Exponenciálna funkcia: typy, graf, úlohy

THE exponenciálna funkcia nastane, keď je vo svojom zákone formovania premenná v exponente, s doménou a kontradoménou v reálne čísla. Doménou exponenciálnej funkcie sú reálne čísla a doménou počítadla sú nenulové kladné reálne čísla. Váš školský zákon možno opísať f (x) =The^X, na čom The je kladné reálne číslo iné ako 1.

O grafický exponenciálnej funkcie bude vždy v prvom a druhom kvadrante karteziánskej roviny a môže sa zvyšovať, keď The je číslo väčšie ako 1 alebo klesá, keď The je kladné číslo menšie ako 1. THE inverzná funkcia exponenciálnej funkcie je logaritmická funkcia, vďaka ktorej sú grafy týchto funkcií vždy symetrické.

Prečítajte si tiež: Čo je funkcia?

Čo je to exponenciálna funkcia?

Ako naznačuje názov, pojem exponenciál je spojený s exponentom. Definícia exponenciálnej funkcie je teda a funkcia ktorej doména je množina reálnych čísel a protidoména je množina nenulových kladných reálnych čísel., popísané : ℝ → ℝ *₊. Jeho zákon formovania je opísaný rovnicou f (x) =

instagram story viewer

The^X, na čom The je to akékoľvek skutočné číslo, kladné, nie nulové a dané základnému názvu.

Príklady:

Vo formačnom zákone možno f (x) tiež označiť ako y a rovnako ako v iných funkciách je známa ako závislá premenná, pretože jej hodnota závisí od x, ktoré je známe ako premenná. nezávislý.

Typy exponenciálnych funkcií

Exponenciálne funkcie možno rozdeliť do dvoch odlišných prípadov. Ak vezmeme do úvahy chovanie funkcie, môže to byť vzostupne alebo zostupne.

Exponenciálna funkcia sa nazýva rastúca, ak so zvyšujúcou sa hodnotou x rastie aj hodnota f (x). K tomu dôjde, keď je základňa väčšia ako 1, to znamená: The > 1.

Príklad:

Graf zväčšujúcej sa exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia sa považuje za klesajúcu, ak s rastúcou hodnotou x klesá hodnota f (x). K tomu dôjde, keď základom je číslo od 0 do 1, to znamená 0 < The < 1.

Príklad:

Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi funkciou a rovnicou

Graf exponenciálnych funkcií

Aby bolo možné nakresliť grafické znázornenie exponenciálnej funkcie, je potrebné nájsť obrázok pre niektoré doménové hodnoty. Graf exponenciálnej funkcie má charakteristiku rastu oveľa väčšiu ako rast lineárne funkcie, ak sa zvyšuje, alebo väčší pokles, keď klesá.

Príklady:

a) Vytvorte graf funkcie: f (x) = 2^X.

Pretože> 1, potom sa táto funkcia zväčšuje. Ak chcete zostaviť graf, priraďme niektoré hodnoty x, ako je uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Teraz, keď poznáme niektoré body funkcie, je možné ich označiť v Karteziánske lietadlo a zakreslite krivku exponenciálnej funkcie.

b) Vytvorte graf nasledujúcej funkcie:

V tomto prípade je funkcia zostupná, pretože základom je číslo od 0 do 1, potom bude graf klesať.

Po nájdení niektorých číselných hodnôt je možné v karteziánskej rovine znázorniť graf funkcie:

Vlastnosti exponenciálnych funkcií

→ 1. majetok

V akejkoľvek exponenciálnej funkcii bez ohľadu na jej základnú hodnotu , Musímef (0) = 1. Koniec koncov, vieme, že ide o vlastnosť potencie, to znamená, že každé číslo zvýšené na 0 je 1. To znamená, že graf bude vždy pretínať vertikálnu os v bode (0,1).

→ 2. nehnuteľnosť

Exponenciálna funkcia je injektor. Údaje x₁ a x₂ taký, že x₁ ≠ x₂, takže obrázky budú tiež odlišné, tj. f (x₁) ≠ f (x₂), čo znamená, že pre každú hodnotu obrázka existuje v doméne jedna hodnota, ktorá zodpovedá danému obrázku.

Injekčné znamená, že pre hodnoty iné ako y bude existovať jedna hodnota x, ktorá spôsobí, že f (x) sa bude rovnať y.

→ 3. nehnuteľnosť

Je možné poznať správanie sa funkcie podľa jej základnej hodnoty. Graf sa zväčší, ak je báza väčšia ako 1 (The > 1) a klesá, ak je báza menšia ako 1 a menšia ako 0 (0

→ 4. majetok

O graf exponenciálnej funkcie je vždy v 1. a 2. kvadrante, pretože protidoménou funkcie sú nenulové pozitívne reality.

Prečítajte si tiež: Ako nakresliť funkciu?

Exponenciálna funkcia a logaritmická funkcia

Pretože exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá pripúšťa inverziu, je toto porovnanie medzi exponenciálnou funkciou a logaritmickou funkciou nevyhnutné. ukáže sa to logaritmická funkcia je inverzná funkcia exponenciálu. Grafy týchto funkcií sú symetrické okolo osi úsečky x. Inverzná funkcia znamená, že: logaritmická funkcia robí opak toho, čo exponenciálna funkcia, to znamená, že v exponenciálnej funkcii, ak f (x) = y, potom bude logaritmická funkcia, ktorá je inverzná, označená f^-1 f^-1 (y) = x.

Graf exponenciálnej funkcie je symetrický s grafom logaritmickej funkcie.

Cvičenia vyriešené

(Enem 2015) Odborový zväz zamestnancov spoločnosti naznačuje, že minimálna mzda triedy je 1 800,00 R $, čo navrhuje fixné percentuálne zvýšenie pre každý rok venovaný práci. Výraz, ktorý zodpovedá návrhu (-om) platu, ako funkcia dĺžky služby (t) v rokoch, je s (t) = 1 800 · (1,03)^t.

Podľa návrhu zväzu bude plat profesionála z tejto spoločnosti s 2 rokmi služby v skutočnosti

a) 7 416,00

b) 3 819,24

c) 3 709,62

d) 3 708,00

e) 1909,62

Rozhodnutie:

Chceme vypočítať obraz funkcie, keď t = 2, teda s (2). Dosadením t = 2 do vzorca zistíme, že:

s (2) = 1 800 · (1,03) 2

s (2) = 1800 · 1,0609

s (2) = 1909,62

Alternatíva E

2) (Enem 2015) Cieľom pridania technológií do systému priemyselnej výroby je znížiť náklady a zvýšiť produktivitu. V prvom roku prevádzky priemysel vyrobil 8 000 kusov konkrétneho produktu. V nasledujúcom roku investovala do technológií, nákupu nových strojov a zvýšenia výroby o 50%. Odhaduje sa, že toto percentuálne zvýšenie sa bude v nasledujúcich rokoch opakovať, čo zaručí ročný rast o 50%. Nech P je ročné množstvo výrobkov vyrobených v roku t činnosti odvetvia.

Ak sa dosiahne odhad, aký je výraz, ktorý určuje počet vyrobených jednotiek Pvo funkcii t, pre t ≥ 1?

) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

ç)P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

a)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Rozhodnutie:

Upozorňujeme, že medzi rokom existuje vzťah t a množstvo určitého produktu P. Ak vieme, že sa každý rok zvyšuje o 50%, znamená to, že pri porovnaní výroby pred a po roku zodpovedá hodnota druhého produktu 150%, čo predstavuje 1,5. Keď vieme, že počiatočná výroba je 8 000 a že v prvom roku to bola výroba, môžeme túto situáciu opísať takto:

V prvom roku, to znamená, ak t = 1 → s (t) = 8 000.
V druhom roku, ak t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
V treťom roku, ak t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Po t rokoch budeme mať P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.