Kocka súčtu a kocka rozdielu sú dva typy pozoruhodné produkty, kde sa dva členy sčítajú alebo odčítajú a potom sa delia na kocky, to znamená s exponentom rovným 3.
(x + y) ³ -> kocka súčtu
pozrieť viac
Študenti z Ria de Janeiro budú bojovať o medaily na olympiáde...
Ústav matematiky je otvorený pre registráciu na olympijské hry…
(x – y) ³ -> kocka rozdielu
Kocku súčtu možno zapísať aj ako (x+y). (x+y). (x + y) a kocka rozdielu ako (x – y). (x – y). (x - y).
Tieto produkty dostávajú názov pozoruhodných produktov pre dôležitosť, ktorú majú, pretože sa často vyskytujú v algebraických výpočtoch.
Teraz si pamätajte, že v matematike môže byť rovnaký výraz napísaný iným spôsobom, ale bez zmeny jeho hodnoty. Napríklad x + 1 + 1 možno jednoducho zapísať ako x + 2.
Často, keď prepíšeme výraz, môžeme zjednodušiť a vyriešiť mnohé algebraické problémy. Pozrime sa preto na iný spôsob zápisu kocky súčtu a kocky rozdielu, pričom ich rozvíjame algebraicky.
súčet kocka
O súčet kocka je pozoruhodný súčin (x + y) ³, ktorý je rovnaký ako (x + y). (x+y). (x+y). Týmto spôsobom môžeme napísať:
(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)
Teraz, keď vezmeme do úvahy, že (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², kocku súčtu možno zapísať ako:
(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Násobenie polynómu (x + y) krát (x² + 2xy + y²), môžeme vidieť, že:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Pridaním podobných výrazov máme, že kocka súčtu je daná:
(x + y) ³ = x3 + 3x²y + 3xy² + y³
Príklad:
Rozviňte každú kocku algebraicky:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
rozdielová kocka
O rozdielová kocka je významný súčin (x – y) ³, ktorý je rovnaký ako (x – y). (x – y). (x – y). Takže musíme:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Páči sa mi (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², kocku rozdielu možno zapísať ako:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Vynásobením (x – y) (x² – 2xy + y²) môžeme vidieť, že:
(x – y) ³ = x3 – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Pridaním podobných výrazov máme, že kocka rozdielu je daná:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Príklad:
Rozviňte každú kocku algebraicky:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Tiež by vás mohlo zaujímať:
- Faktorizácia algebraických výrazov
- Algebraický výpočet zahŕňajúci monomiály
- algebraické zlomky