A a B sú zložené z rovnakých prvkov, ale sú usporiadané odlišne.

Odkiaľ pochádzajú permutácie?

Permutácie sú ojedinelými prípadmi Jednoduché usporiadanie. Jedná sa o usporiadané zoskupenia množiny A prvkov, takže skupiny majú menší alebo rovnaký počet prvkov ako množina A.

Množina A = {X, Y, Z}, {X, Y} a {Y, X} je a jednoduché usporiadanie prvkov z A odobratých 2 až 2. Počet prvkov v A je predstavovaný písmenom „n“. O číslo objednávkyalebo číslo triedy, je „k“. Toto číslo predstavuje počet prvkov v každom jednoduchom poli (v prípade príkladu je toto číslo 2).

Zoznam všetkých jednoduchých usporiadaní troch prvkov bodu A prijatých 3 až 3 je nasledovný:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX a YXZ

Tento zoznam je konkrétnym prípadom mechanizmov, ktoré dostávajú názov permutácie.

Výpočet jednoduchých opatrení

Počet jednoduchých polí množiny A, ktorá má č prijaté prvky k The oh, možno vypočítať podľa tohto vzorca:

THE_{nie, ok} = nie!
(n - k)!

Definícia permutácie

Nech A je množina s č odlišné prvky. Vy jednoduché usporiadanie z týchto prvkov prijatých n až n sa volá jednoduché permutácie A. Aby to teda bola permutácia, je potrebné, aby bolo číslo objednávky k sa rovná počtu č prvkov A. Z toho vyplývajú nasledujúce výpočty:

Ak vezmeme vzorec použitý pre jednoduché polia a poradové číslo k = n, budeme mať:

Toto je vzorec, ktorý sa používa na výpočet počtu permutácií prvkov množiny A, zvyčajne označených P_č. Čoskoro:

Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)

P_č = A_{nie nie} = n!

P_č = n!

Príklad

Vypočítajte počet permutácií písmen slova LOVE.

Riešenie:

Upozorňujeme, že slovo LOVE má 4 odlišné prvky. Na výpočet počtu permutácií tohto slova použijeme vzorec vyššie:

P_č = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Preto je možné vytvoriť 24 rôznych permutácií písmen slova LOVE. Nazývajú sa aj slovné obmeny anagramy.

Permutácie s opakovanými prvkami

Akákoľvek množina môže mať opakované prvky. O permutácie táto súprava by mala brať do úvahy opakovanie týchto prvkov, pretože na rozdiel od poradia ostatných prvkov súpravy nezáleží na poradí, v akom sa vyskytujú. Ak v slove AMAR zmeníme iba dve „A“, dostaneme rovnaké slovo. Podobné slová nie sú permutácie, preto sa toto opakovanie musí odpočítať vo vzorci pre permutácie.

Na odpočítanie všetkých možných opakovaní prvkov v jednom permutácia s opakovanými prvkami, musíme urobiť nasledovné:

Nech A je množina s č prvky, z toho k prvky sa opakujú. Vzorec na výpočet permutácií A je:

P_č^k = nie!
k!

Ak je nastavené A, s č živly, vlastniť k opakovania prvku a j opakovania iného výpočtu sa uskutoční takto:

P_č^haha =  nie!
k! · j!

Ak súprava A, s č prvky, má k opakovania prvku, j opakovania iného,…, m pri opakovaní iného má vzorec nasledujúcu formu:

P_č^{k, j,..., m} =  nie!
k! · j! ·... · M!

Príklad

Vypočítajte počet anagramov slova ANTONIA.

Riešenie:

Ak chcete vyriešiť príklad, stačí vypočítať hodnotu permutácie s opakovanými prvkami slova ANTONIA. Písmeno A aj písmeno N sa opakujú dvakrát. Pozerať:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku