Vy komplexné čísla vyplývajú z potreby riešenia rovnice ktoré majú záporné číslo root, ktoré dovtedy nebolo možné vyriešiť prácou s reálnymi číslami. Komplexné čísla je možné znázorniť tromi spôsobmi: a algebraická forma (z = a + bi), zložený z reálnej časti The a imaginárna časť B; The Geometrický tvar, zastúpená v komplexnej rovine známej tiež ako Argand-Gaussova rovina; a tvoj trigonometrická forma, tiež známy ako polárna forma. Na základe ich zastúpenia, keďže pracujeme s numerickou množinou, majú komplexné čísla presne definované operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a potencovanie.
Prostredníctvom geometrického znázornenia v komplexnej rovine definujeme aj modul (predstavovaný symbolom |z|) komplexného čísla - čo je vzdialenosť od bodu predstavujúceho komplexné číslo k počiatku - a aký je argument a komplexné číslo - čo je uhol vytvorený medzi vodorovnou osou a koľajou, ktorá spája počiatok s bodom predstavujúcim číslo zložité.
potreba komplexných čísel
V matematike bolo rozšírenie numerickej množiny na novú množinu v histórii niečo úplne bežné. Ukazuje sa, že v jej priebehu sa matematika vyvinula a potom aj vyvinula potreby času, všimlo sa, že existujú čísla, ktoré nepatria do numerickej množiny, na ktorú sa vzťahovala. Tak to bolo so vznikom číselné množiny celé čísla, racionálne, iracionálne a reálne a nebolo to iné, keď bolo treba rozšíriť množinu reálnych čísel na zložité.
Keď sa snažíme vyriešiť kvadratické rovnice, je celkom bežné, že nájdeme druhá odmocnina záporného čísla, ktoré je nemožné vyriešiť v množine reálnych čísel, z toho vyplýva potreba komplexných čísel. Na začiatku štúdia týchto čísel boli príspevky od významných matematikov, ako je Giralmo Cardono, ich súbor však formalizovali Gauss a Argand.
Prečítajte si tiež: Geometrické znázornenie súčtu komplexných čísel
algebraická forma komplexného čísla
Pri pokuse o vyriešenie kvadratickej rovnice, ako napríklad x² = –25, sa často hovorilo, že je neriešiteľná. V snahe o algebrizáciu však algebraické znázornenie, ktoré umožňuje vykonávať operácie s týmito číslami, aj keď nemôžete vypočítať druhú odmocninu záporného čísla.
Na uľahčenie riešenia situácií, v ktorých pracujete s odmocnina záporného čísla, imaginárna jednotka.
Takže pri analýze predloženej rovnice x² = -25 máme toto:
Teda riešenia rovnice sú -5i e5i.
Ak chcete definovať algebraický tvar, list ja, známy ako imaginárna jednotka komplexného čísla. Komplexné číslo predstavuje:
z = The + Bi
Na čom The a B sú reálne čísla.
: skutočná časť označená a = Re (z);
B: imaginárna časť označená Im (z);
i: imaginárna jednotka.
Príklady
) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
keď skutočná časť je nulová, číslo je známe ako čistý imaginárnynapríklad -5i a 5i sú to čistí imaginári, pretože nemajú skutočnú časť.
Keď je imaginárna časť nulová, komplexné číslo je tiež reálne číslo.
Operácie so zložitými číslami
Ako každá číselná množina, aj operácie musia byť dobre definované, preto je možné vykonať štyri základné operácie s komplexnými číslami s prihliadnutím na prezentovanú algebraickú formu.
Sčítanie dvoch komplexných čísel
Vykonať dodatok dvoch komplexných čísel z1 ez2, pridáme skutočnú časť z1 ez2 a súčet imaginárnej časti.
Byť:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Príklad 1
Realizácia súčtu z1 a z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Príklad 2
Realizácia súčtu z1 a z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Pozri tiež: Geometrické znázornenie súčtu komplexných čísel
Odčítanie dvoch komplexných čísel
Predtým, ako hovoríme o odčítanie, musíme definovať, čo je inverzná hodnota komplexného čísla, to znamená, z = a + bi. Inverzia k z, ktorú predstavuje –z, je komplexné číslo –z = –a –bi.
Ak chcete vykonať odčítanie medzi z1a -z2, ako aj navyše urobíme odčítanie medzi reálnymi časťami a medzi imaginárnymi časťami zvlášť, ale je potrebné pochopiť, že -z2 je to inverzná operácia komplexného čísla, kvôli ktorému je potrebné hrať znakovú hru.
Príklad 1
Vykonanie odčítania z1 a z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Príklad 2
Vykonanie odčítania z1 a z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Imaginárna mocnosť jednotky
Predtým, ako hovoríme o násobení, musíme pochopiť silu imaginárnej jednotky. Pri hľadaní metódy na výpočet mocností ič, je potrebné si uvedomiť, že tieto sily sa správajú cyklicky. Z tohto dôvodu si niektoré spočítajme potencie v i.
Ukazuje sa, že ďalšie sily nie sú nič iné ako ich opakovanie, všimnite si, že:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Keď pokračujeme vo výpočte mocností, odpovede budú vždy prvkami množiny {1, i, –1, -i}, potom vyhľadajte výkon jednotky ič, vydelíme n (exponent) číslom 4 a znak odpočívajtejto divízie (r = {0, 1, 2, 3}) bude novým exponentom i.
Príklad1
Výpočet i25
Keď vydelíme 25 a 4, kvocient bude 6 a zvyšok sa bude rovnať 1. Musíme teda:
i 25 = i1 = i
Príklad 2
Výpočet i 403
Keď vydelíme 403 číslom 4, bude kvocient 100, pretože 100 · 4 = 400 a zvyšok bude 3, takže musíme:
i 403 =i 3 = -i
Násobenie komplexných čísel
Na vykonanie násobenia dvoch komplexných čísel použijeme znak distribučný majetok. Byť:
z1= a + bi
z2= c + di, potom produkt:
z1 · z2 = (a + bi) (c + d.)i), použitím distribučného majetku,
z1 · z2 = ac + reklamai + porovi + bdi 2, ale ako sme videli, i ² = -1
z1 · z2 = ac + reklamai + porovja - bd
z1 · z2= (str – bd) + (reklama + cb)i
Pomocou tohto vzorca je možné nájsť súčin ľubovoľných dvoch komplexných čísel, ale v a Vo všeobecnosti to nemusí byť zdobené, pretože pre príslušný výpočet iba použijeme vlastnosť distribučný.
Príklad
Výpočet súčinu produktu (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², pamätajúc na to i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Tiež prístup: Komplexné sčítanie, odčítanie a násobenie čísla
Konjugát komplexného čísla
Predtým, ako hovoríme o delení, musíme pochopiť, čo je konjugát komplexného čísla. Koncept je jednoduchý, nájsť konjugát komplexného čísla, spravodlivo zameniťmos znamenie imaginárnej časti.
delenie dvoch komplexných čísel
Vykonať delenie dvoch komplexných čísel, musíme zlomok vynásobiť konjugátom menovateľa, aby bola dobre definovaná to, čo je skutočná časť a čo imaginárna časť.
Príklad
Výpočet rozdelenia (6 - 4i): (4 + 2i)
Pozri tiež: Opak, konjugát a rovnosť komplexných čísel
Komplexná rovina alebo Argand-Gaussova rovina
Známy ako komplexný plán alebo Plánrgand-gauss, dovoľuje znázornenie v geometrickej podobe komplexného počtu je tento plán úpravou v Karteziánske lietadlo reprezentovať komplexné čísla. Vodorovná os je známa ako os reálnej časti Re (z), a vertikálna os je známa ako os imaginárnej časti Im (z). Takže komplexné číslo predstavované a + bi generuje body v komplexnej rovine tvorenej usporiadanou dvojicou (a, b).
Príklad
Zastúpenie čísla 3 + 2i v geometrickom tvare Z (3,2).
Komplexné číslo modulo a argument
Modul komplexného čísla, geometricky, je vzdialenosť od bodu (a, b) čo predstavuje toto číslo v komplexnej rovine k pôvodu, to znamená bod (0,0).
Ako vidíme, | z | je prepona z správny trojuholník, preto ho možno vypočítať uplatnením Pytagorova veta, takže musíme:
Príklad:
Výpočet modulu z = 1 + 3i
O Theargument komplexného čísla, geometricky, je uhol tvorené vodorovnou osou a | z |
Aby sme zistili hodnotu uhla, musíme:
Cieľom je nájsť uhol θ = arg z.
Príklad:
Vyhľadajte argument komplexného čísla: z = 2 + 2i:
Pretože a a b sú kladné, vieme, že tento uhol je v prvom kvadrante, takže poďme vypočítať | z |.
Ak poznáme | z |, je možné vypočítať sínus a kosínus.
Pretože v tomto prípade sú a a b rovné 2, potom keď vypočítame sinθ, nájdeme rovnaké riešenie pre kosínus.
Poznať hodnoty sinθ a cosθ podľa tabuľky pozoruhodných uhlov a podľa toho θ patrí do prvého kvadrantu, takže θ možno nájsť v stupňoch alebo radiánoch, takže uzatvárame čo:
Trigonometrická alebo polárna forma
Zastúpenie komplexného čísla v trigonometrická forma je to možné až po pochopení pojmu modul a argument. Na základe tohto znázornenia sú vyvinuté dôležité koncepty pre štúdium komplexných čísel na pokročilejšej úrovni. Na vykonanie trigonometrickej reprezentácie si spomenieme na jej algebraický tvar z = a + bi, pri analýze komplexnej roviny však musíme:
Nahradením hodnôt a = | z | v algebraickej podobe cos θ a b = | z | sen θ, musíme:
z = a + bi
So z = | z | cos θ + | z | senθ ja, uvedenie | z | dôkazom sme dospeli k vzorcu trigonometrickej formy:
z = | z | (cos θ + i · Hriech θ) |
Príklad: Napíšte číslo v trigonometrickej forme
Aby sme mohli písať v trigonometrickej forme, potrebujeme argument a modul z.
1. krok - Výpočet | z |
Ak poznáme | z |, je možné nájsť hodnotu θ podľa tabuľky pozoruhodných uhlov.
Teraz je možné napísať číslo z v jeho trigonometrickej podobe s uhlom v stupňoch alebo s uhlom meraným v radiánoch.
Prečítajte si tiež: Vyžarovanie komplexných čísel v trigonometrickom tvare
vyriešené cviky
Otázka 1 - (UFRGS) Vzhľadom na komplexné čísla z1 = (2, –1) a z2 = (3, x), je známe, že súčin medzi z1 a z2 je reálne číslo. Takže x sa rovná:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Rozhodnutie
Alternatíva D.
Ak má byť súčin reálne číslo, potom sa imaginárna časť rovná nule.
Pri písaní týchto čísel v algebraickej podobe musíme:
z1 = 2 – 1i a z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3ja - Xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + X
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Pretože nás zaujíma, že imaginárna časť sa rovná nule, potom budeme riešiť pre 2x - 3 = 0
Otázka 2 - (UECE) Ak i je komplexné číslo, ktorého štvorec sa rovná -1, potom hodnota 5i 227 + i 6 – i 13 je to rovnaké ako:
) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Rozhodnutie
Alternatíva C.
Na vyriešenie tohto výrazu je potrebné nájsť zvyšok každého z čísel v delení 4.
227: 4 má za následok kvocient 56 a zvyšok 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 má za následok kvocient 1 a zvyšok 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 má za následok kvocient 3 a zvyšok 1.
i 13 = i1 = i
Musíme teda:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm