Vy číselné množiny zahŕňajú tieto sady: Prírodné (ℕ), Celé čísla (ℤ), Rationals (ℚ), Iracionálne (I), Skutočné (ℝ) a Komplexy (ℂ).
Využite komentované cvičenia a overte si svoje vedomosti o tomto dôležitom predmete matematiky.
Otázka 1
Ktoré tvrdenie uvedené nižšie je pravdivé?
a) Každé celé číslo je racionálne a každé skutočné číslo je celé číslo.
b) Priesečník množiny racionálnych čísel so súpravou iracionálnych čísel má 1 prvok.
c) číslo 1.83333... je racionálne číslo.
d) Delenie dvoch celých čísel je vždy celé číslo.
Správna alternatíva: c) Číslo 1.83333... je racionálne číslo.
Pozrime sa na každé z vyhlásení:
a) Falošné. Každé celé číslo je v skutočnosti racionálne, pretože sa dá napísať ako zlomok. Napríklad číslo -7, čo je celé číslo, je možné zapísať ako zlomok ako -7/1. Nie každé reálne číslo je však celé číslo, napríklad 1/2 nie je celé číslo.
b) Falošné. Množina racionálnych čísel nemá žiadne spoločné číslo s iracionálnymi, pretože reálne číslo je buď racionálne alebo iracionálne. Preto je križovatka prázdna množina.
c) Pravda. Číslo 1.83333... je to periodická desatina, pretože číslica 3 sa opakuje nekonečne. Toto číslo možno zapísať ako zlomok ako 11/6, takže ide o racionálne číslo.
d) Falošné. Napríklad 7 delené 3 sa rovná 2,33333..., čo je periodické desatinné miesto, takže nejde o celé číslo.
otázka 2
Hodnota výrazu uvedeného nižšie, keď a = 6 a b = 9, je:
a) nepárne prirodzené číslo
b) číslo, ktoré patrí do množiny iracionálnych čísel
c) nie je skutočné číslo
d) celé číslo, ktorého modul je väčší ako 2
Správna alternatíva: d) celé číslo, ktorého modul je väčší ako 2.
Najskôr nahraďme písmená označenými hodnotami a vyriešime výraz:
Všimnite si, že (-6)2 sa líši od - 62, prvú operáciu je možné vykonať ako: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Bez zátvoriek je iba 6 na druhú, tj - 62 = - (6.6) = -36.
V pokračovaní uznesenia máme:
Upozorňujeme, že keďže index koreňa je nepárne číslo (kubický koreň), v množine reálnych čísel je koreň záporného čísla. Keby bol koreňový index párne číslo, výsledkom by bolo komplexné číslo.
Poďme si teraz analyzovať každú z ponúkaných možností:
Možnosť The je nesprávne, pretože odpoveďou je záporné číslo, ktoré nie je súčasťou množiny prirodzených čísel.
Číslo - 3 nie je nekonečné neperiodické desatinné miesto, preto nie je iracionálne, preto písmeno B nie je to ani správne riešenie.
List ç je tiež nesprávne, pretože číslo - 3 je číslo patriace do množiny reálnych čísel.
Správnou voľbou môže byť iba písmeno d a vlastne výsledkom výrazu je celé číslo a modulo -3 je 3, ktoré je väčšie ako 2.
otázka 3
Ktorá alternatíva predstavuje v množinách (A a B) v tabuľke nižšie inklúzny vzťah?
Správna alternatíva: a)
Alternatívne „a“ je jediné, v ktorom je jedna sada zahrnutá do inej. Sada A obsahuje sadu B alebo sada B je súčasťou A.
Ktoré výroky sú teda správne?
I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I a II.
b) I a III.
c) I a IV.
d) II a III.
e) II a IV
Správna alternatíva: d) II a III.
I - nesprávne - A nie je obsiahnuté v B (A Ȼ B).
II - Správne - B je obsiahnuté v A (B C A).
III - správne - A obsahuje B (B Ɔ A).
IV - Nesprávne - B neobsahuje A (B ⊅ A).
otázka 4
Máme množinu A = {1, 2, 4, 8 a 16} a množinu B = {2, 4, 6, 8 a 10}. Kde sa podľa alternatív nachádzajú prvky 2, 4 a 8?
Správna alternatíva: c).
Prvky 2, 4 a 8 sú spoločné pre obidve množiny. Preto sa nachádzajú v podmnožine A ∩ B (priesečník A s B).
otázka 5
Vzhľadom na množiny A, B a C, ktorý obrázok predstavuje A U (B ∩ C)?
Správna alternatíva: d)
Jediná alternatíva, ktorá spĺňa počiatočnú podmienku B ∩ C (kvôli zátvorkám) a neskôr spojenie s A.
otázka 6
Uskutočnil sa prieskum zameraný na zistenie nákupných návykov spotrebiteľov v súvislosti s tromi výrobkami. Výskum priniesol nasledujúce výsledky:
- 40% kúpiť produkt A.
- 25% kúpiť produkt B.
- 33% kúpiť produkt C.
- 20% nakupuje produkty A a B.
- 5% nakupuje produkty B a C.
- 19% kupuje produkty A a C.
- 2% kupujú všetky tri produkty.
Na základe týchto výsledkov odpovedzte:
a) Koľko percent respondentov si nekúpi žiadny z týchto produktov?
b) Aké percento respondentov kupuje produkt A a B a nekúpi produkt C?
c) Koľko percent respondentov kupuje aspoň jeden z produktov?
Odpovede:
a) 44% respondentov nekonzumuje žiadny z troch výrobkov.
b) 18% ľudí, ktorí konzumujú oba produkty (A aj B), nekonzumujú produkt C.
c) 56% respondentov konzumuje aspoň jeden z výrobkov.
Aby sme tento problém vyriešili, urobme si diagram, ktorý situáciu lepšie vizualizuje.
Vždy musíme začať na križovatke troch množín. Potom zahrnieme hodnotu križovatky dvoch sád a nakoniec percento ľudí, ktorí kupujú iba jednu značku produktu.
Poznamenáva sa, že percento ľudí, ktorí konzumujú dva výrobky, zahŕňa aj percento ľudí, ktorí konzumujú tieto tri produkty.
Preto v diagrame uvádzame percento tých, ktorí konzumujú iba dva výrobky. Aby sme to dosiahli, musíme odpočítať percento tých, ktorí konzumujú tieto tri produkty, od tých, ktorí konzumujú dva.
Napríklad uvedené percento, ktoré konzumuje produkt A a produkt B, je 20%, táto hodnota však zahŕňa 2% súvisiace s tým, kto konzumuje tieto tri produkty.
Odčítaním týchto hodnôt, tj. 20% - 2% = 18%, zistíme percento spotrebiteľov, ktorí kupujú iba výrobky A a B.
Po zvážení týchto výpočtov bude diagram opísanej situácie taký, ako je znázornené na obrázku nižšie:
Na základe tohto diagramu môžeme teraz pokračovať v odpovedaní na navrhované otázky.
) Percento tých, ktorí si nekúpia žiadny produkt, sa rovná celku, teda 100% okrem toho, že akýkoľvek produkt konzumujú. Musíme teda urobiť nasledujúci výpočet:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Čoskoro 44% respondentov nekonzumuje žiaden z troch produktov.
B) Percento spotrebiteľov, ktorí kupujú produkt A a B a nekupujú produkt C, sa zistí odpočítaním:
20 - 2 = 18%
Preto 18% ľudí, ktorí konzumujú oba produkty (A aj B), nekonzumujú produkt C..
ç) Ak chcete zistiť percento ľudí, ktorí konzumujú aspoň jeden z produktov, stačí spočítať všetky hodnoty v diagrame. Takže máme:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Preto Aspoň jeden z produktov konzumuje 56% respondentov.
otázka 7
(Enem / 2004) Výrobca kozmetiky sa rozhodol vyrobiť tri rôzne katalógy svojich výrobkov zameraných na rôzne publikum. Pretože niektoré produkty budú obsiahnuté vo viacerých katalógoch a budú zaberať celú stránku, rozhodol sa znížiť počet výdavkov na tlačené originály. Katalógy C1, C2 a C3 budú mať 50, 45 a 40 strán. Pri porovnaní návrhov z každého katalógu zistí, že C1 a C2 budú mať spoločných 10 strán; C1 a C3 budú mať 6 spoločných stránok; C2 a C3 budú mať 5 spoločných stránok, z toho 4 tiež na C1. Na základe zodpovedajúcich výpočtov výrobca dospel k záveru, že na zostavenie troch katalógov bude potrebný celkový počet tlačených originálov, ktorý sa rovná:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Správna alternatíva: c) 118
Túto otázku môžeme vyriešiť zostrojením diagramu. Začnime najskôr stránkami, ktoré sú spoločné pre tri katalógy, tj so 4 stranami.
Odtiaľ označíme hodnoty odčítaním tých, ktoré už boli zaúčtované. Schéma bude teda uvedená nižšie:
Hodnoty boli nájdené pomocou nasledujúcich výpočtov:
- Priesečník C1, C2 a C3: 4
- Priesečník C2, C3: 5 - 4 = 1
- Priesečník C1 a C3: 6 - 4 = 2
- Priesečník C1 a C2: 10 - 4 = 6
- Iba C1: 50 - 12 = 38
- Iba C2: 45 - 11 = 34
- Iba C3: 40 - 7 = 33
Ak chcete zistiť počet stránok, stačí pridať všetky tieto hodnoty, tj:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
otázka 8
(Enem / 2017) V tomto modeli teplomera filé zaznamenávajú minimálnu a maximálnu teplotu predchádzajúceho dňa a sivé zaoblenia zaznamenávajú aktuálnu teplotu okolia, to znamená v čase čítania teplomer.
Má teda dva stĺpce. Vľavo sú čísla vzostupne, zhora nadol, od -30 ° C do 50 ° C. V stĺpci napravo sú čísla zoradené vzostupne, zdola nahor, od -30 ° C do 50 ° C.
Čítanie sa vykonáva nasledovne:
- minimálna teplota je označená spodnou úrovňou čierneho zaoblenia v ľavom stĺpci.
- maximálna teplota je označená spodnou úrovňou čierneho zaoblenia v pravom stĺpci.
- aktuálna teplota je označená najvyššou úrovňou v sivých zaobleniach v dvoch stĺpcoch.
Aká je najbližšia maximálna teplota zaznamenaná na tomto teplomeri?
a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C
Správna alternatíva: e) 19 ° C
Ak chcete problém vyriešiť, prečítajte si mierku v pravom stĺpci čierneho zaoblenia, ktorá predstavuje maximálnu teplotu.
otázka 9
(Enem / 2017) Výsledok volebného prieskumu o preferencii voličov vo vzťahu k dvom kandidátom bol predstavený pomocou grafu 1.
Keď bol tento výsledok publikovaný v novinách, graf 1 sa počas rozloženia zostrihal, ako je to znázornené v grafe 2.
Aj keď sú uvádzané hodnoty správne a šírka stĺpcov rovnaká, veľa čitateľov kritizoval formát grafu 2 vytlačený v novinách a tvrdil, že kandidátovi došlo k vizuálnemu poškodeniu B. Rozdiel medzi výškovými pomermi stĺpca B k stĺpcu A v grafoch 1 a 2 je:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Správna alternatíva: e) 8/35
Aby sme tento problém vyriešili, najskôr musíme nájsť pomer výšky stĺpca B k stĺpcu A v dvoch grafoch. Tieto pomery sa zistia spočítaním počtu dielikov v každom stĺpci.
Upozorňujeme, že v grafe 1 je stĺpec A rozdelený na 7 rovnakých „častí“, zatiaľ čo stĺpec B na 3. V grafe 2 je stĺpec A rozdelený na 5 rovnakých „častí“ a stĺpec B iba na 1.
Preto môžu byť zlomky, ktoré predstavujú pomery výšky stĺpca B k stĺpcu A, označené symbolom
Teraz stačí vyriešiť odčítanie medzi týmito dvoma zlomkami, takže máme:
otázka 10
(Enem / 2018) Pre vytvorenie loga ho chce profesionál v oblasti grafického dizajnu postaviť pomocou sady rovinných bodov v tvare trojuholníka, presne tak, ako je to znázornené na obrázku.
Na vytvorenie takéhoto obrázka pomocou grafického nástroja bude potrebné napísať algebraicky množinu, ktorá predstavuje body tejto grafiky.
Táto množina je daná usporiadanými pármi (x; y) ℕ X ℕ, také, že
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Správna alternatíva: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Všimnite si, že číslo vyjadrené v otázke na osi ya x obsahuje prirodzené čísla (ℕ X ℕ) medzi 0 a 10. Musíme: 0 ≤ y ≤ 10 a 0 ≤ x ≤ 10.
Teda: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) a x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Vyobrazená postava je však trojuholník. Na splnenie tejto podmienky, v usporiadaných pároch y nemôže byť väčšie ako x.
Všimnite si, že hodnoty y sú obmedzené rovnosťou s hodnotami x, ktoré tvoria preponu tohto pravého trojuholníka: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).
Musíme teda: y ≤ x.
Čoskoro 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:
- Číselné množiny
- reálne čísla
- Celé čísla
- Racionálne čísla
- iracionálne čísla
- Prirodzené čísla
- Komplexné čísla
- Cvičenia na množinách
- Cvičenie na zložité čísla
