Komentované boli trigonometrické cvičenia v pravom trojuholníku

Trigonometria je dôležitou témou matematiky, ktorá umožňuje popri iných trigonometrických funkciách poznať aj strany a uhly v pravom trojuholníku prostredníctvom sínusu, kosínusu a dotyčnice.

Ak chcete zdokonaliť svoje štúdium a rozšíriť svoje vedomosti, postupujte podľa zoznamu 8 cvičení a 4 otázok týkajúcich sa prijímacích skúšok, ktoré sú postupne vyriešené.

Cvičenie 1

Pri rannom pozorovaní tieňa budovy na zemi jedna osoba zistila, že merala 63 metrov, keď slnečné lúče zvierali s povrchom uhol 30 °. Na základe týchto informácií vypočítajte výšku budovy.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Približne 36,37 m.

Budova, tieň a slnečný lúč určujú pravý trojuholník. Pomocou 30 ° uhla a dotyčnice môžeme určiť výšku budovy.

tan g e n t e priestor rovný čitateľovi priestor c a t e t o priestor o po s t o nad menovateľom c a t e t priestor a d j a c e n t e koniec zlomku

Pretože výška budovy je h, máme:

opálený priestor 30 stupňový znak priestor rovný s priestorom h nad 63 priestorový priestor h priestor rovný priestoru 63 priestorový násobiaci znak priestorový priestor opálený medzera 30 stupňov podpísať priestor medzera h priestor rovný medzere 63 priestor násobenie podpísať priestor čitateľ druhá odmocnina 3 asi menovateľ 3 koniec zlomku h priestor sa rovná priestoru 21 druhá odmocnina z 3 priestoru m h priestor približne rovnaký priestor 36 čiarka 37 priestor m

Cvičenie 2

Na obvode s priemerom 3 segment AC, ktorý sa nazýva akord, tvorí uhol 90 ° s ďalším akordom CB rovnakej dĺžky. Aká je miera strún?

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Dĺžka lana je 2,12 cm.

Pretože segmenty AC a CB tvoria uhol 90 ° a majú rovnakú dĺžku, vytvorený trojuholník je rovnoramenný a základné uhly sú rovnaké.

instagram story viewer

Pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180 ° a my už máme uhol 90 °, zostáva ďalších 90 °, ktoré sa majú rozdeliť rovnakým spôsobom medzi dva základné uhly. Ich hodnota je teda rovná 45 °.

Pretože priemer sa rovná 3 cm, polomer je 1,5 cm a na určenie dĺžky reťazca môžeme použiť kosínus 45 °.

cos medzera znak 45 stupňov priestor rovná sa priestoru čitateľ 1 čiarka 5 nad menovateľom c o r d koniec zlomku c o r d a medzera rovná sa medzere čitateľ 1 čiarka 5 nad menovateľom cos medzera znak 45 stupňov koniec zlomku c alebo d medzera rovná sa medzera čitateľ 1 čiarka 5 nad menovateľom začiatok štýlu zobraziť čitateľ druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku koniec štýlu koniec zlomku c o r d a medzera sa rovná medzeru 1 čiarka 5 znak násobenia medzier čitateľ 2 nad menovateľom druhá odmocnina 2 konca zlomku c alebo d približne rovnaká medzera 2 čiarka 12 medzera cm

Cvičenie 3

Cyklista zúčastňujúci sa šampionátu sa blíži k cieľovej páske na vrchole svahu. Celková dĺžka tejto poslednej časti skúšky je 60 ma uhol medzi rampou a horizontálou je 30 °. S týmto vedomím vypočítajte vertikálnu výšku, ktorú musí cyklista vyliezť.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Výška bude 30 m.

Volanie výšky h, máme:

s a n medzera 30. medzera rovná sa čitateľovi priestoru h medzera nad menovateľom 60 koniec zlomku medzera h medzera rovná sa medzere 60 medzera znak multiplikačný priestor s a 30 stupňový znakový priestor h priestor sa rovná priestoru 60 priestorový multiplikačný znak priestor 1 polovica h priestor sa rovná priestoru 30 m priestor

Cvičenie 4

Nasledujúci obrázok tvoria tri trojuholníky, kde výška h určuje dva pravé uhly. Hodnoty prvkov sú:

α = 30°
β = 60°
h = 21

Nájdite hodnotu a + b.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď:

Merania segmentov a a b môžeme určiť pomocou dotyčníc daných uhlov.

Výpočet a:

opaľovací priestor alfa priestor sa rovná priestoru a nad h priestorový priestor priestor sa rovná priestoru h priestor násobenie znak priestor opaľovací alfa priestor priestor priestor priestor a medzera rovná sa priestoru 21 znak násobenia medzery priestor čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku medzera rovná 7 druhá odmocnina z 3

Výpočet b:

Teda

medzera plus medzera b medzera sa rovná medzere 28 druhá odmocnina z 3

Cvičenie 5

Lietadlo vzlietlo z mesta A a letelo 50 km priamym smerom, kým nepristálo v meste B. Potom preletel ďalších 40 km, tentoraz smeroval do mesta D. Tieto dve trasy sú navzájom v 90 ° uhle. Kvôli nepriaznivým poveternostným podmienkam však dostal pilot správu z riadiacej veže s informáciou, že nemôže pristáť v meste D a že by sa mal vrátiť do mesta A.

Na to, aby sa otočil z bodu C, musel by pilot otočiť o koľko stupňov doprava?

Zvážte:

hriech 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Pilot musí urobiť zákrutu o 129 ° doprava.

Analýzou obrázka vidíme, že cesta vytvára pravý trojuholník.

Nazvime uhol, ktorý hľadáme W. Uhly W a Z sú doplňujúce, to znamená, že zvierajú plytký uhol 180 °.

Teda W + Z = 180 °.

W = 180 - Z (rovnica 1)

Našou úlohou je teraz určiť uhol Z a na to použijeme jeho dotyčnicu.

tan medzera Z priestor rovný medzere 50 nad 40 tan medzera Z priestor rovný medzere 1 čiarka 25

Musíme si položiť otázku: Aký je uhol, ktorého tangens je 1,25?

Problém nám dáva tieto údaje, tan 51 ° = 1,25.

Túto hodnotu nájdete aj v trigonometrickej tabuľke alebo vo vedeckej kalkulačke pomocou funkcie:

opálenie na silu mínus 1 koniec exponenciálu

Dosadením hodnoty Z v rovnici 1 máme:

Z = 180 ° - 51 ° = 129 °

Cvičenie 6

Lúč monochromatického svetla pri prechode z jedného média do druhého trpí odchýlkou od neho. Táto zmena jeho šírenia súvisí s indexmi lomu média, ako je uvedené v nasledujúcom vzťahu:

Snellov zákon - Descartes

s a n medzera r medzera x medzera n s 2 dolným indexovým priestorom rovným s priestorom s a n medzera i medzera x medzera n s 1 dolným indexom

Kde i a r sú uhly dopadu a lomu a n1 an2, indexy lomu prostriedkov 1 a 2.

Pri dopade na povrch oddelenia medzi vzduchom a sklom lúč lúča svetla zmení svoj smer, ako je to znázornené na obrázku. Aký je index lomu skla?

Údaje: Index lomu vzduchu rovný 1.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Index lomu skla sa rovná druhá odmocnina z 3 .

Nahradenie hodnôt, ktoré máme:

priestor s a n priestor 30 stupňov znak priestor násobenie znak priestor n s vi i d r dolný koniec dolného indexu rovnaký priestor ako priestor n s r dolný index koniec dolného indexu znak multiplikačný priestor s a n priestor 60 stupňový znak priestor n s vi i d r dolný koniec dolného indexu priestor rovný čitateľovi priestor n s r priestor dolný index koniec dolného indexu znak násobenie medzera s e n medzera 60 stupňov podpísať nad menovateľom s e n medzera 30 stupňov podpísať koniec zlomku n s v i d r dolný index koniec dolného indexu priestor rovný priestoru čitateľ 1 medzera znak násobenia začiatočný štýl zobraziť čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 2 koniec zlomku koniec štýl nad menovateľom začať štýl ukázať 1 stredný koniec štýl koniec zlomok n s v i d r dolný index koniec dolného indexu priestor rovný čitateľovi priestor druhá odmocnina 3 nad menovateľom 2 koniec zlomku medzery znak násobenia priestor 2 nad 1 priestor rovný druhá odmocnina priestoru 3

Cvičenie 7

Aby pretiahol drevený kmeň do svojej dielne, zámočník priviazal lano o guľatinu a pretiahol ho desať stôp cez vodorovný povrch. Sila 40 N vedená strunou zvierala so smerom jazdy uhol 45 °. Vypočítajte prácu použitej sily.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Vykonaná práca je približne 84,85 J.

Práca je skalárne množstvo získané súčinom sily a posunutia. Ak sila nemá rovnaký smer ako posun, musíme túto silu rozložiť a uvažovať iba s komponentom v tomto smere.

V takom prípade musíme vynásobiť veľkosť sily kosínusom uhla.

Takže máme:

T priestor sa rovná F priestoru. priestor d priestor. priestor cos priestor znak 45 stupňov T priestor sa rovná priestoru 40 priestor. priestor 3 priestor. čitateľ medzery druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku T medzera rovná sa medzere 60 medzera. 2 T odmocnina priestor približne rovnaký priestor 84 čiarka 85 J priestor

Cvičenie 8

Medzi dvoma horami museli obyvatelia dvoch dedín cestovať tvrdo hore-dole. Na vyriešenie situácie sa rozhodlo, že medzi obcami A a B bude vybudovaný lanový most.

Bolo by potrebné vypočítať vzdialenosť medzi oboma dedinami podľa priamky, na ktorej by sa tiahol most. Keďže obyvatelia už poznali výšku miest a uhly stúpania, dala sa táto vzdialenosť vypočítať.

Na základe nižšie uvedeného diagramu a s vedomím, že výška miest bola 100 m, vypočítajte dĺžku mosta.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Most by mal mať dĺžku približne 157,73 m.

Dĺžka mosta je súčtom strán susediacich s danými uhlami. Volanie výšky h, máme:

Výpočet so 45 ° uhlom

tan priestor 45 stupňov znak priestor rovný priestoru čitateľ h nad menovateľom c a t e t priestor a d j a c e n t a koniec zlomku c a t e t priestor a d j a c e n t e priestor rovný priestoru čitateľ h nad menovateľom tan priestor 45 stupňov znamienko koniec zlomku c a t e t priestor a d j a c e n t e rovný priestor čitateľ medzery 100 nad menovateľom začatie štýlu zobrazenie 1 koniec štýlu koniec zlomku c a t e t medzera a d j a c e n t medzera rovná 100 medzerám m

Výpočet s uhlom 60 °

opálený priestor 60 stupňový znamienko priestor rovný priestoru čitateľ h nad menovateľom c a t e t priestor a d j a c e n t e koniec zlomku c a t e t priestor a d j a c e n t e medzera rovná sa čitateľovi priestoru h nad menovateľom tan priestor 60 znaková značka koniec zlomku c a t e t medzera a d j a c e n t e medzera rovná sa čitateľovi 100 nad menovateľ začiatočný štýl zobraziť druhú odmocninu z 3 koniec štýlu koniec zlomku c a t e t medzera a d j a c e n t e medzera približne rovnaká medzera 57 čiarka 73 m priestor

Na určenie dĺžky mosta spočítame získané hodnoty.

k o m pr i m e n t priestor sa rovná priestoru 100 priestor plus priestor 57 čiarka 73 priestor približne rovnaký priestor 157 čiarka 73 priestor m

Otázka 1

Cefet - SP

V trojuholníku ABC dole sú CF = 20 cm a BC = 60 cm. Označte merania segmentov AF a BE.

a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5

Pozri odpoveď

Odpoveď: b) 10, 20

Na určenie AF

Upozorňujeme, že AC = AF + CF, takže musíme:

AF = AC - CF (rovnica 1)

CF je dané problémom, rovné 20 cm.

AC je možné určiť pomocou 30 ° sínusového napätia.

s a n medzera 30 stupňový znakový priestor rovný čitateľovi priestoru A C nad menovateľom B C koniec zlomku medzera A C medzera rovná medzere B C medzera násobenie znamenie priestor s a n medzera znamenie 30 stupňov priestor

Problém poskytuje BC, ktorá sa rovná 60 cm.

C priestor sa rovná priestoru 60 priestorový znak násobenia priestor 1 polovica sa rovná priestoru 30 priestor c m.

Dosadením do rovnice 1 máme:

A F priestor sa rovná priestoru A C priestor mínus priestor C F priestorový priestor A F priestor sa rovná priestoru 30 priestor mínus priestor 20 priestor sa rovná priestoru 10 priestor c m

Na určenie BE

Prvý postreh:

Overujeme, že postava vo vnútri trojuholníka je obdĺžnik, a to z dôvodu pravých uhlov určených na obrázku.

Preto sú ich strany rovnobežné.

Druhé pozorovanie:

Segment BE vytvára pravouhlý trojuholník s uhlom 30 °, kde: výška sa rovná AF, ktorý sme práve určili, a BE je prepona.

Vykonanie výpočtu:

Na stanovenie BE používame 30 ° sínus

s a n medzera 30 stupňový znakový priestor rovný 10 čitateľovi medzera nad menovateľom B E koniec zlomkovej medzery B medzera E medzera rovná 10 čitateľovi medzera nad menovateľom s a n medzera 30 značka stupňa koniec zlomku medzera B E medzera rovná sa medzera čitateľ 10 nad menovateľom začatie štýlu zobraziť 1 stredný koniec štýlu koniec zlomok B E medzera rovná sa medzera 20 medzera c m

otázka 2

EPCAR-MG

Letún vzlieta z bodu B pod konštantným sklonom 15 ° k vodorovnej rovine. 2 km od B je vertikálny priemet C najvyššieho bodu D 600 m vysokého pohoria, ako je to znázornené na obrázku.

Údaje: cos 15 ° = 0,97; hriech 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27

Je správne povedať, že:

a) Lietadlo sa nezrazí s pílou skôr, ako dosiahne výšku 540 m.
b) Vo výške 540 m dôjde k zrážke lietadla s pílou.
c) Lietadlo sa zrazí s pílou v D.
d) Ak lietadlo vzlietne 220 m pred B pri zachovaní rovnakého sklonu, nedôjde ku kolízii lietadla s pílou.

Pozri odpoveď

Odpoveď: b) Vo výške 540 m dôjde k zrážke lietadla s pílou.

Najskôr je potrebné použiť rovnaký násobok jednotky merania dĺžky. Preto pôjdeme 2 km až 2 000 m.

Po rovnakých počiatočných letových podmienkach môžeme predpovedať výšku, v ktorej bude rovina vo vertikálnom priemete bodu C.

Pomocou 15 ° dotyčnice a definovaním výšky ako h máme:

tan medzera 15 stupňov znak priestor rovný priestoru čitateľ h medzera nad menovateľom 2000 koniec zlomku medzera h priestor rovný medzere 2000 znak násobenia medzera tan medzera 15. medzera medzera h medzera rovná priestor 2000 medzera násobenie znak medzera 0 čiarka 27 medzera medzera h priestor rovný medzera 540 medzera m

otázka 3

NEPRIATEĽ 2018

Na ozdobenie priameho kruhového valca sa použije obdĺžnikový pás priehľadného papiera, na ktorom je tučne nakreslená uhlopriečka, ktorá so spodným okrajom tvorí 30 °. Polomer základne valca meria 6 / π cm a pri navíjaní pásu sa získa čiara v tvare špirály, ako je to znázornené na obrázku.

Hodnota merania výšky valca v centimetroch je:

a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72

Pozri odpoveď

Odpoveď: b) 24√3

Na obrázku sme si všimli, že okolo valca bolo urobených 6 závitov. Keďže ide o rovný valec, kdekoľvek v jeho výške budeme mať ako základ kruh.

Na výpočet miery základne trojuholníka.

Dĺžka kruhu môže byť určená vzorcom:

Kde r je polomer e rovný typografická 6 na rovnej pí ,máme:

2 medzera. rovný priestor pi priestor. medzera 6 medzera nad rovnou pi

Ako vyzerá 6 kôl:

6 priestoru. priestor 2 priestor. rovný priestor pi priestor. priestor 6 nad rovnou pí priestor sa rovná priestoru 72 priestor

Na výpočet výšky môžeme použiť 30 ° opálenie.

opálený priestor 30 stupňový znak priestor rovný priestoru čitateľ a l t u r a medzera nad menovateľom b a s a koniec zlomku medzera priestor a l t u r a priestor rovný priestoru b a s a násobenie priestoru znamenie priestor tan priestor 30 stupňov znak priestor a l t u r a priestor rovný priestoru 72 priestor znak násobenia priestor čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku a l t u r a priestor rovný priestoru 24 druhá odmocnina z 3

otázka 4

ENEM 2017

Paprsky slnečného žiarenia dopadajú na povrch jazera pod uhlom X s jeho povrchom, ako je to znázornené na obrázku.

Za určitých podmienok možno predpokladať, že svetelná intenzita týchto lúčov na povrchu jazera je daná približne hodnotou I (x) = k. sin (x), k je konštanta a za predpokladu, že X je medzi 0 ° a 90 °.

Keď x = 30 °, intenzita svetla sa zníži na koľko percent z jeho maximálnej hodnoty?

A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%

Pozri odpoveď

Odpoveď: B) 50%

Nahradením sínusovej hodnoty 30 ° vo funkcii získame: