A guľový uzáver a geometrické teleso získané, keď je guľa prerušená rovinou, ktorá ju rozdelí na dve geometrické telesá. Guľový uzáver sa považuje za okrúhle telo, pretože má rovnako ako guľa zaoblený tvar. Na výpočet plochy a objemu guľového uzáveru používame špecifické vzorce.
Prečítajte si tiež: Kmeň kužeľa — geometrické teleso tvorené spodkom kužeľa, keď je vytvorená časť rovnobežná so základňou
Zhrnutie o sférickom uzávere
- Guľový uzáver je geometrické teleso získané, keď je guľa rozdelená rovinou.
- Hlavnými prvkami guľového uzáveru sú polomer gule, polomer guľového uzáveru a výška guľového uzáveru.
- Guľový uzáver nie je mnohosten, ale okrúhle telo.
- Ak rovina rozdelí guľu na polovicu, guľový uzáver vytvorí pologuľu.
- Polomer guľového uzáveru je možné vypočítať pomocou Pytagorovej vety, usporiadanej takto:
\(\vľavo (R-h\vpravo)^2+r^2=R^2\)
- Plochu guľového uzáveru možno vypočítať pomocou vzorca:
\(A=2\pi rh\ \)
- Objem guľového uzáveru možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Čo je to sférický uzáver?
guľový uzáver je geometrické teleso získané, keď je rez loptu bežné plochý. Keď guľu rozrežeme rovinou, rozdelíme túto guľu na dva guľovité uzávery. Keď rozdelíme guľu na polovicu, guľový uzáver je známy ako hemisféra.
Sférické čiapočkové prvky
V guľovom uzávere sú hlavnými prvkami polomer gule, polomer guľového uzáveru a výška guľového uzáveru.
- R → polomer gule.
- r → polomer guľového uzáveru.
- h → výška guľového uzáveru.
Je guľový uzáver mnohosten alebo okrúhle telo?
Vidíme, že čiapka je geometrické teleso. Keďže má kruhovú základňu a zaoblený povrch, guľový uzáver sa považuje za a okrúhle telo, ktorý je známy aj ako pevné revolučné teleso. Stojí za zmienku, že mnohosten má tváre tvorené polygóny, čo nie je prípad guľovitého uzáveru, ktorý má základňu tvorenú a kruh.
Ako vypočítať polomer guľového uzáveru?
Ak chcete vypočítať dĺžku polomeru guľového uzáveru, je potrebné poznať dĺžku výšky h guľového uzáveru a dĺžku polomeru R gule, pretože, ako môžeme vidieť na nasledujúcom obrázku, existuje pytagorovský vzťah.
Všimnite si, že máme a správny trojuholník, trojuholník OO'B, s preponou merajúcou R a nohami merajúcimi R – h a r. Aplikácia Pytagorova veta, Musíme:
\(\vľavo (R-h\vpravo)^2+r^2=R^2\)
Príklad:
Aký je polomer guľového uzáveru, ktorý má výšku 2 cm, ak je polomer gule 5 cm?
Rozhodnutie:
Použitie Pytagorovho vzťahu:
\(\vľavo (R-h\vpravo)^2+r^2=R^2\)
\(\vľavo (5-2\vpravo)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Ako vypočítať plochu guľového uzáveru?
Ak chcete vypočítať plochu guľového uzáveru, je potrebné poznať meranie dĺžky polomeru R gule a výšky h uzáveru. Vzorec použitý na výpočet plochy povrchu je:
\(A=2\pi Rh\)
- R → polomer gule.
- h → výška guľového uzáveru.
Príklad:
Guľový uzáver bol získaný z gule, ktorá má polomer 6 cm a výšku 4 cm. Aký je teda povrch tohto guľového uzáveru?
Rozhodnutie:
Pri výpočte plochy guľového uzáveru máme:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Ako vypočítať objem guľového uzáveru?
Objem guľového uzáveru možno vypočítať dvoma spôsobmi. Prvý vzorec závisí od polomeru R gule a výšky h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vľavo (3 vpravo\vpravo)\)
Príklad:
Aký je objem guľového uzáveru získaného z gule s polomerom 8 cm, ktorej výška guľového uzáveru je 6 cm?
Rozhodnutie:
Keďže poznáme hodnotu R a h, použijeme prvý vzorec.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vľavo (3 vpravo\vpravo)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\vľavo (24-6\vpravo)\)
\(V=12\pi\vľavo (18\vpravo)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Ďalší vzorec objemu guľového uzáveru berie do úvahy polomer guľového uzáveru r a výšku uzáveru h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\vľavo (3r^2+h^2\vpravo)\)
Príklad:
Aký je objem guľového uzáveru, ktorý má polomer 10 cm a výšku 4 cm?
Rozhodnutie:
V tomto prípade máme r = 10 cm a h = 4 cm. Keďže poznáme hodnotu polomeru guľového uzáveru a výšku, použijeme druhý vzorec:
\(V=\frac{\pi h}{6}\vľavo (3r^2+h^2\vpravo)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vľavo (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vľavo (300+16\vpravo)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vľavo (316\vpravo)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\cca 210,7\ \pi\ cm³\)
Pozri tiež: Kmeň pyramídy — geometrické teleso tvorené spodkom pyramídy, keď sa zoberie prierez
Vyriešené cvičenia na sférickej čiapočke
Otázka 1
(Enem) Na dekoráciu detského párty stola použije kuchár guľovitý melón s priemerom 10 cm, ktorý poslúži ako opora na napichovanie rôznych sladkostí. Z melónu odstráni guľový uzáver, ako je znázornené na obrázku, a aby sa zaručila stabilita tejto podpery, sťažuje, aby sa melón valil po stole, kuchár bude rezať tak, aby polomer r kruhovej reznej časti bol min. mínus 3 cm. Na druhej strane, šéf bude chcieť mať čo najväčšiu plochu v regióne, kde budú cukríky vyvesovať.
Aby kuchár dosiahol všetky svoje ciele, musí odrezať vrch melónu vo výške h, v centimetroch, rovnajúcej sa
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Vieme, že priemer gule je 10 cm, teda jej polomer je 5 cm, teda OB = 5 cm.
Ak je polomer sekcie presne 3 cm, máme:
AO² + AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO2 + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Preto:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
otázka 2
Guľový uzáver má plochu 144π cm². Keďže vieme, že má polomer 9 cm, výška tohto guľového uzáveru je:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Rozhodnutie:
Alternatíva A
My to vieme:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Výška je 8 cm.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm