Plocha plochej figúry predstavuje rozsah predĺženia figúry v rovine. Ako ploché postavy môžeme spomenúť okrem iných aj trojuholník, obdĺžnik, kosoštvorec, lichobežník, kruh.
Pomocou nasledujúcich otázok si overte svoje vedomosti o tomto dôležitom predmete geometrie.
Vyriešené problémy súťaže
Otázka 1
(Cefet / MG - 2016) Štvorcová plocha webu musí byť rozdelená na štyri rovnaké časti, tiež štvorcové a, v jednom z nich musí byť udržiavaná pôvodná lesná rezervácia (vyliahnutá oblasť), ako je to znázornené na obrázku a nasledovať.
Vedieť, že B je stredom segmentu AE a C je stredom segmentu EF, šrafovanej oblasti vm2, dajte mi
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2 500,0.
Správna alternatíva: c) 1562.5.
Pri pozorovaní obrázku si všimneme, že šrafovaná plocha zodpovedá ploche štvorca so stranou 50 m mínus plocha trojuholníkov BEC a CFD.
Meranie strany BE, trojuholníka BEC, sa rovná 25 m, pretože bod B rozdeľuje stranu na dva zhodné segmenty (stred segmentu).
To isté sa deje so stranami EC a CF, to znamená, že ich merania sú tiež rovné 25 m, pretože bod C je stredom segmentu EF.
Môžeme teda vypočítať plochu trojuholníkov BEC a CFD. Ak vezmeme do úvahy dve strany známe ako základňa, druhá strana sa bude rovnať výške, pretože trojuholníky sú obdĺžniky.
Pri výpočte plochy štvorca a trojuholníkov BEC a CFD máme:
Preto sa vyliahnutá plocha, v m2, meria 1562,5.
otázka 2
(Cefet / RJ - 2017) Štvorec so stranou x a rovnostranný trojuholník so stranou y majú oblasti rovnakej miery. Dá sa teda povedať, že pomer x / y sa rovná:
Správna alternatíva: .
Informácie uvedené v probléme spočívajú v tom, že oblasti sú rovnaké, to znamená:
Plocha trojuholníka sa zistí vynásobením základného merania výškovým meraním a vydelením výsledku 2. Pretože trojuholník je rovnostranný a strana rovná y, je jeho hodnota výšky daná vzťahom:
Preto sa dá povedať, že pomer x / y sa rovná .
otázka 3
(IFSP - 2016) Verejné námestie v tvare kruhu má polomer 18 metrov. Vo svetle vyššie uvedeného označte alternatívu, ktorá predstavuje vašu oblasť.
a) 1 017,36 m2
b) 1 254,98 m2
c) 1 589,77 m2
d) 1 698,44 m2
e) 1 710,34 m2
Správna alternatíva: a) 1 017, 36 m2.
Aby sme našli plochu štvorca, musíme použiť vzorec pre plochu kruhu:
A = π.R2
Nahradením hodnoty polomeru a uvažovaním π = 3,14 nájdeme:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Preto je štvorcová plocha 1 017, 36 m2.
otázka 4
(IFRS - 2016) Obdĺžnik má rozmery xay, ktoré sú vyjadrené rovnicami x2 = 12 a (r - 1)2 = 3.
Obvod a plocha tohto obdĺžnika sú v tomto poradí
a) 6√3 + 2 a 2 + 6√3
b) 6√3 a 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 a 12
d) 6 a 2√3
e) 6√3 + 2 a 2√3 + 6
Správna alternatíva: e) 6√3 + 2 a 2√3 + 6.
Najskôr vyriešime rovnice, aby sme našli hodnoty xay:
X2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(r - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Obvod obdĺžnika sa bude rovnať súčtu všetkých strán:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Ak chcete zistiť oblasť, stačí vynásobiť x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Preto je obvod a plocha obdĺžnika 6√3 + 2, respektíve 2√3 + 6.
otázka 5
(Apprentice Sailor - 2016) Analyzujte nasledujúci obrázok:
Ak viete, že EP je polomer stredného polkruhu v E, ako je to znázornené na obrázku vyššie, určite hodnotu najtmavšej oblasti a skontrolujte správnu voľbu. Údaje: počet π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Správna alternatíva: b) 12 cm2.
Najtmavšia oblasť sa zistí pridaním oblasti polkruhu k ploche trojuholníka ABD. Začnime výpočtom plochy trojuholníka. Upozorňujeme, že trojuholník je obdĺžnik.
Zavolajme AD stranu x a vypočítajme jej mieru pomocou Pytagorovej vety, ako je uvedené nižšie:
52= x2 + 32
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Ak poznáme mieru na strane AD, môžeme vypočítať plochu trojuholníka:
Stále musíme vypočítať plochu polkruhu. Upozorňujeme, že jeho polomer sa bude rovnať polovici rozmeru na strane AD, teda r = 2 cm. Oblasť polkruhu sa bude rovnať:
Najtemnejšiu oblasť nájdete takto: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Preto je hodnota najtmavšej oblasti 12 cm2.
otázka 6
(Enem - 2016) Muž, otec dvoch detí, chce kúpiť dva pozemky s výmerami rovnakej miery, jeden pre každé dieťa. Jeden z navštívených pozemkov je už vymedzený a hoci nemá konvenčný formát (ako je znázornené na obrázku B), potešil najstaršieho syna, a preto bol zakúpený. Najmladší syn má architektonický projekt domu, ktorý chce postaviť, ale na to potrebuje terénu obdĺžnikového tvaru (ako je znázornené na obrázku A), ktorého dĺžka je o 7 m dlhšia ako šírka.
Aby uspokojil najmladšieho syna, musí tento pán nájsť obdĺžnikový pozemok, ktorého rozmery v metroch, dĺžke a šírke sú rovnaké
a) 7,5 a 14,5
b) 9,0 a 16,0
c) 9,3 a 16,3
d) 10,0 a 17,0
e) 13,5 a 20,5
Správna alternatíva: b) 9.0 a 16.0.
Pretože plocha obrázka A sa rovná ploche obrázka B, najskôr si túto plochu spočítajme. Z tohto dôvodu poďme rozdeliť obrázok B, ako je znázornené na obrázku nižšie:
Upozorňujeme, že pri delení figúry máme dva pravé trojuholníky. Preto sa plocha obrázka B bude rovnať súčtu plôch týchto trojuholníkov. Pri výpočte týchto oblastí máme:
Pretože obrázok A je obdĺžnik, jeho plocha sa zistí takto:
THETHE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Rovnicu oblasti obrázka A s hodnotou zistenou pre oblasť obrázka B nájdeme:
X2 + 7x = 144
X2 + 7x - 144 = 0
Vyriešime rovnicu 2. stupňa pomocou Bhaskarovho vzorca:
Pretože miera nemôže byť záporná, uvažujme iba hodnotu rovnú 9. Preto bude šírka pozemku na obrázku A rovná 9 m a dĺžka 16 m (9 + 7).
Preto musí byť dĺžka a šírka rovná 9,0 a 16,0.
otázka 7
(Enem - 2015) Spoločnosť vyrábajúca mobilné telefóny má dve antény, ktoré budú nahradené novou, výkonnejšou. Oblasti pokrytia antén, ktoré budú nahradené, sú kruhy s polomerom 2 km, ktorých obvod je dotyčnicový k bodu O, ako je znázornené na obrázku.
Bod O označuje polohu novej antény a jej oblasť pokrytia bude kruh, ktorého obvod bude zvonka dotýkať obvodov menších oblastí pokrytia. Inštaláciou novej antény sa meranie oblasti pokrytia v kilometroch štvorcových rozšírilo o
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Správna alternatíva: a) 8 π.
Zväčšenie merania oblasti pokrytia sa zistí zmenšením oblastí menších kruhov väčšieho kruhu (s odkazom na novú anténu).
Pretože sa obvod novej oblasti pokrytia externe dotýka menších obvodov, bude sa jej polomer rovnať 4 km, ako je uvedené na obrázku nižšie:
Vypočítajme plochy A1 a2 menších kruhov a oblasti A3 z väčšieho kruhu:
THE1 = A2 = 22. π = 4 π
THE3 = 42.π = 16 π
Meranie zväčšenej oblasti sa zistí vykonaním:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Inštaláciou novej antény sa preto miera oblasti pokrytia v štvorcových kilometroch zvýšila o 8 π.
otázka 8
(Enem - 2015) Diagram I zobrazuje konfiguráciu basketbalového ihriska. Sivé lichobežníky, ktoré sa nazývajú karbóny, zodpovedajú zakázaným oblastiam.
Cieľom je splniť pokyny ústredného výboru Medzinárodnej basketbalovej federácie (Fiba) z roku 2010, ktorý zjednotil označenia rôznych zliatin sa predpokladala úprava v karabínach kurtov, ktoré by sa stali obdĺžnikmi, ako je znázornené v schéme. II.
Po vykonaní plánovaných zmien došlo k zmene v oblasti obsadenej každým vozíkom, čo zodpovedá písmenu a)
a) nárast o 5800 cm2.
b) 75 400 cm zväčšenie2.
c) nárast o 214 600 cm2.
d) pokles o 63 800 cm2.
e) pokles o 272 600 cm2.
Správna alternatíva: a) nárast o 5800 cm².
Ak chcete zistiť, aká bola zmena v obsadenej oblasti, vypočítajme plochu pred a po zmene.
Pri výpočte schémy I použijeme vzorec pre lichobežníkovú plochu. V diagrame II použijeme vzorec pre plochu obdĺžnika.
Zmena oblasti potom bude:
A = AII - AJa
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Preto po vykonaní plánovaných úprav došlo k zmene oblasti, ktorú zaberá každý kamión, čo zodpovedá nárastu o 5800 cm².
Navrhované cvičenia (s rozlíšením)
otázka 9
Ana sa rozhodla postaviť vo svojom dome obdĺžnikový bazén s rozmermi 8 m na základni a 5 m na výšku. Všade okolo, v tvare lichobežníka, bola naplnená trávou.
S vedomím, že výška lichobežníka je 11 ma jeho základne sú 20 ma 14 m, aká je plocha časti, ktorá bola naplnená trávou?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Správna alternatíva: c) 147 m2.
Keď je obdĺžnik, ktorý predstavuje skupinu, vložený do väčšej figúry, do lichobežníka, začnime výpočtom plochy vonkajšej figúry.
Plocha lichobežníka sa počíta pomocou vzorca:
Kde,
B je mierou najväčšej bázy;
b je miera najmenšej bázy;
h je výška.
Nahradením údajov výpisu vo vzorci máme:
Teraz vypočítajme plochu obdĺžnika. Na to musíme základňu iba vynásobiť výškou.
Aby sme našli oblasť pokrytú trávou, musíme od trapézovej plochy odpočítať priestor, ktorý zaberá bazén.
Preto bola plocha naplnená trávou 147 m2.
Pozri tiež: Trapézová oblasť
otázka 10
Pre renováciu strechy svojho skladu sa Carlos rozhodol kúpiť koloniálne škridle. Pri použití tohto typu strechy je potrebných 20 kusov na každý meter štvorcový strechy.
Ak je strecha miesta tvorená dvoma obdĺžnikovými doskami, ako na obrázku vyššie, koľko dlaždíc musí Carlos kúpiť?
a) 12000 dlaždíc
b) 16 000 dlaždíc
c) 18 000 dlaždíc
d) 9600 dlaždíc
Správna alternatíva: b) 16 000 dlaždíc.
Kryt skladu je vyrobený z dvoch obdĺžnikových dosiek. Preto musíme vypočítať plochu obdĺžnika a vynásobiť 2.
Preto je celková plocha strechy 800 m.2. Ak každý meter štvorcový potrebuje 20 dlaždíc, pomocou jednoduchého pravidla troch vypočítame, koľko dlaždíc vyplní strechu každého skladu.
Preto bude potrebné kúpiť 16-tisíc dlaždíc.
Pozri tiež: Obdĺžniková oblasť
otázka 11
Marcia by bola rada, keby dve identické drevené vázy zdobili vchod do jej domu. Pretože si mohla kúpiť iba jednu zo svojich obľúbených položiek, rozhodla sa najať stolára na výrobu ďalšej vázy s rovnakými rozmermi. Váza musí mať štyri strany v tvare rovnoramenného lichobežníka a základňa je štvorec.
Koľko štvorcových metrov dreva bude potrebných na rozmnoženie tohto dielu, bez ohľadu na jeho hrúbku?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Správna alternatíva: d) 0,3121 m2.
Rovnoramenný trapéz je typ, ktorý má rovnaké strany a rôzne veľké základne. Na obrázku máme nasledujúce merania lichobežníka na každej strane plavidla:
Menšia základňa (b): 19 cm;
Väčšia základňa (B): 27 cm;
Výška (v): 30 cm.
S hodnotami v ruke vypočítame lichobežníkovú plochu:
Keďže nádobu tvoria štyri lichobežníky, nájdenú oblasť musíme vynásobiť štyrmi.
Teraz musíme vypočítať základňu vázy, ktorú tvorí štvorec 19 cm.
Sčítaním vypočítaných plôch dospejeme k celkovej ploche dreva, ktorá sa má použiť na stavbu.
Je však potrebné uviesť plochu v metroch štvorcových.
Preto bez zohľadnenia hrúbky dreva bolo potrebných 0,3121 m2 materiálu na výrobu vázy.
Pozri tiež: Plocha štvorca
otázka 12
Na uľahčenie výpočtu počtu ľudí, ktorí sa zúčastňujú na verejných podujatiach, sa všeobecne predpokladá, že jeden meter štvorcový je obsadený štyrmi ľuďmi.
Na oslavu výročia mesta si mestská samospráva najala kapelu, ktorá by hrala na námestí v strede, ktoré má rozlohu 4000 m.2. Koľko ľudí sa udalosti zúčastnilo, s vedomím, že námestie bolo plné?
a) 16 tisíc ľudí.
b) 32 tisíc ľudí.
c) 12 tisíc ľudí.
d) 40 tisíc ľudí.
Správna alternatíva: a) 16 tisíc ľudí.
Štvorec má štyri rovnaké strany a jeho plocha sa vypočíta podľa vzorca: A = L x L.
ak v 1 m2 je obsadená štyrmi ľuďmi, takže štvornásobok celkovej plochy štvorca nám dáva odhad ľudí, ktorí sa udalosti zúčastnili.
Na akcii propagovanej radnicou sa tak zúčastnilo 16-tisíc ľudí.
Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:
- Plochy plochých postáv
- Geometrické tvary
- Pytagorova veta - Cvičenia
