A číselná postupnosť je súbor čísel usporiadaných usporiadaným spôsobom. Číselná postupnosť môže byť zostavená pomocou rôznych kritérií – napríklad postupnosť párnych čísel alebo postupnosť násobkov 3. Keď môžeme toto kritérium opísať vzorcom, nazývame tento vzorec zákonom o vzniku číselnej postupnosti.
Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi číslom, číslicou a číslicou
Zhrnutie o číselnej postupnosti
Číselná postupnosť je zoznam čísel usporiadaných v poradí.
Číselná postupnosť môže sledovať rôzne kritériá.
Zákon výskytu číselnej postupnosti je zoznam prvkov, ktoré existujú v postupnosti.
Sekvenciu možno klasifikovať dvoma spôsobmi. Jeden berie do úvahy počet prvkov a druhý berie do úvahy správanie.
Čo sa týka počtu prvkov, postupnosť môže byť konečná alebo nekonečná.
Čo sa týka správania, postupnosť môže byť rastúca, konštantná, klesajúca alebo oscilujúca.
Keď možno číselnú postupnosť opísať rovnicou, táto rovnica je známa ako zákon tvorby číselnej postupnosti.
Čo sú to sekvencie?
Sekvencie sú množiny prvkov usporiadaných v určitom poradí
. V našom každodennom živote môžeme vnímať niekoľko situácií, ktoré zahŕňajú sekvencie:Postupnosť mesiacov: Január, február, marec, apríl,..., december.
Postupnosť ročníkov prvých 5 majstrovstiev sveta 21. storočia: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Existuje niekoľko ďalších možných sekvencií, ako napríklad postupnosť mien alebo veková postupnosť. Vždy, keď je zavedený poriadok, existuje postupnosť.
Každý prvok sekvencie je známy ako člen sekvencie, takže v sekvencii je prvý člen, druhý člen atď. vo všeobecnosti sekvencia môže byť reprezentovaná:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(do 1\) → prvý termín.
\(a_2\) → druhý termín.
\(a_3\) → tretí termín.
\(a_n\) → ľubovoľný termín.
Zákon výskytu číselnej postupnosti
Môžeme mať sekvencie rôznych prvkov, ako sú okrem iného mesiace, mená, dni v týždni. Apostupnosť je číselná postupnosť, keď obsahuje čísla. Môžeme vytvoriť postupnosť párnych čísel, nepárnych čísel, základné čísla, násobky 5 atď.
Postupnosť je znázornená pomocou zákona výskytu. Zákon výskytu nie je nič iné ako zoznam prvkov číselnej postupnosti.
Príklady:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → postupnosť nepárnych čísel od 1 do 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → postupnosť čísel, ktoré sú násobkami 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → striedavá postupnosť medzi 1 a -1.
Aká je klasifikácia číselnej postupnosti?
Sekvencie môžeme klasifikovať dvoma rôznymi spôsobmi. Jedna z nich berie do úvahy počet prvkov a druhá berie do úvahy správanie sa týchto prvkov.
→ Klasifikácia číselnej postupnosti podľa počtu prvkov
Keď klasifikujeme postupnosť podľa počtu prvkov, existujú dve možné klasifikácie: konečná postupnosť a nekonečná postupnosť.
◦ Konečná číselná postupnosť
Postupnosť je konečná, ak má obmedzený počet prvkov.
Príklady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Nekonečná číselná postupnosť
Postupnosť je nekonečná, ak má neobmedzený počet prvkov.
Príklady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klasifikácia číselnej postupnosti podľa správania sa postupnosti
Ďalším spôsobom klasifikácie je sekvenčné správanie. V tomto prípade môže byť postupnosť rastúca, konštantná, oscilujúca alebo klesajúca.
◦ Zvyšovanie postupnosti čísel
Postupnosť sa zvyšuje, ak je člen vždy väčší ako jeho predchodca.
Príklady:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Konštantná postupnosť čísel
Postupnosť je konštantná, keď všetky členy majú rovnakú hodnotu.
Príklady:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Zostupná postupnosť čísel
Postupnosť je klesajúca, ak sú členy v postupnosti vždy menšie ako ich predchodcovia.
Príklady:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oscilujúca postupnosť čísel
Postupnosť je oscilujúca, ak sa striedavo vyskytujú členy väčšie ako ich predchodcovia a členy menšie ako ich predchodcovia.
Príklady:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Zákon tvorby číselnej postupnosti
V niektorých prípadoch je možné opísať postupnosť pomocou vzorcato však nie je vždy možné. Napríklad postupnosť prvočísel je dobre definovaná postupnosť, nemôžeme ju však opísať pomocou vzorca. Keď sme poznali vzorec, dokázali sme zostrojiť zákon výskytu číselnej postupnosti.
Príklad 1:
Postupnosť párnych čísel väčších ako nula.
\(a_n=2n\)
Upozorňujeme, že pri výmene n pre jedného prirodzené číslo (1, 2, 3, 4, ...), nájdeme párne číslo:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Máme teda vzorec, ktorý generuje členy postupnosti tvorené párnymi číslami väčšími ako nula:
(2, 4, 6, 8, ...)
Príklad 2:
Postupnosť prirodzených čísel väčších ako 4.
\(a_n=4+n\)
Pri výpočte členov postupnosti máme:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Zápis zákona výskytu:
(5, 6, 7, 8,…)
Pozri tiež: Aritmetická progresia — špeciálny prípad číselnej postupnosti
Vyriešené úlohy na číselnú postupnosť
Otázka 1
Číselná postupnosť má formačný zákon rovný \(a_n=n^2+1\). Pri analýze tejto postupnosti môžeme konštatovať, že hodnota 5. člena postupnosti bude:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Rozhodnutie:
Alternatíva E
Pri výpočte hodnoty 5. člena postupnosti máme:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Otázka 2
Analyzujte nasledujúce číselné sekvencie:
ja (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Môžeme povedať, že sekvencie I, II a III sú klasifikované ako:
A) rastúce, oscilujúce a klesajúce.
B) klesajúci, rastúci a oscilujúci.
C) oscilačné, konštantné a rastúce.
D) klesajúci, oscilačný a konštantný.
E) oscilačné, klesajúce a rastúce.
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Pri analýze sekvencií môžeme konštatovať, že:
ja (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Je oscilujúca, pretože existujú výrazy, ktoré sú väčšie ako ich predchodcovia, a výrazy, ktoré sú menšie ako ich predchodcovia.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Je konštantná, pretože členy postupnosti sú vždy rovnaké.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Zvyšuje sa, keďže termíny sú vždy väčšie ako ich predchodcovia.
