Násobenie matíc: ako počítať, príklady

THE mnásobenie matíc sa deje pomocou algoritmu, ktorý si vyžaduje veľkú pozornosť. Aby existoval produkt medzi maticou A a maticou B, je potrebné, aby počet stĺpce dáva najprv ústredie, v prípade A, sa rovná počtu riadky dáva Pondelok ústredie, v prípade B.

Z násobenia medzi maticami je možné pochopiť, čo je to matica identity, ktorá je neutrálny prvok násobenia matice a čo je to inverzná matica matice M, ktorou je matica M^-1 ktorého súčin M od M^-1 sa rovná matici identity. Je tiež možné vynásobiť maticu reálnym číslom - v takom prípade vynásobíme každú z výrazov ústredie podľa čísla.

Prečítajte si tiež: Čo je to trojuholníková matica?

podmienka existencie

Násobenie medzi maticami je proces, ktorý si vyžaduje veľkú pozornosť.

Ak chcete vynásobiť dve matice, najskôr je potrebné skontrolovať stav existencie. Aby výrobok existoval, počet stĺpcov v prvej matici sa musí rovnať počtu riadkov v druhej matici. Výsledkom násobenia je ďalej matica, ktorá má rovnaký počet riadkov ako prvá matica a rovnaký počet stĺpcov ako druhá matica.

Napríklad produkt AB medzi maticami A_3x2 a B_2x5 existuje, pretože počet stĺpcov v A (2 stĺpce) sa rovná počtu riadkov v B (2 riadky) a výsledkom je matica AB_3x5. Produkt už medzi maticami C._3x5 a matice D_2x5 neexistuje, pretože C má 5 stĺpcov a D má 3 riadky.

Ako vypočítať produkt medzi dvoma maticami?

Ak chcete vykonať násobenie matíc, je potrebné dodržať niektoré kroky. Urobíme si príklad násobenia algebraickej matice A_2x3 maticou B_3x2

Vieme, že produkt existuje, pretože matica A má 3 stĺpce a matica B 3 riadky. Výsledok násobenia budeme nazývať C · B. Okrem toho tiež vieme, že výsledkom je matica C._2x2, pretože matica A má 2 riadky a matica B 2 stĺpce.

Na výpočet súčinu matice A_2x3 a matica B_3X2, urobme niekoľko krokov.

Najprv nájdeme každý z členov matice C_2x2:

Aby sme našli podmienky, poďme riadky matice A vždy spájajte so stĺpcami matice B:

ç₁₁ → 1. riadok A a 1. stĺpec B
ç₁₂ → 1. riadok A a 2. stĺpec B
ç₂₁ → 2. riadok A a 1. stĺpec B
ç₂₂ → 2. riadok A a 2. stĺpec B

Každý z výrazov vypočítame vynásobením výrazov v riadku A a výrazov v stĺpci B. Teraz musíme pridať tieto produkty, počnúc od ç_11:

1. riadok A
1. stĺpec B

ç₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

vypočítavý ç₁₂:

1. riadok A
2. stĺpec B

ç₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

vypočítavý ç₂₁:

2. riadok A
1. stĺpec B

ç₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

výpočet termínu ç₂₂:

2. riadok A
2. stĺpec B

ç₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Maticu C teda tvoria výrazy:

Príklad:

Vypočítajme násobenie medzi maticami A a B.

Vieme to v A_2x2 a B_2x3, počet stĺpcov v prvom sa rovná počtu riadkov v druhom, takže produkt existuje. Takže urobíme C = A · B a vieme, že C_2x3.

Po vynásobení musíme:

Pozri tiež: Čo je to transponovaná matica?

matica identity

Pri násobení medzi maticami existujú niektoré špeciálne prípady, ako napr matica identity, ktorá je neutrálnym prvkom množenia medzi maticami.. Matica identity je štvorcová matica, to znamená, že počet riadkov sa vždy rovná počtu stĺpcov. Ďalej sa len členy uhlopriečky v ňom rovnajú 1 a všetky ostatné členy sa rovnajú nule. Keď vynásobíme maticu M maticou identity I_č, Musíme:

M · I_č = M.

Matice identity od objednávky 2 do objednávky 5

Príklad:

Čo je to inverzná matica?

Vzhľadom na maticu M ju poznáme ako inverznú maticu M. matica M^-1ktorého produkt M · M^-1 rovná sa à matica identity I_č. Aby matica mala inverznú hodnotu, musí byť štvorcová a jej určujúci sa musí líšiť od 0. Pozrime sa na príklady matíc, ktoré sú inverzné:

Pri výpočte produktu A · B musíme:

Všimnite si, že produkt medzi A a B generovanou matricou I₂. Keď sa to stane, hovoríme, že B je inverzná matica A. Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o tomto type matice, prečítajte si: Inverzná matica.

Násobenie matice reálnym číslom

Na rozdiel od násobenia medzi maticami existuje aj maticové násobenie jednou Reálne číslo, čo je oveľa jednoduchšia operácia na nájdenie riešenia.

Daná matica M, vynásobenie matice reálnym číslom k sa rovná matici kM. Ak chcete nájsť túto maticu kM, dosť vynásobte všetky členy v matici konštantou k.

Príklad:

ak k = 5 a vzhľadom na maticu M uvedenú nižšie nájdite maticu 5M.

Násobenie:

Cvičenia vyriešené

Otázka 1 - (Unitau) Vzhľadom na matice A a B,

hodnota prvku c₁₁ matice C = AB je:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Rozhodnutie

Alternatíva A.

Ako chceme výraz c₁₁, vynásobme pojmy v prvom riadku a A pojmami v prvom stĺpci B.

výpočet c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Otázka 2 - (Enem 2012) Študent zaregistroval dvojmesačníky niektorých svojich predmetov do tabuľky. Poznamenal, že číselné položky v tabuľke tvoria maticu 4 × 4 a že pomocou súčinu matíc môže vypočítať ročné priemery pre tieto disciplíny. Všetky testy mali rovnakú váhu a tabuľka, ktorú dostal, je uvedená nižšie.

Na získanie týchto priemerov vynásobil maticu získanú z tabuľky maticou:

Rozhodnutie

Alternatíva E.

Priemer nie je nič iné ako súčet prvkov vydelený počtom prvkov. Upozorňujeme, že v každom riadku sú 4 poznámky, takže priemer by bol súčtom týchto poznámok vydelený 4. Delenie 4 je rovnaké ako vynásobenie zlomok ¼. Matica známok je tiež matica 4x4, takže musíme vynásobiť maticu 4x1, to znamená, že má 4 riadky a 1 stĺpec, aby sme našli maticu, ktorá má priemer známok.

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm