Faktorizácia polynómy pozostáva z metód vyvinutých na prepísanie polynómu ako súčin medzi polynómami. Napíšte polynóm ako násobenie medzi dvoma alebo viacerými faktormi pomáha zjednodušiť algebraické výrazy a pochopiť polynóm.
Existujú rôzne prípady faktoringu a pre každý z nich existujú špecifické techniky.. Existujúce prípady sú: súčinenie podľa spoločného činiteľa v dôkaze, členenie podľa zoskupení, rozdiel medzi dvoma štvorcami, dokonalá štvorcová trojčlenka, súčet dvoch kociek a rozdiel dvoch kociek.
Čítaj viac:Čo je polynóm?
Zhrnutie faktoringových polynómov
Faktorizácia polynómov sú techniky používané na reprezentáciu polynómov ako súčinu medzi polynómami.
Túto faktorizáciu používame na zjednodušenie algebraické výrazy.
-
Faktoringové prípady sú:
Faktoring podľa spoločného faktora v dôkazoch;
Faktoring podľa zoskupenia;
dokonalý štvorcový trojčlen;
rozdiel dvoch štvorcov;
súčet dvoch kociek;
Rozdiel dvoch kociek.
Prípady polynomiálneho faktoringu
Ak chcete rozložiť polynóm, je potrebné analyzovať, v ktorom z faktorov faktoringu situácia sedí
, pričom ide o: súčinenie podľa spoločného súčiniteľa v evidencii, súčinenie podľa zoskupení, rozdiel medzi dvoma štvorcami, dokonalá štvorcová trojčlenka, súčet dvoch kociek a rozdiel dvoch kociek. Pozrime sa, ako vykonať faktorizáciu v každom z nich.Spoločný faktor v dôkazoch
Túto metódu faktorizácie používame vtedy, keď existuje faktor spoločný pre všetky členy polynómu. Tento spoločný faktor bude zvýraznený ako jeden faktor a druhý faktor, výsledok divízie výrazov týmto spoločným faktorom, budú umiestnené v zátvorkách.
Príklad 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analýzou každého člena tohto polynómu je možné vidieť, že x sa opakuje vo všetkých členoch. Všetky koeficienty (20, 12 a 8) sú tiež násobky 4, takže faktor spoločný pre všetky členy je 4x.
Vydelením každého výrazu spoločným faktorom máme:
20xy: 4x = 5r
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Teraz napíšeme faktorizáciu uvedenie spoločného faktora do dôkazu a súčet z výsledkov nájdených v zátvorkách:
4x (5 rokov + 3x + 2 roky²)
Príklad 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Pri analýze doslovnej časti každého termínu je možné vidieť, že a²b sa vo všetkých opakuje. Všimnite si, že neexistuje žiadne číslo, ktoré by delilo 2, 3 a – 4 súčasne. Takže spoločným faktorom bude len a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Faktorizácia tohto polynómu teda bude:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Pozri tiež: Sčítanie, odčítanie a násobenie polynómov — pochopte, ako sa to robí
zoskupenie
Táto metóda je používa sa, keď neexistuje spoločný faktor pre všetky členy polynómu. V tomto prípade identifikujeme výrazy, ktoré možno zoskupiť so spoločným faktorom, a zvýrazníme ich.
Príklad:
Zohľadnite nasledujúci polynóm:
ax + 4b + bx + 4a
Zoskupíme pojmy, ktoré majú a a b ako spoločný faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Ak uvedieme a a b ako dôkaz dva krát dva, máme:
a(x+4)+b(x+4)
Všimnite si, že v zátvorkách sú faktory rovnaké, takže tento polynóm môžeme prepísať ako:
(a + b) (x + 4)
dokonalý štvorcový trojčlen
Trojčlenky sú polynómy s 3 členmi. Polynóm je známy ako dokonalý štvorcový trinóm, keď je výsledok na druhú mocninu súčtu alebo rozdiel na druhú, teda:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Dôležité: Nie vždy, keď existujú tri členy, tento polynóm bude dokonalým štvorcovým trinómom. Preto pred vykonaním faktorizácie treba overiť, či trojčlenka v tomto prípade sedí.
Príklad:
Faktor, ak je to možné, polynóm
x² + 10x + 25
Po analýze tejto trojčlenky extrahujeme odmocnina prvý a posledný termín:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Je dôležité overiť, či sa centrálny člen, teda 10x, rovná \(2\cdot\ x\cdot5\). Všimnite si, že je to skutočne to isté. Ide teda o perfektnú štvorcovú trojčlenku, ktorú možno vynásobiť:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
rozdiel dvoch štvorcov
Keď máme rozdiel dvoch štvorcov, tento polynóm môžeme faktorizovať tak, že ho prepíšeme ako súčin súčtu a rozdielu.
Príklad:
Faktor polynómu:
4x² – 36y²
Najprv vypočítame druhú odmocninu každého z jeho výrazov:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6r\)
Teraz prepíšeme tento polynóm ako súčin súčtu a rozdielu nájdených koreňov:
4x² – 36 rokov² = (2x + 6 rokov) (2x – 6 rokov)
Prečítajte si tiež: Algebraický výpočet zahŕňajúci monomiály — zistite, ako prebiehajú tieto štyri operácie
súčet dvoch kociek
Súčet dvoch kociek, teda a³ + b³, môžu byť zohľadnené ako:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Príklad:
Faktor polynómu:
x³ + 8
Vieme, že 8 = 2³, takže:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Rozdiel dvoch kociek
Rozdiel dvoch kociek, teda a³ – b³, nie na rozdiel od súčtu dvoch kociek, môže byť faktorizovaný ako:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Príklad:
Vylož polynóm
8x³ - 27
My to vieme:
8x³ = (2x)³
27 = 3³
Takže musíme:
\(8x^3-27=\vľavo (2x-3\vpravo)\)
\(8x^3-27=\vľavo (2x-3\vpravo)\vľavo (4x^2+6x+9\vpravo)\)
Vyriešené cvičenia na faktoring polynómov
Otázka 1
Použitie polynomiálnej faktorizácie na zjednodušenie algebraického vyjadrenia \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), nájdeme:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rozhodnutie:
Alternatíva D
Pri pohľade na čitateľa vidíme, že x² + 4x + 4 je prípad dokonalého štvorcového trinomu a možno ho prepísať ako:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Čitateľ x² – 4 je rozdiel dvoch štvorcov a možno ho prepísať ako:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Preto:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Všimnite si, že výraz x + 2 sa vyskytuje v čitateli aj v menovateli, takže jeho zjednodušenie je dané:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
otázka 2
(Unifil Institute) Vzhľadom na to, že dve čísla, x a y, sú také, že x + y = 9 a x² – y² = 27, hodnota x sa rovná:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Všimnite si, že x² – y² je rozdiel medzi dvoma štvorcami a možno ho vypočítať ako súčin súčtu a rozdielu:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Vieme, že x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Potom môžeme nastaviť a sústava rovníc:
Pridanie dvoch riadkov:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
