Pre výpočet determinantov štvorcových matíc poriadku menších alebo rovných 3 (n≤3) máme niekoľko praktických pravidiel na vykonávanie týchto výpočtov. Ak je však poradie väčšie ako 3 (n> 3), mnohé z týchto pravidiel sa neuplatňujú.
Uvidíme preto Laplaceovu vetu, ktorá pomocou konceptu kofaktora uskutoční výpočet determinantov pre pravidlá, ktoré sa vzťahujú na akékoľvek štvorcové matice.
Laplaceova veta spočíva v výbere jedného z riadkov (riadkov alebo stĺpcov) matice a pridaní súčinov prvkov tohto riadku ich príslušnými kofaktormi.
Algebraická ilustrácia:
Pozrime sa na príklad:
Vypočítajte determinant matice C pomocou Laplaceovej vety:
Podľa Laplaceovej vety musíme na výpočet determinantu zvoliť riadok (riadok alebo stĺpec). Použime prvý stĺpec:
Musíme nájsť hodnoty kofaktora:
Laplaceovou vetou je teda determinant matice C daný týmto výrazom:
Všimnite si, že nebolo potrebné počítať kofaktor prvku matice, ktorý sa rovnal nule, koniec koncov, keď vynásobíme kofaktor, výsledok by bol aj tak nulový. Preto keď narazíme na matice, ktoré majú v jednom zo svojich radov veľa núl, znak použitie Laplaceovej vety sa stáva zaujímavým, pretože nebude potrebné počítať niekoľko z nich kofaktory.
Pozrime sa na príklad tejto skutočnosti:
Vypočítajte determinant matice B pomocou Laplaceovej vety:
Všimnite si, že druhý stĺpec je riadok, ktorý má najväčšie množstvo núl, takže tento riadok použijeme na výpočet determinantu matice prostredníctvom Laplaceovej vety.
Preto, aby ste určili determinant matice B, stačí nájsť kofaktor A22.
Preto môžeme dokončiť výpočty determinantu:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Gabriel Alessandro de Oliveira
Vyštudoval matematiku
Brazílsky školský tím
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm