Veta o polynomiálnom rozklade

Základná veta o algebre pre polynomické rovnice zaručuje to „každý stupeň polynómu n ≥ 1 má aspoň jeden komplexný koreň “. Dôkaz o tejto vete urobil matematik Friedrich Gauss v roku 1799. Z neho môžeme demonštrovať veta o polynomiálnom rozklade, ktorý zaručuje, že akýkoľvek polynóm je možné rozložiť na faktory prvého stupňa. Vezmite nasledujúci polynóm p (x) ročníka n ≥ 1 a_č ≠ 0:

p (x) = a_č X^č +_n-1 X^n-1 +... +₁X¹ +₀

Prostredníctvom základnej vety o algebre môžeme konštatovať, že tento polynóm má najmenej jeden komplexný koreň. u₁, také, že p (u₁) = 0. O D'Alembertova veta do delenie polynómov uvádza, že ak p (u₁) = 0, potom p (x) je deliteľné (x - u₁), čoho výsledkom je kvocient čo₁(X), čo je polynóm stupňa (n - 1), čo nás vedie k tomu, aby sme povedali:

p (x) = (x - u₁). čo₁(X)

Z tejto rovnice je potrebné zdôrazniť dve možnosti:

Ak u = 1 a čo₁(X) je polynóm stupňa (n - 1)potom čo₁(X) má titul 0. Ako dominantný koeficient p (x) é The_č, čo₁(X) je konštantný polynóm typu čo₁(X)=The_č. Takže máme:

p (x) = (x - u₁). čo₁(X)
(x) = (x - u₁). The_č
p (x) = a_č . (x - u₁)

Ale ak u ≥ 2, potom polynóm čo₁ má titul n - 1 ≥ 1 a základná veta o algebre platí. Môžeme povedať, že polynóm čo₁ má aspoň jeden koreň č₂, čo nás vedie k tomu, aby sme to hovorili čo₁ možno napísať ako:

čo₁(x) = (x - u₂). čo₂(X)

Ale ako p (x) = (x - u₁). čo₁(X), môžeme to prepísať ako:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). čo₂(X)

Tento proces, ktorý sa bude opakovať, budeme mať:

p (x) = a_č. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_č)

Môžeme teda konštatovať, že každý polynóm alebo polynomiálna rovnica p (x) = 0 ročníka n ≥ 1 vlastní presne č zložité korene.​

Príklad: Byť p (x) polynóm stupňa 5, také, že jeho korene sú – 1, 2, 3, – 2 a 4. Napíšte tento polynóm rozložený na faktory 1. stupňa, berúc do úvahy dominantný koeficient rovná 1. Musí byť napísané v rozšírenej forme:

ak – 1, 2, 3, – 2 a 4 sú korene polynómu, takže súčin rozdielov X pre každý z týchto koreňov má za následok p (x):

p (x) = a_č. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Ak dominantný koeficient The_č = 1, máme:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Autor: Amanda Gonçalves
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm