Štatistika je oblasť matematiky, ktorá študuje zber, zaznamenávanie, organizáciu a analýzu výskumných údajov.
Táto téma je spoplatnená v mnohých súťažiach. Využite teda komentované a vyriešené cvičenia a vyriešte všetky svoje pochybnosti.
Komentované a vyriešené problémy
1) Enem - 2017
Hodnotenie výkonu študentov vysokoškolského štúdia je založené na váženom priemere známok získaných z predmetov podľa príslušného počtu kreditov, ako je uvedené v tabuľke:
Čím lepšie je hodnotenie študenta v danom akademickom termíne, tým väčšia je jeho priorita pri výbere predmetov na ďalšie obdobie.
Určitý študent vie, že ak získa hodnotenie „Dobré“ alebo „Vynikajúce“, bude si môcť zapísať predmety, po ktorých túži. Už absolvoval testy pre 4 z 5 predmetov, ktoré je zapísaný, ale ešte neabsolvoval test z predmetu I, ako je uvedené v tabuľke.
Na to, aby dosiahol svoj cieľ, je minimálna známka, ktorú musí dosiahnuť v predmete I
a) 7,00.
b) 7,38.
c) 7,50.
d) 8,25.
e) 9,00.
Na výpočet váženého priemeru vynásobíme každý stupeň príslušným počtom kreditov, potom pridáme všetky nájdené hodnoty a nakoniec vydelíme celkovým počtom kreditov.
Prostredníctvom prvej tabuľky zisťujeme, že študent musí dosiahnuť minimálne priemer rovný 7, aby získal „dobré“ hodnotenie. Vážený priemer sa preto musí rovnať tejto hodnote.
Vyvolajme chýbajúcu notu x a vyriešime nasledujúcu rovnicu:
Alternatíva: d) 8.25
2) Enem - 2017
Traja študenti, X, Y a Z, sú prihlásení na kurz angličtiny. Na hodnotenie týchto študentov sa učiteľ rozhodol absolvovať päť testov. Na absolvovanie tohto kurzu musí mať študent aritmetický priemer známok z piatich testov rovný alebo rovný 6. V tabuľke sú zobrazené poznámky, ktoré si každý študent urobil v každom teste.
Na základe údajov v tabuľke a uvedených informácií zlyháte
a) iba študent Y.
b) iba študent Z.
c) iba študenti X a Y.
d) iba študenti X a Z.
e) študenti X, Y a Z.
Aritmetický priemer sa vypočíta spočítaním všetkých hodnôt a vydelením počtom hodnôt. V takom prípade spočítajme známky každého študenta a vydelíme ho piatimi.
Keď študent prejde známkou minimálne 6, potom študenti X a Y vyhovejú a študent Z neuspeje.
Alternatíva: b) iba študent Z.
3) Enem - 2017
Graf zobrazuje mieru nezamestnanosti (v%) za obdobie od marca 2008 do apríla 2009, získanú na základe údaje pozorované v metropolitných regiónoch Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo a Porto Šťasný.
Medián tejto miery nezamestnanosti v období od marca 2008 do apríla 2009 bol
a) 8,1%
b) 8,0%
c) 7,9%
d) 7,7%
e) 7,6%
Aby sme našli strednú hodnotu, musíme začať uvedením všetkých hodnôt do poriadku. Potom identifikujeme pozíciu, ktorá rozdeľuje rozsah na dva s rovnakým počtom hodnôt.
Ak je počet hodnôt nepárny, stredná hodnota je číslo, ktoré je presne v strede rozsahu. Keď je párne, stredná hodnota sa rovná aritmetickému priemeru dvoch centrálnych hodnôt.
Podľa grafu zistíme, že existuje 14 hodnôt súvisiacich s mierou nezamestnanosti. Pretože 14 je párne číslo, stredná hodnota sa bude rovnať aritmetickému priemeru medzi 7. hodnotou a 8. hodnotou.
Týmto spôsobom môžeme dávať čísla do poriadku, až kým sa nedostaneme na tieto pozície, ako je to zobrazené nižšie:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1
Pri výpočte priemeru medzi 7,9 a 8,1 máme:
Alternatíva: b) 8,0%
4) Fuvest - 2016
Medzi dvoma mestami v Serra da Mantiqueira jazdí vozidlo, ktoré pokrýva prvú tretinu trasa priemernou rýchlosťou 60 km / h, ďalšia tretina rýchlosťou 40 km / h a zvyšok trasy rýchlosťou 20 km km / h. Hodnota, ktorá najlepšie zodpovedá priemernej rýchlosti vozidla na tejto ceste, v km / h, je
a) 32,5
b) 35
c) 37,5
d) 40
e) 42,5
Musíme nájsť strednú hodnotu rýchlosti a nie strednú rýchlosť, v takom prípade nemôžeme vypočítať aritmetický priemer, ale harmonický priemer.
Harmonický priemer používame, keď sú príslušné veličiny nepriamo úmerné, ako v prípade rýchlosti a času.
Harmonický priemer, ktorý je inverznou hodnotou aritmetického priemeru inverzných hodnôt, máme:
Najbližšia hodnota v odpovediach je preto 32,5 km / h
Alternatíva: a) 32.5
5) Enem - 2015
Vo výberovom finále na 100 metrov voľný spôsob plávania na olympijských hrách dosiahli športovci vo svojich príslušných pruhoch tieto časy:
Stredný čas uvedený v tabuľke je
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
d) 20,85.
e) 20,90.
Najskôr dajme všetky hodnoty vrátane opakovaných čísel vzostupne:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
Všimnite si, že existuje párny počet hodnôt (8-krát), takže stredná hodnota bude aritmetický priemer medzi hodnotou, ktorá je na 4. pozícii, a tou na 5. pozícii:
Alternatíva: d) 20,85.
6) Enem - 2014
Kandidáti K, L, M, N a P sa uchádzajú o jedno pracovné miesto v spoločnosti a absolvovali testy z portugalčiny, matematiky, práva a informatiky. V tabuľke sú uvedené skóre získané piatimi kandidátmi.
Podľa oznámenia o výbere bude úspešným uchádzačom ten, u ktorého je medián známok, ktoré získal v štyroch predmetoch, najvyšší. Úspešným kandidátom bude
a) K.
b) Ľ.
c)
d) Nie.
e) Q
Musíme nájsť medián každého kandidáta, aby sme určili, ktorý je najvyšší. Z tohto dôvodu urobme poriadok každého z nich a nájdime medián.
Kandidát K:
Kandidát L:
Kandidát M:
Kandidát N:
Kandidát P:
Alternatíva: d) N
Pozri tiež Matematika v enem a Matematické vzorce
7) Fuvest - 2015
Preskúmajte graf.
Na základe údajov v grafe možno správne konštatovať, že vek
a) medián matiek detí narodených v roku 2009 bol vyšší ako 27 rokov.
b) medián matiek detí narodených v roku 2009 bol menej ako 23 rokov.
c) medián matiek detí narodených v roku 1999 bol vyšší ako 25 rokov.
d) priemerný počet matiek detí narodených v roku 2004 bol vyšší ako 22 rokov.
e) priemerný počet matiek detí narodených v roku 1999 bol menej ako 21 rokov.
Začnime identifikáciou, v akom rozmedzí sa nachádza medián matiek detí narodených v roku 2009 (svetlošedé pruhy).
Z tohto dôvodu zvážime, že medián vekových skupín sa nachádza v bode, kde sa frekvencia zvyšuje až na 50% (stred rozsahu).
Týmto spôsobom vypočítame akumulované frekvencie. V nasledujúcej tabuľke uvádzame frekvencie a kumulatívne frekvencie pre každý interval:
| vekové rozpätia | Frekvencia | Kumulatívna frekvencia |
| do 15 rokov | 0,8 | 0,8 |
| Vo veku 15 až 19 rokov | 18,2 | 19,0 |
| 20 až 24 rokov | 28,3 | 47,3 |
| 25 až 29 rokov | 25,2 | 72,5 |
| 30 až 34 rokov | 16,8 | 89,3 |
| 35 až 39 rokov | 8,0 | 97,3 |
| 40 a viac rokov | 2,3 | 99,6 |
| ignorovaný vek | 0,4 | 100 |
Upozorňujeme, že kumulatívna účasť dosiahne 50% v rozmedzí od 25 do 29 rokov. Preto sú písmená a a b nesprávne, pretože označujú hodnoty mimo tohto rozsahu.
Rovnakým postupom zistíme medián roku 1999. Údaje sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:
| vekové rozpätia | Frekvencia | Kumulatívna frekvencia |
| do 15 rokov | 0,7 | 0,7 |
| Vo veku 15 až 19 rokov | 20,8 | 21,5 |
| 20 až 24 rokov | 30,8 | 52,3 |
| 25 až 29 rokov | 23,3 | 75,6 |
| 30 až 34 rokov | 14,4 | 90,0 |
| 35 až 39 rokov | 6,7 | 96,7 |
| 40 a viac rokov | 1,9 | 98,6 |
| ignorovaný vek | 1,4 | 100 |
V tejto situácii sa medián vyskytuje v rozmedzí od 20 do 24 rokov. Preto je písmeno c tiež nesprávne, pretože predstavuje možnosť, ktorá nepatrí do rozsahu.
Poďme si teraz vypočítať priemer. Tento výpočet sa vykonáva sčítaním súčinov frekvencie s priemerným vekom intervalu a vydelením zistenej hodnoty súčtom frekvencií.
Pre výpočet nebudeme brať ohľad na hodnoty vzťahujúce sa na intervaly „do 15 rokov“, „40 rokov alebo viac“ a „ignorovaný vek“.
Ak teda vezmeme hodnoty grafu pre rok 2004, máme nasledujúci priemer:
Aj keby sme brali do úvahy extrémne hodnoty, priemer by bol väčší ako 22 rokov. Tvrdenie je teda pravdivé.
Len na potvrdenie, vypočítajme priemer za rok 1999 podľa rovnakého postupu ako predtým:
Pretože zistená hodnota nie je kratšia ako 21 rokov, bude táto alternatíva tiež nepravdivá.
Alternatíva: d) priemerný počet matiek detí narodených v roku 2004 bol vyšší ako 22 rokov.
8) UPE - 2014
V športovej súťaži päť športovcov bojuje o prvé tri miesta v súťaži skokov do diaľky. Klasifikácia bude v zostupnom poradí aritmetického priemeru získaných bodov po troch po sebe nasledujúcich skokoch v teste. V prípade rovnosti hlasov bude prijatým kritériom vzostupné poradie hodnoty odchýlky. Skóre každého športovca je uvedené v nasledujúcej tabuľke:
Na základe predložených informácií prvé, druhé a tretie miesto v tejto súťaži obsadili pretekári
a) A; Ç; A
b) B; D; A
c) A; D; B
d) B; D; Ç
a; B; D
Začnime výpočtom aritmetického priemeru každého športovca:
Pretože sú všetci viazaní, vypočítame rozptyl:
Pretože sa klasifikácia uskutočňuje v zostupnom poradí variácií, na prvom mieste bude atlét A, za ním budú atléti C a E.
Alternatíva: a) A; Ç; A
Získajte viac poznatkov s obsahom:
- Štandardná odchýlka
- Rozptyl a štandardná odchýlka
- Pravdepodobnostné cvičenia
