Permutácie sú súčasťou problémov s počítaním. Na zistenie počtu rádov prvkov v množine používame permutácie. Precvičte si svoje znalosti o permutácii a vyriešte svoje pochybnosti pomocou vyriešených cvičení.
Cvičenie 1
Dvaja kamaráti sa hrali so šesťstennými kockami. Je známe, že čísla 4, 1, 2 a 5 vyšli, nie nevyhnutne v tomto poradí. Koľko sekvencií výsledkov mohlo byť?
odpoveď: 24
Určité poradie výsledkov môže byť:
1, 2, 4 a 5 alebo
5, 4, 5 a 1 alebo
4, 5, 1 a 2
Na určenie celkového počtu možných usporiadaní vypočítame permutáciu so štyrmi odlišnými prvkami.
Cvičenie 2
Skupina šiestich priateľov si išla pozrieť film do kina a kúpila si lístky na rovnaký rad sedadiel. Ak vezmeme do úvahy, že je pár a sedeli na susedných stoličkách, koľkými spôsobmi by sa títo priatelia zmestili do radu stoličiek?
odpoveď: 240
Keďže pri výpočte sa berú do úvahy všetky prvky množiny „priatelia“, ide o permutačný problém.
Na výpočet celkového možného počtu permutácií sme zvažovali 5 prvkov, keďže pár musí byť vždy spolu.
Ďalej z týchto 120 možností musíme vynásobiť dvomi, keďže si pár môže medzi sebou vymeniť miesta.
Počet možných spôsobov, ako sa môžu priatelia usporiadať v rade stoličiek, je teda:
120. 2 = 240
Cvičenie 3
Trieda 7 žiakov sa hrá na nádvorí a využíva prestávku. Po zaznení signálu, ktorý informuje o návrate do tried, sa študenti presunú do radu. Koľkými rôznymi spôsobmi môžu študenti vytvoriť poradie v rade?
Odpoveď: 5040
Celkový počet možných spôsobov usporiadania frontu je permutáciou 7 rôznych prvkov.
Cvičenie 4
Fotograf nastavuje svoj fotoaparát na fotografovanie 5 detí rozmiestnených na lavičke. V tejto skupine sú 3 dievčatá a 2 chlapci. Možné usporiadanie detí pre fotografiu by bolo:
Ak vezmeme do úvahy polohy, v ktorých môžu deti sedieť na lavičke, koľkými spôsobmi môže fotograf usporiadať chlapcov a dievčatá a získať rôzne fotografie?
odpoveď: 10
Toto je prípad permutácie s opakovanými prvkami. Celkový počet permutácií musíme rozdeliť súčinom medzi permutácie prvkov, ktoré sa opakujú.
Cvičenie 5
Koľko anagramov možno vytvoriť s písmenami v slove PREFEITURA?
Odpoveď: 907 200
Slovo RADNICE má 10 písmen, z ktorých niektoré sa opakujú. Písmeno E sa objavuje dvakrát, rovnako ako R.
Vypočítame delenie medzi permutáciou 10 prvkov a vydelíme súčinom permutácií opakovaných prvkov.
Cvičenie 6
(UEMG 2019) Zo súboru všetkých permutácií písmen v slove PONTA sa náhodne odstráni jedno. Aká je pravdepodobnosť odstránenia slova, ktoré začína a končí samohláskou?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Krok 1: počet všetkých permutácií s písmenami slova PONTA.
Keďže existuje päť rôznych písmen, máme:
Krok 2: počet permutácií, ktoré začínajú a končia samohláskou.
Pre prvé písmeno sú dve možnosti samohlásky, pre posledné písmeno bude len 1.
Pre spoluhlásky sú 3! možnosti.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Krok 3: určiť pomer pravdepodobnosti.
Cvičenie 7
(EsPCex 2012) Pravdepodobnosť získania čísla deliteľného 2 pri náhodnom výbere jednej z permutácií číslic 1, 2, 3, 4, 5 je
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Krok 1: celkové permutácie.
Keďže existuje päť odlišných prvkov, máme, že počet permutácií 5 prvkov sa rovná 5 faktoriálom.
Krok 2: permutácie čísel deliteľných dvomi s piatimi číslicami.
Podmienkou deliteľného 2 je, že je párne. Pre poslednú číslicu teda existujú dve možnosti, 2 a 4.
Pre ostatné pozície sú 4! možnosti.
Krok 3: výpočet pravdepodobnosti.
Cvičenie 8
(EsFCEx 2022) Nech P je množina permutácií postupnosti 1, 3, 6, 9, 12, pre ktorú je prvý člen odlišný od 1. Ak je jedna z týchto sekvencií náhodne nakreslená, pravdepodobnosť, že druhý člen je 3, sa rovná p/q, pričom p, q ∈ IN* a gcd (p, q) = 1. Preto sa q – p rovná
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Krok 1: určiť celkový počet možných prípadov v priestore vzorky.
Sprava doľava prvé číslo nemôže byť jedna, takže sú 4 možnosti, ako obsadiť prvé miesto.
Na obsadenie ostatných pozícií sú 4! možnosti.
Permutácie sú:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Krok 2: určiť možnosti výskytu udalosti, pričom druhá je tri, prvá je odlišná od jednej.
Permutácie sú:
3.1.3.2.1 = 18
Krok 3: pomer pravdepodobnosti.
Pomer pravdepodobnosti je:
S p = 18 a q = 96.
Stále však platí podmienka, že najväčší spoločný deliteľ medzi p a q je 1, čo sa u 18 a 96 nevyskytuje.
Musíme zjednodušiť a otestovať zlomky ekvivalentné 18/96.
Krok 4: zjednodušenie zlomku pravdepodobnosti a určenie p a q.
Pretože gcd (3, 16) = 1, p = 3 a q = 16.
Krok 5: záver.
q - p = 16 - 3 = 13
Naučiť sa viac o permutácia.
Ďalšie cvičenia nájdete na:
Kombinatorické analytické cvičenia
ASTH, Rafael. Permutačné cvičenia vyriešené a vysvetlené.All Matter, [n.d.]. Dostupné v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Prístup na:
Pozri tiež
- Kombinatorická analýza
- Kombinatorické analytické cvičenia
- Permutácia: jednoduchá a s opakovaním
- Usporiadanie v matematike: čo to je, ako vypočítať, príklady
- 27 Základné matematické cvičenia
- Kombinácia v matematike: ako počítať a príklady
- Pravdepodobnostné cvičenia
- Pravdepodobnosť
