Cvičenia na riešenie lineárnych systémov

Precvičte si svoje znalosti o lineárnych systémoch, dôležitej matematickej téme, ktorá zahŕňa štúdium simultánnych rovníc. S mnohými praktickými aplikáciami sa používajú na riešenie problémov zahŕňajúcich rôzne premenné.

Všetky otázky sú vyriešené krok za krokom, pričom použijeme rôzne metódy, ako napríklad: substitúcia, sčítanie, eliminácia, škálovanie a Cramerovo pravidlo.

Otázka 1 (substitučná metóda)

Určte usporiadanú dvojicu, ktorá rieši nasledujúcu sústavu lineárnych rovníc.

otvorené zátvorky atribúty tabuľky zarovnanie stĺpcov ľavý koniec riadok atribútov s bunkou s 3 rovno x mínus 2 rovné y sa rovná 1 koniec riadka bunky s bunkou so 6 rovný x mínus 4 rovný y sa rovná 7 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Pozri odpoveď

odpoveď: otvorené zátvorky 3 nad 4 čiarka medzera 5 nad 8 okrúhle zátvorky

Izolácia x v prvej rovnici:

3 priamka x mínus 2 priamka y sa rovná 1 3 priamka x rovná sa 1 plus 2 priamka y priamka x rovná sa čitateľ 1 plus 2 priamka y nad menovateľom 3 koniec zlomku

Dosadenie x do druhej rovnice:

6 otvorených zátvoriek čitateľ 1 plus 2 rovné y nad menovateľom 3 koniec zlomku uzavreté zátvorky plus 4 rovné y sa rovná 7 čitateľ 6 plus 12 rovný y cez menovateľ 3 koniec zlomku plus 4 rovné y sa rovná 7 čitateľ 6 plus 12 rovné y nad menovateľom 3 koniec zlomku plus čitateľ 3,4 priame y nad menovateľom 3 koniec zlomku sa rovná 7 čitateľ 6 plus 12 rovno y plus 12 rovno y nad menovateľom 3 koniec zlomku sa rovná 7 čitateľ 6 plus 24 priamka y nad menovateľom 3 koniec zlomku sa rovná 7 6 plus 24 rovný y sa rovná 7,3 6 plus 24 rovný y sa rovná 21 24 rovný y sa rovná 21 mínus 6 24 rovný y sa rovná 15 rovný y sa rovná 15 nad 24 sa rovná do 5 cez 8

Dosadenie hodnoty y do prvej rovnice.

3 x mínus 2 y sa rovná 1 3 x mínus 2 5 nad 8 sa rovná 1 3 x mínus 10 nad 8 sa rovná 1 3 x sa rovná 1 plus 10 nad 8 3 x sa rovná 8 nad 8 plus 10 nad 8 3 x sa rovná 18 nad 8 x sa rovná čitateľ 18 nad menovateľom 8,3 koniec zlomku x sa rovná 18 nad 24 sa rovná 3 nad 4

Takže usporiadaná dvojica, ktorá rieši systém, je:
otvorené zátvorky 3 nad 4 čiarka medzera 5 nad 8 okrúhle zátvorky

Otázka 2 (metóda škálovania)

Riešenie nasledujúceho systému lineárnych rovníc je:

otvorené zátvorky tabuľky atribútov zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou s priamym x mínus rovný y plus rovný z sa rovná 6 koniec riadku bunky s bunkou s medzerou medzera 2 rovné y plus 3 rovné z sa rovná 8 koniec riadka bunky s bunkou s medzerou medzera medzera medzera medzera medzera medzera medzera medzera medzera medzera 4 priame z sa rovná 8 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Pozri odpoveď

Odpoveď: x = 5, y = 1, z = 2

Systém je už vo forme echelon. Tretia rovnica má dva nulové koeficienty (y = 0 a x = 0), druhá rovnica má nulový koeficient (x = 0) a tretia rovnica nemá žiadne nulové koeficienty.

V echelonom systéme riešime „zdola nahor“, čiže začíname treťou rovnicou.

instagram story viewer

4 z sa rovná 8 z sa rovná 8 nad 4 sa rovná 2

Prejdeme na najvyššiu rovnicu a dosadíme z = 2.

2 priamka y plus 3 priamka z sa rovná 8 2 priamka y plus 3,2 sa rovná 8 2 priamka y plus 6 sa rovná 8 2 priamka y sa rovná 8 mínus 6 2 priamka y sa rovná 2 priamka y sa rovná 2 nad 2 rovná sa 1

Nakoniec dosadíme z = 2 a y = 1 do prvej rovnice, aby sme dostali x.

rovné x mínus rovné y plus rovné z sa rovná 6 rovné x mínus 1 plus 2 sa rovná 6 rovné x plus 1 sa rovná 6 rovné x sa rovná 6 mínus 1 rovné x sa rovná 5

Riešenie

x = 5, y = 1, z = 2

Otázka 3 (Cramerovo pravidlo alebo metóda)

Vyriešte nasledujúcu sústavu lineárnych rovníc:

otvorené zátvorky atribúty tabuľky zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribúty riadok s bunkou s priamym x mínus rovný y rovná sa 4 úzka medzera koniec riadku bunky s bunkou s 2 rovnými x najrovnejšie y rovná sa 8 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Pozri odpoveď

Odpoveď: x = 4, y = 0.

Použitie Cramerovho pravidla.

Krok 1: určiť determinanty D, Dx a Dy.

Matica koeficientov je:

otvorené zátvorky riadok tabuľky s 1 bunkou mínus 1 koniec riadka bunky s 2 1 koniec tabuľky zatvorte zátvorky

Jeho determinant:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Pre výpočet Dx nahradíme stĺpec členov x stĺpcom nezávislých členov.

otvorené zátvorky riadok tabuľky so 4 bunkami mínus 1 koniec riadku bunky s 8 1 koniec tabuľky zatvorte zátvorky

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Pre výpočet Dy nahrádzame členy y nezávislými členmi.

otvorené zátvorky riadok stola s 1 4 rad s 2 8 koncom stola zatvorte zátvorky

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

Krok 2: určiť x a y.

Na určenie x urobíme:

rovné x sa rovná Dx nad priamym D sa rovná 12 nad 3 sa rovná 4

Na určenie y urobíme:

priamka y sa rovná Dy nad priamkou D sa rovná 0 nad 3 sa rovná 0

otázka 4

Predajca tričiek a šiltoviek na športovom podujatí predal 3 tričká a 2 šiltovky, čím získal celkovú sumu 220,00 R$. Nasledujúci deň predal 2 košele a 3 šiltovky, čím získal 190,00 R$. Aká by bola cena trička a čiapky?

a) Tričko: 60,00 BRL | Čiapka: 40,00 BRL

b) Tričko: BRL 40,00 | Čiapka: 60,00 BRL

c) Tričko: BRL 56,00 | Čiapka: 26,00 BRL

d) Tričko: 50,00 BRL | Čiapka: 70,00 BRL

e) Tričko: BRL 80,00 | Čiapka: 30,00 BRL

Odpoveď vysvetlená

Označme cenu tričiek c a cenu klobúkov b.

Na prvý deň máme:

3c + 2b = 220

Na druhý deň máme:

2c + 3b = 190

Zostavíme dve rovnice s dvoma neznámymi, c a b. Máme teda systém 2x2 lineárnych rovníc.

zarovnanie stĺpca atribútov tabuľky s otvorenými zátvorkami zarovnanie ľavého konca riadok atribútov s bunkou s 3 rovným c plus 2 rovné b sa rovná 220 koniec riadka bunky s bunkou s 2 rovným c plus 3 rovné b sa rovná 190 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Rozhodnutie

Použitie Cramerovho pravidla:

1. krok: determinant matice koeficientov.

rovné D medzera otvorené zátvorky riadok tabuľky s 3 2 riadok s 2 3 koniec tabuľky zatvorené zátvorky sa rovná 3,3 mínus 2,2 sa rovná 9 mínus 4 sa rovná 5

2. krok: determinant Dc.

Stĺpec c nahradíme maticou nezávislých členov.

Dc priestor otvára zátvorky riadok tabuľky s 220 2 riadok so 190 3 koniec tabuľky zatvorte zátvorky rovné 220,3 mínus 2 190 sa rovná 660 mínus 380 sa rovná 280

3. krok: determinant Db.

Db otvorené zátvorky riadok tabuľky s 3 220 riadok s 2 190 koncom tabuľky zatvorte zátvorky rovné 3 medzerám. priestor 190 priestor mínus priestor 2 priestor. medzera 220 medzera sa rovná medzere 570 mínus 440 sa rovná 130

4. krok: určte hodnotu c a b.

priamka c sa rovná Dc na priamke D sa rovná 280 na 5 sa rovná 56 priama b sa rovná Db na priamke D sa rovná 130 na 5 sa rovná 26

odpoveď:

Cena trička je 56,00 R$ a šiltovky 26,00 R$.

otázka 5

Do kina sa účtuje 10,00 R$ za lístok pre dospelých a 6,00 R$ za lístok pre deti. Za jeden deň sa predalo 80 vstupeniek a celková zbierka bola 700,00 R$. Koľko lístkov z každého druhu sa predalo?

a) Dospelí: 75 | deti: 25

b) Dospelí: 40 | deti: 40

c) Dospelí: 65 | deti: 25

d) Dospelí: 30 | deti: 50

e) Dospelí: 25 | deti: 75

Odpoveď vysvetlená

Pomenujeme to ako The cena lístka pre dospelých a w pre deti.

V súvislosti s celkovým počtom vstupeniek máme:

a + c = 80

Čo sa týka získanej hodnoty, máme:

10a + 6c = 700

Tvoríme sústavu lineárnych rovníc s dvomi rovnicami a dvomi neznámymi, teda sústavu 2x2.

otvorené zátvorky atribúty tabuľky zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou s najrovnejšími až najrovnejšími c sa rovná 80 koniec riadka bunky s bunkou s 10 rovnými plus 6 rovnými c sa rovná 700 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Rozhodnutie

Použijeme substitučnú metódu.

Izolácia a v prvej rovnici:

a = 80 - c

Dosadenie a do druhej rovnice:

10.(80 - c) + 6c = 700

800-10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Nahradením c v druhej rovnici:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 rokov + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

otázka 6

Obchod predáva tričká, šortky a topánky. V prvý deň sa predali 2 tričká, 3 šortky a 4 páry topánok v celkovej hodnote 350,00 R$. Na druhý deň sa predali 3 tričká, 2 šortky a 1 pár topánok v celkovej hodnote 200,00 R$. Na tretí deň sa predalo 1 tričko, 4 šortky a 2 páry topánok v celkovej hodnote 320,00 R$. Koľko by stálo tričko, šortky a pár topánok?

a) Tričko: 56,00 BRL | Bermudy: 24,00 R$ | Topánky: 74,00 BRL

b) Tričko: BRL 40,00 | Bermudy: 50,00 R$ | Topánky: 70,00 BRL

c) Tričko: BRL 16,00 | Bermudy: 58,00 R$ | Topánky: 36,00 BRL

d) Tričko: BRL 80,00 | Bermudy: 50,00 R$ | Topánky: 40,00 BRL

e) Tričko: BRL 12,00 | Bermudy: 26,00 R$ | Topánky: 56,00 BRL

Odpoveď vysvetlená

c je cena košieľ;
b je cena šortiek;
s je cena topánok.

Za prvý deň:

2c + 3b + 4s = 350

Na druhý deň:

3c + 2b + s = 200

Na tretí deň:

c + 4b + 2s = 320

Máme tri rovnice a tri neznáme, ktoré tvoria sústavu lineárnych rovníc 3x3.

otvorené zložené zátvorky atribúty tabuľky zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribúty riadok s bunkou com 2 rovné c plus 3 rovné b plus 4 rovné s sa rovná 350 koniec riadka bunky s bunka s 3 rovnými c plus 2 rovné b plus rovné s sa rovná 200 koniec riadka bunky s bunkou s rovným c plus 4 rovné b plus 2 rovné s sa rovná 320 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Použitie Cramerovho pravidla.

Matica koeficientov je

otvorené zátvorky riadok stola s 2 3 4 riadok s 3 2 1 rad s 1 4 2 koniec stola zatvorte zátvorky

Jeho determinant je D = 25.

Stĺpcová matica odpovedí je:

otvorené zátvorky riadok tabuľky s riadkom 350 s riadkom 200 s koncom stola 320 zatvorte zátvorky

Na výpočet Dc nahradíme stĺpcovú maticu odpovedí prvým stĺpcom v matici koeficientov.

otvorené zátvorky riadok stola s 350 3 4 riadok s 200 2 1 rad s 320 4 2 koniec stola zatvorte zátvorky

dc = 400

Pre výpočet Db:

otvorené zátvorky riadok stola s 2 350 4 rad s 3 200 1 rad s 1 320 2 koniec stola zatvorte zátvorky

Db = 1450

Pre výpočet Ds:

otvorené zátvorky riadok stola s 2 3 350 riadok s 3 2 200 riadok s 1 4 320 koncom stola zatvorte zátvorky

Ds = 900

Na určenie c, b a s delíme determinanty Dc, Db a Ds hlavným determinantom D.

priamka c sa rovná Dc na priamke D sa rovná 400 na 25 sa rovná 16 na priamke b sa rovná Db na priamke D sa rovná 1450 na 25 sa rovná 58 na priamke s sa rovná Ds na priamke D sa rovná 900 na 25 sa rovná 36

otázka 7

Reštaurácia ponúka tri druhy jedál: mäso, šalát a pizzu. Prvý deň sa predalo 40 mäsových jedál, 30 šalátových jedál a 10 pízz v celkovej hodnote 700,00 R$. Na druhý deň sa predalo 20 mäsových jedál, 40 šalátových jedál a 30 pízz v celkovej hodnote 600,00 R$. Na tretí deň sa predalo 10 mäsových jedál, 20 šalátových jedál a 40 pízz v celkovej hodnote 500,00 R$. Koľko by stálo každé jedlo?

a) mäso: 200,00 BRL | šalát: R$ 15,00 | pizza: BRL 10,00

b) mäso: 150,00 R$ | šalát: 10,00 R$ | pizza: 60,00 BRL

c) mäso: 100,00 BRL | šalát: R$ 15,00 | pizza: 70,00 BRL

d) mäso: 200,00 BRL | šalát: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00

e) mäso: 140,00 BRL | šalát: R$ 20,00 | pizza: 80,00 BRL

Odpoveď vysvetlená

Použitím:

c pre mäso;
s na šalát;
p na pizzu.

V prvý deň:

40 rovný c plus 30 rovný s plus 10 rovný p sa rovná 7000

Na druhý deň:

20 rovný c plus 40 rovný s plus 30 rovný p sa rovná 6000

Na tretí deň:

10 rovný c plus 20 rovný s plus 40 rovný p sa rovná 5000

Cenu každého jedla je možné získať vyriešením systému:

otvorené zátvorky tabuľky atribútov zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou so 40 rovnými c medzera plus medzera 30 priamka s medzera plus medzera 10 rovné p sa rovná 7000 koniec bunkového riadku s bunkou s 20 priamka c medzera plus medzera 40 priamka s medzera plus medzera 30 priamka p sa rovná 6000 koniec riadku bunky s bunkou s 10 priama c medzera plus medzera 20 priamka s medzera plus medzera 40 priamka p sa rovná 5000 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Rozhodnutie

Pomocou eliminačnej metódy.

Vynásobte 20c + 40s + 30p = 6000 číslom 2.

riadok tabuľky s otvorenými hranatými zátvorkami s bunkou so 40 rovnými c plus 30 rovnými s plus 10 rovnými p sa rovná 7000 koniec riadku bunky s bunkou so 40 rovnými c plus 80 rovnými s plus 60 rovné p sa rovná 12 000 koniec riadka bunky s bunkou s 10 rovným c plus 20 rovným s plus 40 rovným p sa rovná 5 000 koniec bunky koniec tabuľky hranaté zátvorky

Odčítajte druhú maticovú rovnicu získanú od prvej.

50 rovných s plus 50 rovných p sa rovná 5000

Vo vyššie uvedenej matici nahradíme túto rovnicu druhou rovnicou.

riadok tabuľky s otvorenými hranatými zátvorkami s bunkou s 40 rovnými c plus 30 rovnými s plus 10 rovnými p sa rovná 7000 koniec riadku bunky s bunkou s 50 rovnými s plus 50 rovné p sa rovná 5 000 koniec riadku bunky s bunkou s 10 rovným c plus 20 rovným s plus 40 rovným p sa rovná 5 000 koniec bunky koniec tabuľky zatvorí hranaté zátvorky

Vynásobíme tretiu rovnicu vyššie číslom 4.

Odčítaním tretej od prvej rovnice dostaneme:

50 rovných s plus 150 rovných p sa rovná 13 000

Nahradením rovnice získanej treťou rovnicou.

Odčítaním rovníc dva a tri dostaneme:

riadok tabuľky s otvorenými hranatými zátvorkami s bunkou s 40 c plus 30 s plus 10 p sa rovná 7000 koniec riadka bunky s bunkou s 50 s plus 50p sa rovná 5000 koniec riadka bunky s bunkou so 100p sa rovná 8000 koniec bunky koniec tabuľky hranaté zátvorky

Z tretej rovnice dostaneme p = 80.

Nahradením p v druhej rovnici:

50 s + 50,80 = 5 000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1 000/50 = 20

Nahradením hodnôt s a p v prvej rovnici:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7 000 – 600 – 800

40c = 5600

c = 5600/40 = 140

Riešenie

p = 80, s = 20 a c = 140

otázka 8

(UEMG) V pláne systém otvorené zátvorky tabuľky atribútov zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou s 2 rovnými x plus 3 rovnými y sa rovná mínus 2 koniec riadka bunky s bunkou so 4 rovno x mínus 6 rovno y sa rovná 12 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť predstavuje dvojicu čiar

a) náhodný.

b) odlišné a paralelné.

c) súbežné čiary v bode ( 1, -4/3 )

d) súbežné čiary v bode ( 5/3, -16/9 )

Odpoveď vysvetlená

Vynásobenie prvej rovnice dvoma a sčítanie dvoch rovníc:

otvorené zložené zátvorky atribúty tabuľky zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribúty riadok s bunkou s rovnou dvojbodkou 4 rovné x plus 6 rovné y sa rovná mínus 4 koniec riadka bunky s bunkou s rovným B dva body 4 rovné x mínus 6 rovné y sa rovná 12 koniec bunky koniec tabuľky zatvor medzerník A medzera plus rovná medzera B sa rovná 8 rovno x sa rovná 8 rovno x sa rovná 8 nad 8 sa rovná 1

Nahradením x v rovnici A:

4,1 medzera plus medzera 6 y medzera sa rovná medzera mínus 4 medzera medzera 6 y medzera sa rovná medzera mínus 4 medzery mínus medzera 46 y sa rovná mínus 8y rovná sa čitateľ mínus 8 nad menovateľom 6 koniec zlomku sa rovná mínus 4 asi 3

otázka 9

(PUC-MINAS) Isté laboratórium poslalo do lekární A, B a C 108 objednávok. Je známe, že počet objednávok odoslaných do lekárne B bol dvojnásobkom celkového počtu objednávok odoslaných do dvoch ďalších lekární. Okrem toho boli do lekárne C odoslané tri objednávky, ktoré prevyšovali polovicu sumy odoslanej do lekárne A.

Na základe týchto informácií je SPRÁVNE konštatovať, že celkový počet odoslaných objednávok do lekární B a C bol

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Odpoveď vysvetlená

Podľa vyjadrenia máme:

A + B + C = 108.

Tiež, že množstvo B bolo dvakrát väčšie ako množstvo A + C.

B = 2 (A + C)

Do lekárne C boli odoslané tri objednávky, do lekárne A bola odoslaná viac ako polovica množstva.

C = A/2 + 3

Máme rovnice a tri neznáme.

otvorené zátvorky tabuľky atribútov zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou s rovným A najrovnejší B najrovnejší C sa rovná 108 koniec riadka bunky s bunkou s rovné B sa rovná 2 ľavé zátvorky rovné A plus rovné C pravé zátvorky koniec riadku bunky s bunkou s rovným C sa rovná rovné A nad 2 plus 3 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť

Použitie substitučnej metódy.

Krok 1: nahraďte tretí druhým.

priamka B sa rovná 2 priamka A medzera plus medzera 2 priamka Creto B sa rovná 2 priamka A medzera plus medzera 2 otvára hranaté zátvorky A nad 2 plus 3 tesná zátvorka B sa rovná 2 rovné A medzera plus medzera A medzera plus medzera 6 štvorec B sa rovná 3 štvorec A medzera plus medzera 6

Krok 2: Dosaďte získaný výsledok a tretiu rovnicu do prvej.

priamka A plus rovná B plus rovná C sa rovná 108 priamka A plus medzera 3 priamka A plus 6 medzera plus rovná medzera A nad 2 plus 3 medzera rovná sa medzera 1084 priamka A medzera plus priamka medzera A nad 2 sa rovná 108 medzera mínus medzera 9čitateľ 9 rovno A nad menovateľ 2 koniec zlomku sa rovná 999 rovný Medzera sa rovná medzere 99 priestor. priestor 29 rovný Medzera sa rovná medzere 198priama Medzera sa rovná medzere 198 nad 9priamka Medzera sa rovná medzere 22

Krok 3: Nahradením hodnoty A určíte hodnoty B a C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Pre C:

riadok C sa rovná 22 nad 2 plus 3 riadok C sa rovná 11 plus 3 sa rovná 14

Krok 4: pridajte hodnoty B a C.

72 + 14 = 86

otázka 10

(UFRGS 2019) Tak, že systém lineárnych rovníc otvorené zátvorky tabuľky atribútov zarovnanie stĺpcov ľavý koniec atribútov riadok s bunkou s priamym x plus rovné y sa rovná 7 koniec riadka bunky s bunkou so sekerou plus 2 priame y sa rovná 9 koniec bunky koniec tabuľky Zavrieť možné a určené, je potrebné a postačujúce, že

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Odpoveď vysvetlená

Jedným zo spôsobov, ako klasifikovať systém ako možný a určený, je Cramerova metóda.

Podmienkou je, aby determinanty boli odlišné od nuly.

Aby sa determinant D hlavnej matice rovnal nule:

otvorené zátvorky riadok tabuľky s 1 1 riadok s 2 koncom tabuľky zatvorte zátvorky nerovnajúce sa medzere 01. medzera 2 medzera mínus medzera medzerou. medzera 1 nerovná sa 02 medzera menšia ako nerovná sa 02 nerovná sa

Ak sa chcete dozvedieť viac o lineárnych systémoch:

Lineárne systémy: čo sú, typy a ako ich riešiť
Systémy rovníc
Škálovanie lineárnych systémov
Cramerovo pravidlo

Pre viac cvičení:

Sústavy rovníc 1. stupňa

ASTH, Rafael. Cvičenia na riešené lineárne sústavy.All Matter, [n.d.]. Dostupné v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Prístup na:

Pozri tiež