THE teória pravdepodobnosti je odbor matematiky, ktorý študuje experimenty alebo náhodné javy a prostredníctvom neho je možné analyzovať šance, že k určitej udalosti dôjde.
Pri výpočte pravdepodobnosti spájame určitú mieru spoľahlivosti, že dôjde k možným výsledkom experimentov, ktorých výsledky nemožno vopred určiť.
Týmto spôsobom výpočet pravdepodobnosti spája výskyt výsledku s hodnotou, ktorá sa pohybuje od 0 do 1, a čím je výsledok bližšie k 1, tým väčšia je istota jeho výskytu.
Napríklad môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že si človek kúpi výherný žreb, alebo poznáme pravdepodobnosť, že pár bude mať 5 detí, všetko chlapcov.
náhodný experiment
Náhodný experiment je taký, ktorý nedokáže predvídať, aký výsledok sa zistí pred jeho uskutočnením.
Ak sa udalosti tohto typu opakujú za rovnakých podmienok, môžu priniesť rôzne výsledky, a táto nestabilita sa pripisuje náhode.
Príkladom náhodného experimentu je rolovanie nestrannej matrice (matrice, ktorá má homogénne rozloženie hmoty) smerom nahor. Pri páde nie je možné s určitosťou predpovedať, ktorá zo 6 tvárí bude smerovať nahor.
Pravdepodobnostný vzorec
V prípade náhodného javu je pravdepodobnosť výskytu udalosti rovnako pravdepodobná.
Preto môžeme nájsť pravdepodobnosť výskytu daného výsledku delením počtu priaznivých udalostí a celkového počtu možných výsledkov:
Byť:
p (A): pravdepodobnosť výskytu udalosti A
o): počet prípadov, ktoré nás zaujímajú (udalosť A)
n (Ω): celkový počet možných prípadov
Príklady
1) Ak hodíme perfektnou matricou, aká je pravdepodobnosť, že sa bude hodiť číslo menšie ako 3?
Riešenie
Ako dokonalá forma má všetkých 6 tvárí rovnakú šancu padnúť lícom nahor. Použime teda vzorec pravdepodobnosti.
Z tohto dôvodu musíme vziať do úvahy, že máme 6 možných prípadov (1, 2, 3, 4, 5, 6) a že udalosť „z počtu menšieho ako 3“ má 2 možnosti, to znamená z počtu 1 alebo číslo 2. Takže máme:
2) Balíček kariet pozostáva z 52 kariet rozdelených do štyroch farieb (srdcia, palice, diamanty a piky) s 13 kartami každej farby. Ak teda náhodne vytiahnete kartu, aká je pravdepodobnosť, že karta vyjde z klubovej farby?
Riešenie
Pri náhodnom ťahaní karty nemôžeme predvídať, čo táto karta bude. Toto je teda náhodný experiment.
V takom prípade počet kariet zodpovedá počtu možných prípadov a máme 13 klubov, ktoré predstavujú počet priaznivých udalostí.
Dosadením týchto hodnôt do pravdepodobnostného vzorca máme:
Vzorový priestor
zastúpená listom Ω, vzorový priestor zodpovedá množine možných výsledkov získaných z náhodného experimentu.
Napríklad keď náhodne vyberiete kartu z balíčka, vzorový priestor zodpovedá 52 kartám, ktoré tvoria tento balíček.
Rovnako tak vzorový priestor pri jednom valcovaní matrice je šesť tvárí, ktoré ju tvoria:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 a 6}.
Druhy udalostí
Udalosť je ľubovoľná podmnožina vzorového priestoru náhodného experimentu.
Ak je udalosť úplne rovnaká ako jej vzorový priestor, nazýva sa a správna udalosť. Naopak, ak je udalosť prázdna, nazýva sa a nemožná udalosť.
Príklad
Predstavte si, že máme škatuľku s guľkami očíslovanými od 1 do 20 a že všetky guľôčky sú červené.
Udalosť „nakreslite červenú guľu“ je bezpečná, pretože všetky loptičky v krabičke sú tejto farby. Udalosť „nakresliť číslo väčšie ako 30“ je nemožná, pretože najvyšší počet v poli je 20.
Kombinatorická analýza
V mnohých situáciách je možné priamo zistiť počet možných a priaznivých udalostí v náhodnom experimente.
Pri niektorých problémoch však budete musieť tieto hodnoty vypočítať. V takom prípade môžeme použiť permutačné, usporiadanie a kombinované vzorce podľa situácie navrhnutej v otázke.
Ďalšie informácie o téme nájdete na adrese:
- Kombinatorická analýza
- Cvičenia kombinatorickej analýzy
- Základný princíp počítania
- Permutácia
Príklad
(EsPCEx - 2012) Pravdepodobnosť získania čísla deliteľného 2 pri náhodnom výbere jednej z permutácií číslic 1, 2, 3, 4, 5 je
Riešenie
V takom prípade musíme zistiť počet možných udalostí, teda koľko rôznych čísel dostaneme zmenou poradia daných 5 číslic (n = 5).
Pretože v tomto prípade poradie číslic vytvára rôzne čísla, použijeme permutačný vzorec. Preto máme:
Možné udalosti:
Preto s 5 číslicami môžeme nájsť 120 rôznych čísel.
Na výpočet pravdepodobnosti ešte musíme zistiť počet priaznivých udalostí, ktoré v tomto prípade je nájsť číslo deliteľné 2, čo sa stane, keď bude posledná číslica čísla 2 alebo 4.
Ak vezmeme do úvahy, že na poslednej pozícii máme iba tieto dve možnosti, potom budeme musieť vymeniť ďalšie 4 polohy, ktoré tvoria číslo, takto:
Priaznivé udalosti:
Pravdepodobnosť sa zistí vykonaním:
Čítajte tiež:
- Pascalov trojuholník
- Komplexné čísla
- Matematika v enem
Cvičenie vyriešené
1) PUC / RJ - 2013
Ak a = 2n + 1 s n ∈ {1, 2, 3, 4}, potom pravdepodobnosť čísla The byť párom je
do 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Keď nahradíme každú možnú hodnotu n do výrazu pre číslo a, všimneme si, že výsledkom bude vždy nepárne číslo.
Preto „byť párnym číslom“ je nemožná udalosť. V takom prípade sa pravdepodobnosť rovná nule.
Alternatíva: e) 0
2) UPE - 2013
V skupine kurzu španielčiny plánujú traja ľudia výmenný program v Čile a sedem v Španielsku. Spomedzi týchto desiatich ľudí boli dvaja vybraní na pohovor, ktorý bude čerpať štipendiá na štúdium v zahraničí. Pravdepodobnosť, že títo dvaja vyvolení ľudia patria do skupiny tých, ktorí majú v úmysle uskutočniť výmenný pobyt v Čile, je
Najprv si nájdeme počet možných situácií. Pretože výber 2 osôb nezávisí od poradia, na určenie počtu možných prípadov použijeme kombinovaný vzorec, tj:
Existuje teda 45 spôsobov, ako si vybrať 2 ľudí zo skupiny 10 ľudí.
Teraz musíme vypočítať počet priaznivých udalostí, to znamená, že dvaja vylosovaní chcú uskutočniť výmenu v Čile. Opäť použijeme kombinačný vzorec:
Existujú teda 3 spôsoby, ako si vybrať 2 ľudí z 3, ktorí chcú študovať v Čile.
Z nájdených hodnôt môžeme vypočítať požadovanú pravdepodobnosť dosadenia do vzorca:
Alternatíva: b)
Prečítajte si viac o niektorých príbuzných predmetoch:
- Newtonov dvojčlen
- Pravdepodobné cvičenia (ľahké)
- Pravdepodobnostné cvičenia
- Štatistický
- Štatistika - cvičenia
- Matematické vzorce
