Jedna z techník použitých na riešenie kvadratické rovnice je metóda známa ako úplné štvorce. Táto metóda spočíva v interpretácii súboru rovnica z druhýstupňa ako dokonalý štvorcový trojuholník a napíš svoj zapracovaný formulár. Tento jednoduchý postup niekedy niekedy odhalí korene rovnice.
Preto je potrebné mať základné vedomosti o pozoruhodné výrobky, trojčlennýnámestiePerfektné a polynomiálna faktorizácia používať túto techniku. Často však umožňuje výpočty robiť „do hlavy“.
Preto si pripomenieme tri prípady Produktypozoruhodné pred demonštráciou metódadokončiťštvorce, ktoré budú zasa vystavené v troch rôznych prípadoch.
Vynikajúce produkty a dokonalé štvorcové trojčlenky
Ďalej si pozrite pozoruhodný produkt, trojčlennýnámestiePerfektné ktorý je jej ekvivalentom a tvarom započítané tohto trinomiálneho, resp. Ak to chcete urobiť, vezmite do úvahy, že x je neznáme a The je akékoľvek reálne číslo.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Rovnica druhého stupňa vzťahujúca sa na tretí
výrobokpozoruhodné, známy ako produkt súčtu a rozdielu, je možné vyriešiť pomocou techniky, ktorá výpočty ešte uľahčuje. Vo výsledku sa tu nebude brať do úvahy.Rovnica je dokonalý štvorcový trojuholník
Ak jeden rovnica z druhýstupňa je perfektný štvorcový trojuholník, potom môžete jeho koeficienty identifikovať ako: a = 1, b = 2k alebo - 2k a c = k2. Ak to chcete skontrolovať, porovnajte kvadratickú rovnicu s a trojčlennýnámestiePerfektné.
Preto pri riešení rovnica z druhýstupňa X2 + 2kx + k2 = 0, vždy budeme mať možnosť robiť:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Riešenie je teda jedinečné a rovná sa –k.
Ak rovnica byť x2 - 2kx + k2 = 0, môžeme urobiť to isté:
X2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Preto je riešenie jedinečné a rovná sa k.
Príklad: Aké sú korene rovnica X2 + 16x + 64 = 0?
Všimnite si, že rovnica je a trojčlennýnámestiePerfektné, pretože 2k = 16, kde k = 8, a k2 = 64, kde k = 8. Môžeme teda napísať:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Tu sa výsledok zjednodušil, pretože už vieme, že tieto dve riešenia sa budú rovnať rovnakému reálnemu číslu.
Rovnica nie je dokonalý štvorcový trojuholník
V prípadoch, keď rovnica z druhýstupňa nie je dokonalý štvorcový trojuholník, na výpočet jeho výsledkov môžeme vziať do úvahy nasledujúcu hypotézu:
X2 + 2kx + C = 0
Upozorňujeme, že ak sa z tejto rovnice stane a trojčlennýnámestiePerfektné, stačí nahradiť hodnotu C hodnotou k2. Pretože sa jedná o rovnicu, jediný spôsob, ako to urobiť, je pridať k2 na oboch členoch, potom zameniť členský koeficient C. Pozerať:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Po tomto postupe môžeme pokračovať predchádzajúcou technikou, transformáciou trojčlennýnámestiePerfektné do pozoruhodného súčinu a výpočtu druhej odmocniny na oboch končatinách.
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Znamienko ± sa objaví vždy, keď je výsledok a rovnica je druhá odmocnina, pretože v týchto prípadoch je druhá odmocnina výsledkom a modul, ako je uvedené v prvom príklade. Nakoniec zostáva len:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Takže tieto rovnice mať dva výsledky reálny a zreteľný, alebo žiadny skutočný výsledok, keď C> k2.
Napríklad, vypočítajte korene x2 + 6x + 8 = 0.
Riešenie: Všimnite si, že 6 = 2 · 3x. Preto k = 3, a teda k2 = 9. Preto je počet, ktorý musíme pridať do oboch členov, rovný 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ‘= 1 - 3 = - 2
x ‘‘ = - 1 - 3 = - 4
V takom prípade je koeficient a ≠ 1
keď koeficient The, dáva rovnica z druhýstupňa, sa líši od 1, stačí celú rovnicu vydeliť číselnou hodnotou koeficientu The potom použiť jednu z dvoch predchádzajúcich metód.
Takže v rovnici 2x2 + 32x + 128 = 0, máme jedinečný koreň rovný 8, pretože:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
A v rovnici 3x2 + 18x + 24 = 0, máme korene - 2 a - 4, pretože:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm
