THE geometrický priemer spolu s aritmetickým priemerom a harmonickým priemerom vyvinula pytagorejská škola. O štatistika je úplne bežné hľadať reprezentácia súboru údajov jedinou hodnotou pre rozhodovanie. Jednou z možností centrálnej hodnoty je geometrický priemer.
Je to užitočné pre predstavenie množiny, ktorá má údaje, ktoré sa správajú blízko k a geometrický postup, tiež nájsť stranu námestie a kocka, vediac o ploche a objeme. Geometrický priemer sa uplatňuje aj v situácie akumulácie percentuálneho zvýšenia alebo zníženia. Na výpočet geometrického priemeru súboru n hodnôt vypočítame n-tý koreň súčinu prvkov, to znamená, že ak má množina napríklad tri členy, tieto trikrát vynásobíme a vypočítame kubický koreň súčinu.
Geometrický priemerný vzorec
Geometrický priemer sa používa na nájdenie a priemerná hodnota medzi súborom údajov. Na výpočet geometrického priemeru je potrebná množina s dvoma alebo viacerými prvkami. Nech A je množina údajov A = (x
1, X2, X3,... Xč), množina s n prvkami, geometrický priemer tejto množiny sa počíta z:
Prečítajte si tiež: Disperzné opatrenia: amplitúda a odchýlka
Výpočet geometrického priemeru
Nech A = {3,12,16,36}, aký bude geometrický priemer tejto množiny?
Rozhodnutie:
Na výpočet geometrického priemeru najskôr spočítame počet členov v množine, v prípade n = 4. Musíme teda:
Metóda 1: Prebieha násobenie.
Pretože nie vždy máme k dispozícii kalkulačku na vykonávanie množenie, je možné vykonať výpočet na základe faktorizácie a prirodzené číslo.
Metóda 2: Faktorizácia.
Pomocou faktorizácií musíme:
Aplikácie geometrického priemeru
Geometrický priemer možno použiť na akýkoľvek štatistický súbor údajov, ale zvyčajne je to tak zamestnaný v geometria, na porovnanie strán hranolov a kociek rovnakého objemu alebo štvorcov a obdĺžnikov rovnakej oblasti. Aplikácia je tiež v finančné matematické problémy ktoré zahŕňajú akumulovanú percentuálnu mieru, to znamená percentuálny podiel pod percentom. Okrem toho, že je to najpohodlnejší prostriedok pre dáta, ktoré sa správajú ako geometrická postupnosť.
Príklad 1: Aplikácia v percentách.
Produkt po dobu troch mesiacov zaznamenal postupné zvyšovanie, prvý bol 20%, druhý 10% a tretí 25%. Aký bol priemerný percentuálny nárast na konci tohto obdobia?
Rozhodnutie
Produkt pôvodne stál 100%, v prvom mesiaci začal stáť 120%, čo je v desatinnej podobe napísané ako 1.2. Táto úvaha bude rovnaká pre všetky tri prírastky, takže chceme geometrický priemer medzi: 1,2; 1,1; a 1.25.
Nárast je v priemere o 18,2% mesačne.
Pozri tiež: Percentuálny výpočet s pravidlom tri
Príklad 2: Aplikácia v geometrii.
Aká by mala byť hodnota x na obrázku s vedomím, že štvorec a obdĺžnik majú potom rovnakú plochu?
Rozhodnutie:
Ak chcete zistiť hodnotu x strany štvorca, vypočítame geometrický priemer medzi stranami obdĺžnika.
Preto je strana štvorca 12 cm.
Príklad 3: Geometrický postup.
Aké sú pojmy P.G. s vedomím, že predchodca centrálnej hodnoty je x, centrálna hodnota je 10 a nástupca centrálnej hodnoty je 4x.
Rozhodnutie:
Poznáme výrazy P.G. (x, 10,4x) a vieme, že geometrický priemer medzi nástupcom a predchodcom sa rovná centrálnemu členu P.G., takže musíme:
Rozdiel medzi geometrickým priemerom a aritmetickým priemerom
V štatistike je spôsob výberu údajov veľmi dôležitý pre výber jednej hodnoty, ktorá ich predstavuje. Preto existujú typy centrálnych opatrení a existujú typy médií.
Pri výbere priemeru, ktorý sa má použiť, je potrebné brať do úvahy súbor údajov, na ktorom pracujeme. Ako je vidieť v príklade, ak ide o údaje, ktoré sa správajú blízko geometrickej postupnosti a majú najexponenciálnejší rast, odporúča sa geometrický priemer.
V iných situáciách väčšinou používame aritmetický priemernapríklad priemerná hmotnosť jednotlivca v priebehu roka. Pri porovnaní výpočtu dvoch typov priemeru pre ten istý súbor údajov bude geometrický vždy menší ako aritmetika.
Keď porovnáme vzorec aritmetického priemeru s vzorcom geometrického priemeru, všimneme si rozdiel, pretože prvý sa počíta z súčet rozdelených pojmovThe o množstvo termínov, zatiaľ čo druhá, ako sme videli, sa počíta podľa n-tej odmocniny produktu všetkých výrazov.
Príklad 4: Vzhľadom na množinu (3, 9, 27, 81, 243) si uvedomte, že ide o P.G. pomeru 3, keďže od prvého k druhému členu sa vynásobíme tromi, od druhého k tretiemu tiež a podobne. Keď hľadáme centrálnu hodnotu, ktorá predstavuje túto množinu, ideálne by to mal byť centrálny člen progresie, ktorý sa stane, ak vypočítame geometrický priemer. Pri výpočte aritmetického priemeru však pri vyšších hodnotách je hodnota tohto priemeru v porovnaní s hodnotou príliš vysoká termíny množiny a čím je hodnota väčšia, tým bude aritmetický priemer ďalej od reprezentácie centrálneho termínu.
Rozhodnutie:
1. aritmetický priemer
2. geometrický priemer
Tiež prístup: Móda, priemer a mediána - centrálne opatrenia
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - Cena benzínu v Brazílii prešla v posledných mesiacoch veľkým nárastom. Mesačné prírastky za posledné 4 mesiace boli 9%, 15%, 25% a 16%. Aký bol priemerný percentuálny nárast v tomto období?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Rozhodnutie
Alternatíva A
Otázka 2 - Hranol s obdĺžnikovou základňou má rovnaký objem ako kocka. Ak viete, že rozmery hranola sú 6 cm dlhé, 20 cm vysoké a 25 cm široké, aká je hodnota strany kocky v centimetroch?
Rozhodnutie:
Alternatíva D
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm