Zvážte oblúk trigonometrického obvodu, ktorý meria 45 °, jeho dvojitý oblúk je oblúk 90 °, ale to nie je znamená, že hodnota trigonometrických funkcií dvojitého oblúka (sínus, kosínus a tangenta) je dvojnásobná ako hodnota oblúka, o príklad:
Ak sa oblúk rovná 30 °, váš dvojitý oblúk bude 60 °. Hriech 30 ° = 1/2, hriech 60 ° = √3 / 2, takže si uvedomujeme, že aj keď je 60 ° dvojnásobok 30 °, hriech 60 ° nie je dvojitý hriech 30 °. Túto istú situáciu môžeme použiť s niekoľkými ďalšími oblúkmi a trigonometrickými funkciami, ale dospejeme k rovnakému záveru.
Všeobecne zvážte akýkoľvek oblúk miery β, jeho dvojitý oblúk bude 2β, preto hriech β ≠ hriech 2β, to znamená hriech 2β ≠ 2. hriech β.
Aby sme teda našli hodnotu trigonometrických funkcií dvojitého oblúka (sin 2β, cos 2β a tg 2β), budeme musieť dodržiavať niektoré vzťahy medzi oblúkom β a jeho dvojitým oblúkom 2β.
Tieto vzťahy sa uskutočnia prostredníctvom trigonometrické funkcie sčítania oblúka. Vidieť ako:
• Pretože 2β
Podľa pridania oblúkov sa cos 2β rovná:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - hriech β. hriech β
Spojením podobných podmienok budeme mať:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β - hriech2 β
Preto sa výpočet cos 2β uskutoční pomocou nasledujúceho vzorca:
cos 2β = cos2 β - hriech2 β
• Sen 2β
Podľa pridania oblúkov sa sin 2β rovná:
Sen 2β = hriech (β + β) = hriech β. cos β + sin β. cos β
Dôkazom podobných výrazov bude:
Sen 2β = hriech (β + β) = 2. hriech β. cos β
Výpočet sin 2β sa preto uskutoční pomocou nasledujúceho vzorca:
Sen 2β = 2. hriech β. cos β
• tg 2β
Podľa pridania oblúkov sa tg 2β rovná:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Spojením podobných podmienok budeme mať:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgp
1 - tg2β
Preto sa výpočet tg 2β uskutoční pomocou nasledujúceho vzorca:
tg 2β = 2 tgp
1 - tg2β
od Danielle de Miranda
Vyštudoval matematiku
Brazílsky školský tím
Trigonometria - Matematika - Brazílska škola
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm