Doména, rozsah a rozsah sú číselné množiny súvisiace s matematickými funkciami. Tieto transformujú hodnoty prostredníctvom svojich zákonov tvorby a prenášajú ich z výstupnej množiny, domény, do cieľovej množiny, rozsahu.
Z množiny domén pochádzajú hodnoty, ktoré budú transformované funkčným vzorcom alebo zákonom formácie. Potom tieto hodnoty dorazia na kodoménu.
Podmnožina tvorená prvkami, ktoré prichádzajú do kodomény, sa nazýva množina obrázkov.
Týmto spôsobom sú doména, rozsah a rozsah neprázdne množiny a môžu byť konečné alebo nekonečné.
Pri štúdiu funkcií je potrebné špecifikovať, ktoré prvky alebo aký je rozsah týchto množín. Napríklad: množina prirodzených čísel alebo množina reálnych čísel.
Vzhľadom na oblasť A, v ktorej je každý prvok x, ktorý do nej patrí, transformovaný funkciou na prvok y, ktorý patrí do rozsahu B, sa každý prvok y nazýva obrazom x.
Na označenie domény a rozsahu funkcie sa používa zápis:
(čítame f od A do B)
Tieto transformačné zákony sú výrazy, ktoré zahŕňajú operácie a číselné hodnoty.
Príklad
Funkcia f: A→B definovaná zákonom o tvorení f(x) = 2x, kde jej definičným oborom je množina A={1, 2, 3} a rozsah B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, môže byť reprezentovaný hodnotami v tabuľke a diagramy:
|
doména X |
f(x) = 2x |
Obrázok a |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Usporiadanie výsledkov tabuľky do diagramov:
doména
Doména D funkcie f je výstupná množina zložená z prvkov x aplikovaných na funkciu.
Geometricky v karteziánskej rovine tvoria prvky domény os x úsečky.
v notovom zápise doménu predstavuje písmeno pred šípkou.
Každý prvok x v doméne má aspoň jeden obrázok y v kodoméne.
kodoména
CD doména je cieľovou sadou. v notovom zápise je znázornené na pravej strane šípky.
Obrázok
Image Im je podmnožina rozsahu, tvorená prvkami y, ktoré opúšťajú funkciu a prichádzajú do rozsahu, ktorý môže mať rovnaký počet prvkov alebo menší počet.
Týmto spôsobom je množina obrázkov funkcie f obsiahnutá v kodoméne.
Geometricky v karteziánskej rovine tvoria prvky množiny obrázkov os y súradníc.
Bežne sa hovorí, že y je hodnota, ktorú má funkcia f(x) a týmto spôsobom píšeme:
Je možné, že ten istý prvok y je obrazom viac ako jedného prvku x v doméne.
Príklad
vo funkcii definované zákonom
, pre symetrické x-hodnoty domény máme jeden y-ový obrázok.
naučiť sa viac o funkcie.
Cvičenia týkajúce sa domény, spoločnej domény a obrázka
Cvičenie 1
Vzhľadom na množiny A = {8, 12, 13, 20, 23} a B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55} určite: doménu, rozsah a rozsah funkcie.
a) f: A → B definované ako f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definované ako f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definované ako f (x) = 2x + 1
Doména A = {8, 12, 13, 20, 23}
Doména B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Obrázok Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | som (f) |
|---|---|---|
| 8 | f(8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f(12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f(13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f(23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definované ako f (x) = 3x - 14
Doména A = {8, 12, 13, 20, 23}
Doména B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Obrázok Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | som (f) |
|---|---|---|
8 |
f(8)=3,8-14 | 10 |
| 12 | f(12)=3,12-14 | 24 |
| 13 | f(13)=3,13-14 | 25 |
| 20 | f(20)=3,20-14 | 46 |
| 23 | f(23)=3,23-14 | 55 |
Cvičenie 2
Určite doménu funkcií definovanú:
Doména je množina možných hodnôt, ktoré môže nadobudnúť x.
a) Vieme, že nie je možné deliť nulou 0, preto musí byť menovateľ iný ako nula.
Čítame: x patrí k reálnym tak, že x je iné ako 2.
b) Neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Preto musí byť radikand väčší alebo rovný nule.
Čítame: x patrí k reálnym číslam tak, že x je väčšie alebo rovné 5.
Cvičenie 3
Vzhľadom na funkciu s doménou v množine celých čísel aká je množina obrázkov f(x)?
Množina Z celých čísel pripúšťa záporné aj kladné čísla, pričom dve po sebe idúce čísla sú od seba vzdialené 1 jednotku.
Týmto spôsobom funkcia pripúšťa kladné a záporné hodnoty. Keďže však x je na druhú, každá hodnota, dokonca aj záporná, vráti kladnú hodnotu.
Príklad
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Takto budú na obrázku len prirodzené čísla.
Mohlo by vás zaujímať:
- vstrekovacia funkcia
- Surjektívna funkcia
- Funkcia bijekcie
- Inverzná funkcia
- Kompozitná funkcia
Aplikácie a zaujímavosti
Funkcie majú uplatnenie pri štúdiu akéhokoľvek javu, v ktorom jeden parameter závisí od druhého. Ako napríklad rýchlosť kusu nábytku v čase, účinky lieku s charakteristikou kyslosti v žalúdku, teplota kotla s množstvom paliva.
Funkcie sú prítomné v skutočných javoch, a preto majú uplatnenie vo všetkých vedeckých a inžinierskych štúdiách.
Štúdium funkcií nie je nedávne, niektoré záznamy v antike v babylonských tabuľkách ukazujú, že už boli súčasťou matematiky. V priebehu rokov zápisy, spôsob ich písania, dostávali príspevky od viacerých matematikov a zdokonaľovali sa, až ich používame dnes.
