Inverzná matica: čo to je, ako nájsť cvičenia

Koncepcia inverzná matica sa veľmi blíži konceptu inverznej hodnoty čísla. Pamätajme, že inverzná hodnota čísla č je číslo č^-1, kde súčin medzi týmito dvoma prvkami sa rovná neutrálnemu prvku násobenie, teda číslo 1. Už inverzia matice M je matica M^-1, kde je produkt M · M^-1 sa rovná matici identity I_nie, čo nie je nič iné ako neutrálny prvok násobenia matíc.

Aby matica mala inverziu, musí byť štvorcová a navyše jej determinant musí byť odlišný od nuly, inak inverzia nebude. Na nájdenie inverznej matice použijeme maticovú rovnicu.

Čítajte tiež: Trojuholníková matica - špeciálny typ štvorcovej matice

Ak má matica inverznú hodnotu, musí byť štvorcová.

matica identity

Aby sme pochopili, čo je to inverzná matica, je potrebné najskôr poznať maticu identity. Ako maticu identity poznáme štvorcovú maticu I_č kde všetky prvky hlavnej uhlopriečky sú rovné 1 a ostatné členy sú rovné 0.

THE matica identity je neutrálny prvok množenia medzi maticami., to znamená, že ústredie M objednávky n, súčin medzi maticou M a maticou I_č sa rovná matici M.

M · I_č = M.

Ako vypočítať inverznú maticu

Na nájdenie inverznej matice M je potrebné vyriešiť maticovú rovnicu:

 M · M^-1 = Ja_č

Príklad

Nájdite inverznú maticu M.

Pretože nepoznáme inverznú maticu, reprezentujme túto maticu algebraicky:

Vieme, že súčin medzi týmito maticami musí byť rovnaký ako ja₂:

Teraz poďme vyriešiť maticovú rovnicu:

Je možné rozdeliť problém na dva systémy rovnice. Prvý používa prvý stĺpec matice M · M^-1 a prvý stĺpec matice identity. Musíme teda:

Aby sme vyriešili systém, izolovajme₂₁ v rovnici II a dosaďte v rovnici I.

Ak nahradíme rovnicu I, musíme:

Ako zistíme hodnotu a₁₁, potom nájdeme hodnotu a₂₁:

Poznanie hodnoty a₂₁ a₁₁, teraz nájdeme hodnotu ostatných výrazov nastavením druhého systému:

izolácia₂₂ v rovnici III musíme:

3₁₂ + 1₂₂ = 0

The₂₂ = - 3₁₂

Nahradenie v rovnici IV:

5₁₂ + 2₂₂ =1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Poznanie hodnoty a₁₂, nájdeme hodnotu a₂₂ :

The₂₂ = - 3₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Teraz, keď poznáme všetky pojmy matice M.^-1, je možné ho zastupovať:

Prečítajte si tiež: Sčítanie a odčítanie matíc

Vlastnosti inverznej matice

Existujú vlastnosti, ktoré vzniknú definovaním inverznej matice.

• 1. majetok: inverzia matice M^-1 sa rovná matici M. Inverzná inverzná matica je vždy samotná matica, to znamená (M^-1)^-1 = M, pretože vieme, že M^-1 · M = ja_č, preto M^-1 je inverzná k M a tiež M je inverzná k M^-1.
• 2. nehnuteľnosť: inverzia matice identity je sama o sebe: I^-1 = I, pretože samotný produkt matice identity má za následok maticu identity, to znamená ja_č · Ja_č = Ja_č.
• 3. nehnuteľnosť: inverzná k súčin dvoch matícsi ty sa rovná súčinu obrátených:

(M × H)^-1 = M.^-1 · A^-1.

• 4. majetok: štvorcová matica má inverznú funkciu len vtedy, ak je určujúci sa líši od 0, to znamená, det (M) ≠ 0.

vyriešené cviky

1) Vzhľadom na maticu A a maticu B s vedomím, že sú inverzné, potom je hodnota x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Rozhodnutie:

Alternatíva d.

Tvorba rovnice:

A · B = I 

V druhom stĺpci, rovnajúcim sa výrazom, máme:

3x + 5r = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Izolácia x do I:

Výmena rovnica II, musíme:

Ak poznáme hodnotu y, nájdeme hodnotu x:

Teraz vypočítajme x + y:

otázka 2

Matica má inverziu iba vtedy, keď je jej determinant odlišný od 0. Pri pohľade na maticu nižšie, aké sú x hodnoty, vďaka ktorým matica nepodporuje inverzné funkcie?

a) 0 a 1.

b) 1 a 2.

c) 2 a - 1.

d) 3 a 0.

e) - 3 a - 2.

Rozhodnutie:

Alternatíva b.

Pri výpočte determinantu A chceme hodnoty, kde det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

riešenie Rovnica 2. stupňa, Musíme:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm