Newtonov dvojčlen je ľubovoľný dvojčlen rozdelený na číslo č na čom č je to prirodzené číslo. Vďaka štúdiám fyzičky Isaac Newton o právomociach dvojčlenov to bolo možné skontrolujte zákonitosti, ktoré uľahčujú znázornenie polynómu generované z moci dvojčlenu.
Pri dodržaní týchto zákonitostí to tiež bolo možné nájsť iba jednu z podmienok polynóm, bez toho, aby sme to všetko museli vypočítať, pomocou vzorca všeobecného výrazu dvojčlenu. Newton si navyše všimol vzťah medzi kombinatorická analýzaa Newtonove dvojčleny, čo spôsobilo Pascalov trojuholník skvelý nástroj na praktickejší vývoj Newtonovho dvojčlenu.
Prečítajte si tiež: Briot-Ruffiniho zariadenie - metóda delenia polynómov
Definícia Newtonovho dvojčlenu
Definujeme ako binomicképolynóm, ktorý má dva členy. V niektorých aplikáciách v matematike a fyzike je potrebné vypočítať mocniny dvojčlenu. Na uľahčenie procesu Isaac Newton si všimol dôležité zákonitosti ktoré nám umožňujú nájsť polynóm, ktorý je výsledkom sily dvojčlenu.
V niektorých prípadoch je výpočet pomerne jednoduchý: stačí vykonať príkaz násobenie samotného binomia pomocou distribučnej vlastnosti. Až do sily objednávky 3 sa vyvíjame bez veľkého úsilia, pretože sú dobre známe pozoruhodné výrobky, ale pre vyššie sily vypočítajte zo samostatného násobenia výrazu č niekedy je to veľa práce.
Príklady
Pamätajte, že každé číslo zdvihnuté na nulu sa rovná 1 a že každé číslo zdvihnuté na 1 je samo o sebe, čo platí aj pre dvojčleny.
Newton si všimol a vzťah medzi koeficientmi každého z výrazov a kombináciou, ktorý umožňoval výpočet výkonu dvojčlenu priamo z tohto vzorca:
Pochopenie vzorca:
Najprv sa pozrime na doslovnú časť každého výrazu, ktorou je písmeno s jeho exponentom. Upozorňujeme, že pre každý výraz je exponentom čísla “a “sa zmenšovalo počnúc n, potom prechodom na n - 1 atď., kým to nebolo 1 v predposlednom termíne a 0 v poslednom termíne (čo znamená, že písmeno„ a “sa v poslednom termíne ani neobjavilo).
identifikačné The a jeho exponenti:
Teraz poďme analyzovať exponenty „b“, ktoré sa neustále zväčšujú, počnúc 0 v prvom termíne ( vďaka čomu sa písmeno b neobjavuje v prvom termíne), 1 v druhom termíne atď., kým sa nerovná The čv poslednom termíne.
identifikačné B a jeho exponenti:
Pochopenie doslovnej časti, poďme analyzovať koeficienty, čo sú všetky kombinácie č prvky prevzaté z 0 na 0, 1 na 1, 2 na 2 atď. až do posledného člena, čo je kombinácia č prvky prevzaté z č v č.
Je pozoruhodné, že je dôležité zvládnuť výpočet kombinácie vedieť nájsť koeficienty. Pamätajte, že pri výpočte kombinácií musíme:
Kombinovaná odpoveď je vždy a prirodzené číslo.
Pozri tiež: Polynomické delenie: ako to vyriešiť?
Príklad: Vypočítajte Newtonovu dvojčlen (a + b) na štvrtú mocninu.
1. krok: napíš polynóm pomocou vzorca.
2. krok: vypočítať kombinácie.
Nahradením kombinácií bude nájdený polynóm:
Vidíte, že riešenie takýchto prípadov je stále namáhavé v závislosti od exponenta, ale aj napriek tomu je rýchlejšie ako výpočet pomocou distribučnej vlastnosti. Pomôckou pri tomto výpočte je Pascalov trojuholník.
Pascalov trojuholník
Pascalov trojuholník vyvinul Blaise Pascal počas štúdia kombinácií. On je spôsob, ktorý uľahčuje výpočet kombinácií. Použitie Pascalovho trojuholníka umožňuje rýchlejšie a ľahšie nájsť koeficienty doslovných častí Newtonovho dvojčlenu bez nutnosti výpočtu všetkých kombinácií.
Aby sme priamo zostrojili Pascalov trojuholník, spomeňme si na dve situácie, keď sa kombinovaný výpočet rovná 1.
Prvý a posledný člen všetkých riadkov sa teda vždy rovná 1. Centrálne členy sú zostavené zo súčtu výrazu nad ním a jeho suseda z predchádzajúceho stĺpca, ako je to znázornené nižšie:
Ak chcete vytvoriť ďalšie riadky, nezabudnite, že prvý termín je 1 a posledný tiež. Potom stačí urobiť sumy, aby ste našli ústredné pojmy.
Tiež prístup: Veta o polynomiálnom rozklade
Príklad: Vypočítajte (a + b) na šiestu mocninu.
1. krok: použiť vzorec dvojčlenu.
2. krok: zostrojte Pascalov trojuholník až po 6. riadok.
3. krok: nahraďte kombinácie hodnotami v riadku 6, ktoré sú koeficientmi každého z pojmov dvojčlenu.
To, čo určuje počet riadkov, ktoré ideme zostaviť z dvojčlenu, je hodnota n. Je dôležité mať na pamäti, že prvý riadok je nulový.
Newtonov binomický všeobecný pojem
Newtonov všeobecný pojem binomický je vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať pojem dvojčlenu bez toho, aby sme museli vyvinúť celý polynóm, to znamená, že môžeme identifikovať ktorýkoľvek z výrazov od prvého do posledného. Pomocou vzorca priamo vypočítame hľadaný výraz.
: prvý termín
B: druhé volebné obdobie
n: exponent
p + 1: hľadaný výraz
Príklad: Nájdite 11. člen dvojčlenu (a + b)12.
Rozhodnutie:
Pozri tiež: Ukážky cez algebraického počtu
vyriešené cviky
Otázka 1 - (Cesgranrio) Koeficient x4 v polynóme P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Rozhodnutie
Chceme nájsť konkrétny výraz pri riešení dvojčlenu; na to potrebujeme nájsť hodnotu p.
Vieme, že prvý člen sa v tomto prípade rovná x, takže n - p = 4, keďže n = 6, máme:
Preto je koeficient 60 (alternatíva B).
Otázka 2 - (Unifor) Ak je ústredný člen binomického vývoja (4x + ky)10 pre 8064x5r5, potom alternatíva, ktorá zodpovedá hodnote k, bude:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Rozhodnutie: Vieme, že centrálny člen má rovnaké koeficienty (p = 5). Nájdeme 6. člen, pretože p + 1 = 6. Ďalej máme to a = 4x; b = ky an = 10, takže:
Alternatíva D.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm