Trigonometria je dôležitou témou matematiky, ktorá umožňuje popri iných trigonometrických funkciách poznať aj strany a uhly v pravom trojuholníku prostredníctvom sínusu, kosínusu a dotyčnice.
Ak chcete zdokonaliť svoje štúdium a rozšíriť svoje vedomosti, postupujte podľa zoznamu 8 cvičení a 4 otázok týkajúcich sa prijímacích skúšok, ktoré sú postupne vyriešené.
Cvičenie 1
Pri rannom pozorovaní tieňa budovy na zemi jedna osoba zistila, že merala 63 metrov, keď slnečné lúče zvierali s povrchom uhol 30 °. Na základe týchto informácií vypočítajte výšku budovy.
Správna odpoveď: Približne 36,37 m.
Budova, tieň a slnečný lúč určujú pravý trojuholník. Pomocou 30 ° uhla a dotyčnice môžeme určiť výšku budovy.
Pretože výška budovy je h, máme:
Cvičenie 2
Na obvode s priemerom 3 segment AC, ktorý sa nazýva akord, tvorí uhol 90 ° s ďalším akordom CB rovnakej dĺžky. Aká je miera strún?
Správna odpoveď: Dĺžka lana je 2,12 cm.
Pretože segmenty AC a CB tvoria uhol 90 ° a majú rovnakú dĺžku, vytvorený trojuholník je rovnoramenný a základné uhly sú rovnaké.
Pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180 ° a my už máme uhol 90 °, zostáva ďalších 90 °, ktoré sa majú rozdeliť rovnakým spôsobom medzi dva základné uhly. Ich hodnota je teda rovná 45 °.
Pretože priemer sa rovná 3 cm, polomer je 1,5 cm a na určenie dĺžky reťazca môžeme použiť kosínus 45 °.
Cvičenie 3
Cyklista zúčastňujúci sa šampionátu sa blíži k cieľovej páske na vrchole svahu. Celková dĺžka tejto poslednej časti skúšky je 60 ma uhol medzi rampou a horizontálou je 30 °. S týmto vedomím vypočítajte vertikálnu výšku, ktorú musí cyklista vyliezť.
Správna odpoveď: Výška bude 30 m.
Volanie výšky h, máme:
Cvičenie 4
Nasledujúci obrázok tvoria tri trojuholníky, kde výška h určuje dva pravé uhly. Hodnoty prvkov sú:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Nájdite hodnotu a + b.
Správna odpoveď:
Merania segmentov a a b môžeme určiť pomocou dotyčníc daných uhlov.
Výpočet a:
Výpočet b:
Teda
Cvičenie 5
Lietadlo vzlietlo z mesta A a letelo 50 km priamym smerom, kým nepristálo v meste B. Potom preletel ďalších 40 km, tentoraz smeroval do mesta D. Tieto dve trasy sú navzájom v 90 ° uhle. Kvôli nepriaznivým poveternostným podmienkam však dostal pilot správu z riadiacej veže s informáciou, že nemôže pristáť v meste D a že by sa mal vrátiť do mesta A.
Na to, aby sa otočil z bodu C, musel by pilot otočiť o koľko stupňov doprava?
Zvážte:
hriech 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25
Správna odpoveď: Pilot musí urobiť zákrutu o 129 ° doprava.
Analýzou obrázka vidíme, že cesta vytvára pravý trojuholník.
Nazvime uhol, ktorý hľadáme W. Uhly W a Z sú doplňujúce, to znamená, že zvierajú plytký uhol 180 °.
Teda W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (rovnica 1)
Našou úlohou je teraz určiť uhol Z a na to použijeme jeho dotyčnicu.
Musíme si položiť otázku: Aký je uhol, ktorého tangens je 1,25?
Problém nám dáva tieto údaje, tan 51 ° = 1,25.
Túto hodnotu nájdete aj v trigonometrickej tabuľke alebo vo vedeckej kalkulačke pomocou funkcie:
Dosadením hodnoty Z v rovnici 1 máme:
Z = 180 ° - 51 ° = 129 °
Cvičenie 6
Lúč monochromatického svetla pri prechode z jedného média do druhého trpí odchýlkou od neho. Táto zmena jeho šírenia súvisí s indexmi lomu média, ako je uvedené v nasledujúcom vzťahu:
Snellov zákon - Descartes
Kde i a r sú uhly dopadu a lomu a n1 an2, indexy lomu prostriedkov 1 a 2.
Pri dopade na povrch oddelenia medzi vzduchom a sklom lúč lúča svetla zmení svoj smer, ako je to znázornené na obrázku. Aký je index lomu skla?
Údaje: Index lomu vzduchu rovný 1.
Správna odpoveď: Index lomu skla sa rovná .
Nahradenie hodnôt, ktoré máme:
Cvičenie 7
Aby pretiahol drevený kmeň do svojej dielne, zámočník priviazal lano o guľatinu a pretiahol ho desať stôp cez vodorovný povrch. Sila 40 N vedená strunou zvierala so smerom jazdy uhol 45 °. Vypočítajte prácu použitej sily.
Správna odpoveď: Vykonaná práca je približne 84,85 J.
Práca je skalárne množstvo získané súčinom sily a posunutia. Ak sila nemá rovnaký smer ako posun, musíme túto silu rozložiť a uvažovať iba s komponentom v tomto smere.
V takom prípade musíme vynásobiť veľkosť sily kosínusom uhla.
Takže máme:
Cvičenie 8
Medzi dvoma horami museli obyvatelia dvoch dedín cestovať tvrdo hore-dole. Na vyriešenie situácie sa rozhodlo, že medzi obcami A a B bude vybudovaný lanový most.
Bolo by potrebné vypočítať vzdialenosť medzi oboma dedinami podľa priamky, na ktorej by sa tiahol most. Keďže obyvatelia už poznali výšku miest a uhly stúpania, dala sa táto vzdialenosť vypočítať.
Na základe nižšie uvedeného diagramu a s vedomím, že výška miest bola 100 m, vypočítajte dĺžku mosta.
Správna odpoveď: Most by mal mať dĺžku približne 157,73 m.
Dĺžka mosta je súčtom strán susediacich s danými uhlami. Volanie výšky h, máme:
Výpočet so 45 ° uhlom
Výpočet s uhlom 60 °
Na určenie dĺžky mosta spočítame získané hodnoty.
Otázka 1
Cefet - SP
V trojuholníku ABC dole sú CF = 20 cm a BC = 60 cm. Označte merania segmentov AF a BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Odpoveď: b) 10, 20
Na určenie AF
Upozorňujeme, že AC = AF + CF, takže musíme:
AF = AC - CF (rovnica 1)
CF je dané problémom, rovné 20 cm.
AC je možné určiť pomocou 30 ° sínusového napätia.
Problém poskytuje BC, ktorá sa rovná 60 cm.
Dosadením do rovnice 1 máme:
Na určenie BE
Prvý postreh:
Overujeme, že postava vo vnútri trojuholníka je obdĺžnik, a to z dôvodu pravých uhlov určených na obrázku.
Preto sú ich strany rovnobežné.
Druhé pozorovanie:
Segment BE vytvára pravouhlý trojuholník s uhlom 30 °, kde: výška sa rovná AF, ktorý sme práve určili, a BE je prepona.
Vykonanie výpočtu:
Na stanovenie BE používame 30 ° sínus
otázka 2
EPCAR-MG
Letún vzlieta z bodu B pod konštantným sklonom 15 ° k vodorovnej rovine. 2 km od B je vertikálny priemet C najvyššieho bodu D 600 m vysokého pohoria, ako je to znázornené na obrázku.
Údaje: cos 15 ° = 0,97; hriech 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Je správne povedať, že:
a) Lietadlo sa nezrazí s pílou skôr, ako dosiahne výšku 540 m.
b) Vo výške 540 m dôjde k zrážke lietadla s pílou.
c) Lietadlo sa zrazí s pílou v D.
d) Ak lietadlo vzlietne 220 m pred B pri zachovaní rovnakého sklonu, nedôjde ku kolízii lietadla s pílou.
Odpoveď: b) Vo výške 540 m dôjde k zrážke lietadla s pílou.
Najskôr je potrebné použiť rovnaký násobok jednotky merania dĺžky. Preto pôjdeme 2 km až 2 000 m.
Po rovnakých počiatočných letových podmienkach môžeme predpovedať výšku, v ktorej bude rovina vo vertikálnom priemete bodu C.
Pomocou 15 ° dotyčnice a definovaním výšky ako h máme:
otázka 3
NEPRIATEĽ 2018
Na ozdobenie priameho kruhového valca sa použije obdĺžnikový pás priehľadného papiera, na ktorom je tučne nakreslená uhlopriečka, ktorá so spodným okrajom tvorí 30 °. Polomer základne valca meria 6 / π cm a pri navíjaní pásu sa získa čiara v tvare špirály, ako je to znázornené na obrázku.
Hodnota merania výšky valca v centimetroch je:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Odpoveď: b) 24√3
Na obrázku sme si všimli, že okolo valca bolo urobených 6 závitov. Keďže ide o rovný valec, kdekoľvek v jeho výške budeme mať ako základ kruh.
Na výpočet miery základne trojuholníka.
Dĺžka kruhu môže byť určená vzorcom:
Kde r je polomer e rovný ,máme:
Ako vyzerá 6 kôl:
Na výpočet výšky môžeme použiť 30 ° opálenie.
otázka 4
ENEM 2017
Paprsky slnečného žiarenia dopadajú na povrch jazera pod uhlom X s jeho povrchom, ako je to znázornené na obrázku.
Za určitých podmienok možno predpokladať, že svetelná intenzita týchto lúčov na povrchu jazera je daná približne hodnotou I (x) = k. sin (x), k je konštanta a za predpokladu, že X je medzi 0 ° a 90 °.
Keď x = 30 °, intenzita svetla sa zníži na koľko percent z jeho maximálnej hodnoty?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Odpoveď: B) 50%
Nahradením sínusovej hodnoty 30 ° vo funkcii získame:
Po znížení hodnoty k na polovicu je intenzita 50%.
Precvičte si viac cvičení v:
Trigonometrické cvičenia
Rozšírte svoje vedomosti o:
Trigonometria v pravom trojuholníku
Metrické vzťahy v obdĺžnikovom trojuholníku
Trigonometria
