O smerodajná odchýlka je miera disperzie, rovnako ako rozptyl a variačný koeficient. Pri určovaní štandardnej odchýlky môžeme stanoviť rozsah okolo aritmetického priemeru (rozdelenie medzi súčtom čísel v zozname a počtom pridaných čísel), kde je sústredená väčšina údajov. Čím väčšia je hodnota štandardnej odchýlky, tým väčšia je variabilita údajov, to znamená, že odchýlka od aritmetického priemeru je väčšia.
Prečítajte si tiež: Modus, priemer a medián – hlavné miery centrálnych tendencií
Témy tohto článku
- 1 - Súhrn štandardnej odchýlky
- 2 - Čo je štandardná odchýlka?
- 3 - Ako vypočítať smerodajnú odchýlku?
- 4 - Aké sú typy smerodajnej odchýlky?
- 5 - Aké sú rozdiely medzi štandardnou odchýlkou a rozptylom?
- 6 - Vyriešené cvičenia na smerodajnú odchýlku
Súhrn štandardnej odchýlky
- Smerodajná odchýlka je mierou variability.
- Zápis štandardnej odchýlky je malé grécke písmeno sigma (σ) alebo písmeno s.
- Smerodajná odchýlka sa používa na overenie variability údajov okolo priemeru.
- Smerodajná odchýlka určuje rozsah \(\vľavo[\mu-\sigma,\mu+\sigma\vpravo]\), kde sa nachádza väčšina údajov.
- Na výpočet štandardnej odchýlky musíme nájsť druhú odmocninu rozptylu:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Čo je štandardná odchýlka?
Smerodajná odchýlka je a rozptylové opatrenie prijaté v štatistike. Jeho použitie je spojené s variačná interpretácia, čo je tiež miera rozptylu.
V praxi smerodajná odchýlka určuje interval zameraný na aritmetický priemer, v ktorom je sústredená väčšina údajov. Čím väčšia je teda hodnota smerodajnej odchýlky, tým väčšia je nepravidelnosť údajov (viac informácií heterogénne) a čím menšia je hodnota smerodajnej odchýlky, tým menšia je nepravidelnosť údajov (viac informácií homogénne).
Neprestávaj teraz... Po publicite je toho viac ;)
Ako vypočítať smerodajnú odchýlku?
Ak chcete vypočítať štandardnú odchýlku súboru údajov, musíme nájsť druhú odmocninu rozptylu. Takže vzorec na výpočet štandardnej odchýlky je
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → príslušné údaje.
- μ → aritmetický priemer údajov.
- N → množstvo dát.
- \( \sum_{i=1}^{N}\vľavo (x_i-\mu\vpravo)^2\ =\ \vľavo (x_1-\mu\vpravo)^2+\vľavo (x_2-\mu\vpravo )^2+\vľavo (x_3-\mu\vpravo)^2+...+\vľavo (x_N-\mu\vpravo)^2 \)
Posledná položka, ktorá odkazuje na čitateľa radikandu, označuje súčet druhých mocnín rozdielu medzi každým údajovým bodom a aritmetickým priemerom. Vezmite prosím na vedomie, že merná jednotka pre smerodajnú odchýlku je rovnaká merná jednotka ako údaje X1,X2,X3,…,XNie.
Hoci je písanie tohto vzorca trochu zložité, jeho aplikácia je jednoduchšia a priamejšia. Nižšie je uvedený príklad použitia tohto výrazu na výpočet štandardnej odchýlky.
- Príklad:
Počas dvoch týždňov boli v meste zaznamenané tieto teploty:
Týždeň/deň |
nedeľu |
Po druhé |
Po tretie |
Po štvrté |
Po piate |
piatok |
sobota |
týždeň 1 |
29 °C |
30 °C |
31 °C |
31,5 °C |
28 °C |
28,5 °C |
29 °C |
týždeň 2 |
28,5 °C |
27 °C |
28 °C |
29 °C |
30 °C |
28 °C |
29 °C |
V ktorom z dvoch týždňov zostala teplota v tomto meste pravidelnejšia?
Rozhodnutie:
Aby sme analyzovali pravidelnosť teplôt, musíme porovnať štandardné odchýlky teplôt zaznamenaných v 1. a 2. týždni.
- Najprv sa pozrime na štandardnú odchýlku pre týždeň 1:
Všimnite si, že priemer μ1 to je Nie1 oni sú
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\približne 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 dní v týždni)
Tiež musíme vypočítať druhú mocninu rozdielu medzi každou teplotou a priemernou teplotou.
\(\vľavo (29-29,57\vpravo)^2=0,3249\)
\(\vľavo (30-29,57\vpravo)^2=0,1849\)
\(\vľavo (31-29,57\vpravo)^2=2,0449\)
\(\vľavo (31,5-29,57\vpravo)^2=3,7249\)
\(\vľavo (28-29,57\vpravo)^2=2,4649\)
\(\vľavo (28,5-29,57\vpravo)^2=1,1449\)
\(\vľavo (29-29,57\vpravo)^2=0,3249\)
Po sčítaní výsledkov máme, že čitateľ radikandu vo vzorci štandardnej odchýlky je
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Takže štandardná odchýlka týždňa 1 je
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \približne 1,208\ °C\)
Poznámka: Tento výsledok znamená, že väčšina teplôt týždňa 1 je v intervale [28,36 °C, 30,77 °C], teda intervale \(\vľavo[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\vpravo]\).
- Teraz sa pozrime na štandardnú odchýlku týždňa 2:
Podľa rovnakého uvažovania máme
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\vľavo (28,5-28,5\vpravo)^2=0\)
\(\vľavo (27-28,5\vpravo)^2=2,25\)
\(\vľavo (28-28,5\vpravo)^2=0,25\)
\(\vľavo (29-28,5\vpravo)^2=0,25\)
\(\vľavo (30-28,5\vpravo)^2=2,25\)
\(\vľavo (28-28,5\vpravo)^2=0,25\)
\(\vľavo (29-28,5\vpravo)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Takže štandardná odchýlka 2. týždňa je
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \približne 0,89\ °C\)
Tento výsledok znamená, že väčšina teplôt 2. týždňa je v rozmedzí \(\vľavo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\vpravo]\), teda rozsah \(\vľavo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\vpravo]\).
uvedomte si to \(\sigma_2, to znamená, že štandardná odchýlka 2. týždňa je menšia ako štandardná odchýlka 1. týždňa. Preto 2. týždeň predstavoval pravidelnejšie teploty ako 1. týždeň.
Aké sú typy štandardnej odchýlky?
Typy smerodajnej odchýlky súvisia s typom organizácie údajov. V predchádzajúcom príklade sme pracovali so štandardnou odchýlkou nezoskupených údajov. Ak chcete vypočítať štandardnú odchýlku množiny inak usporiadaných údajov (napríklad zoskupených údajov), budete musieť upraviť vzorec.
Aké sú rozdiely medzi štandardnou odchýlkou a rozptylom?
štandardná odchýlka je druhá odmocnina z rozptylu:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\vľavo (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Pri použití rozptylu na určenie variability súboru údajov má výsledok štvorcovú jednotku údajov, čo sťažuje jeho analýzu. Smerodajná odchýlka, ktorá má rovnakú jednotku ako údaje, je teda možným nástrojom na interpretáciu výsledku rozptylu.
Vedieť viac:Absolútna frekvencia — koľkokrát sa rovnaká odpoveď objavila počas zberu údajov
Vyriešené cvičenia na štandardnú odchýlku
Otázka 1
(FGV) V triede s 10 žiakmi mali žiaci v hodnotení tieto známky:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Štandardná odchýlka tohto zoznamu je približne
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Rozhodnutie:
Alternatíva C.
Podľa vyjadrenia N = 10. Priemer tohto zoznamu je
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
ďalej
\(\vľavo (6-8\vpravo)^2=4\)
\(\vľavo (7-8\vpravo)^2=1\)
\(\vľavo (8-8\vpravo)^2=0\)
\(\vľavo (9-8\vpravo)^2=1\)
\(\vľavo (10-8\vpravo)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Takže štandardná odchýlka tohto zoznamu je
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\približne 1,1\)
otázka 2
Zvážte nasledujúce tvrdenia a ohodnoťte každý z nich ako T (pravda) alebo F (nepravda).
i. Druhá odmocnina rozptylu je štandardná odchýlka.
II. Smerodajná odchýlka nemá žiadny vzťah s aritmetickým priemerom.
III. Rozptyl a štandardná odchýlka sú príklady miery rozptylu.
Správne poradie, zhora nadol, je
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Rozhodnutie:
E alternatíva.
i. Druhá odmocnina rozptylu je štandardná odchýlka. (pravda)
II. Smerodajná odchýlka nemá žiadny vzťah s aritmetickým priemerom. (nepravda)
Smerodajná odchýlka označuje interval okolo aritmetického priemeru, do ktorého spadá väčšina údajov.
III. Rozptyl a štandardná odchýlka sú príklady miery rozptylu. (pravda)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
Pozrite si hlavné pojmy a princípy štatistiky. Pozrite si tiež, ako je rozdelené štúdium štatistiky a sledujte niektoré z jeho aplikácií.
Kliknite a naučte sa miery rozptylu známe ako amplitúda a odchýlka a pozrite si príklady použitia týchto spôsobov analýzy informácií.
Pozrite sa na definíciu a ako použiť rozptyl a štandardnú odchýlku, dve dôležité miery rozptylu.
Kliknite a zistite, ako vypočítať aritmetický priemer, čo je miera centrálnosti, ktorej výsledok predstavuje zoznam informácií.
Druhá odmocnina je matematická operácia používaná na všetkých úrovniach škôl. Naučte sa nomenklatúry a definície, ako aj ich geometrickú interpretáciu.
Viete, čo je rozptyl? Naučte sa počítať a ako používať toto zaujímavé meranie rozptylu!
