A dotyčnica (skrátene tg alebo tan) je a goniometrická funkcia. Na určenie dotyčnice uhla môžeme použiť rôzne stratégie: vypočítať pomer medzi sínusom a kosínusom uhla, ak sú známe; použite tangentovú tabuľku alebo kalkulačku; vypočítajte pomer medzi protiľahlou a susednou vetvou, ak je príslušný uhol vnútorný (akútny) pravouhlého trojuholníka, medzi inými.
Prečítajte si tiež: Na čo sa používa trigonometrický kruh?
súhrn na dotyčnici
Tangenta je goniometrická funkcia.
Tangenta vnútorného uhla k pravouhlému trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane.
Tangent akéhokoľvek uhla je pomer sínusu a kosínusu tohto uhla.
Funkcia \(f (x)=tg\ x\) je definovaný pre uhly X vyjadrené v radiánoch tak, že cos \(cos\ x≠0\).
Graf funkcie dotyčnice zobrazuje vertikálne asymptoty pre hodnoty, kde \(x= \frac{π}2+kπ\), s k celé, ako \(x=-\frac{π}2\).
Zákon dotyčníc je výraz, ktorý v akomkoľvek trojuholníku spája dotyčnice dvoch uhlov a strán protiľahlých k týmto uhlom.
Tangenta uhla
Ak α je jedna uhol interné a
správny trojuholník, dotyčnica α je pomer medzi dĺžkou protiľahlého ramena a dĺžkou susedného ramena:
Pre akýkoľvek uhol α je dotyčnica pomerom medzi sin α a kosínusom α, kde \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Treba poznamenať, že ak α je uhol v 1. alebo 3. kvadrante, dotyčnica bude mať kladné znamienko; ale ak α je uhol 2. alebo 4. kvadrantu, dotyčnica bude mať záporné znamienko. Tento vzťah vyplýva priamo zo znamienkového pravidla medzi znamienkami sínusu a kosínusu pre každé α.
Dôležité: Všimnite si, že dotyčnica neexistuje pre hodnoty α kde \(cos\ α=0\). To sa deje pre uhly 90°, 270°, 450°, 630° atď. Na všeobecné znázornenie týchto uhlov používame radiánovú notáciu: \(\frac{ π}2+kπ\), s k celý.
Tangenta významných uhlov
Použitie výrazu \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), môžeme nájsť dotyčnice z pozoruhodné uhly, čo sú uhly 30°, 45° a 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
zaujímavé: Okrem toho môžeme analyzovať tangentové hodnoty pre uhly 0° a 90°, ktoré sú tiež široko používané. Keďže sin 0° = 0, usudzujeme, že tan 0° = 0. Pre uhol 90°, keďže cos90° = 0, dotyčnica neexistuje.
Ako vypočítať dotyčnicu?
Na výpočet dotyčnice použijeme vzorec tg α=sin αcos α, ktorý sa používa na výpočet dotyčnice ľubovoľného uhla. Pozrime sa na niekoľko príkladov nižšie.
Príklad 1
Nájdite tangens uhla α v pravom trojuholníku nižšie.
Rozhodnutie:
Čo sa týka uhla α, strana miery 6 je opačná strana a strana miery 8 je priľahlá strana. Páči sa ti to:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Príklad 2
S vedomím, že \(sin\ 35°≈0,573\) a cos\(35°≈0,819\), nájdite približnú hodnotu 35° dotyčnice.
Rozhodnutie:
Keďže tangens uhla je pomer medzi sínusom a kosínusom tohto uhla, máme:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangens funkcia
Pre uhly je definovaná funkcia fx=tg x X vyjadrené v radiánoch, takže \(cos\ x≠0\). To znamená, že definičný obor funkcie dotyčnice je vyjadrený:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Okrem toho všetky reálne čísla sú obrazom funkcie dotyčnice.
→ Graf funkcie dotyčnice
Všimnite si, že graf funkcie dotyčnice má vertikálne asymptoty pre hodnoty kde \(x= \frac{π}2+kπ\), s k celé, ako \( x=-\frac{π}2\). Pre tieto hodnoty X, dotyčnica nie je definovaná (čiže dotyčnica neexistuje).
Pozri tiež: Čo je doména, rozsah a obrázok?
zákon dotyčníc
Zákon dotyčníc je a výraz, ktorý spája v a trojuholník ľubovoľný, dotyčnice dvoch uhlov a protiľahlé strany k týmto uhlom. Uvažujme napríklad uhly α a β trojuholníka ABC nižšie. Všimnite si, že strana CB = a je oproti uhlu α a strana AC = b je oproti uhlu β.
Zákon dotyčníc hovorí, že:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrické pomery
K trigonometrické pomery sú goniometrické funkcie spracované na pravouhlom trojuholníku. Tieto pomery interpretujeme ako vzťahy medzi stranami a uhlami tohto typu trojuholníka.
Vyriešené cvičenia na dotyčnicu
Otázka 1
Nech θ je uhol druhého kvadrantu taký, že sin\(sin\ θ≈0,978\), takže tgθ je približne:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rozhodnutie
Alternatíva A
ak \(sin\ θ≈0,978\)potom pomocou základnej identity trigonometrie:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Pretože θ je uhol druhého kvadrantu, potom cosθ je záporné, preto:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Čoskoro:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
otázka 2
Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC s nohami AB = 3 cm a AC = 4 cm. Tangenta uhla B je:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
A) \(\frac{5}3\)
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Podľa tvrdenia, noha oproti uhla \(\klobúk{B}\) je AC merajúca 4 cm a noha susediaca s uhlom \(\klobúk{B}\) je AB s mierou 3 cm. Páči sa ti to:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky