Mmc a mdc predstavuje najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ medzi dvoma alebo viacerými číslami.
Nenechajte si ujsť príležitosť objasniť všetky svoje pochybnosti prostredníctvom komentovaných a vyriešených cvičení, ktoré uvádzame nižšie.
Navrhované cvičenia
Cvičenie 1
Vo vzťahu k číslam 12 a 18 určite bez zohľadnenia 1.
a) Rozdeľovače 12.
b) Rozdeľovače 18.
c) Spoločné rozdeľovače 12 a 18.
d) Najväčší spoločný deliteľ 12 a 18.
a) 2, 3, 4, 6 a 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 a 6
d) 6
Cvičenie 2
Vypočítajte MMC a MDC medzi 36 a 44.
Cvičenie 3
Zvážte číslo x, prirodzené. Potom klasifikujte tvrdenia ako pravdivé alebo nepravdivé a zarovnajte ich.
a) Najväčší spoločný deliteľ 24 a x môže byť 7.
b) Najväčším spoločným deliteľom 55 a 15 môže byť 5.
a) Nie, pretože 7 nie je deliteľom 24.
b) Áno, keďže 5 je spoločným deliteľom medzi 55 a 15.
Cvičenie 4
V rámci prezentácie k uvedeniu nového závodného automobilu tímu TodaMatéria sa konali neobvyklé preteky. Zúčastnili sa tri vozidlá: štartovací automobil, automobil minulej sezóny a bežný osobný automobil.
Okruh je oválny, všetky tri štartovali spoločne a udržiavali konštantnú rýchlosť. Štartovanie jedného kola trvá 6 minút. Automobil z minulej sezóny trvá dokončenie jedného kola 9 minút a osobnému automobilu absolvovanie jedného kola 18 minút.
Ako dlho po začiatku pretekov potrvá, kým spoločne prechádzajú rovnakým východiskovým bodom?
Na určenie je potrebné vypočítať mmc (6, 9, 18).
Rovnakým východiskovým bodom teda prešli opäť o 18 minút neskôr.
Cvičenie 5
V jednej cukrárni sú rolky pletiva s rozmermi 120, 180 a 240 centimetrov. Budete musieť rozrezať látku na rovnaké kúsky, čo najväčšie a nič nezostane. Aká bude maximálna dĺžka každého pásu ôk?
Na určenie musíme vypočítať mdc (120 180 240).
Najdlhšia možná dĺžka bez previsov bude 60 cm.
Cvičenie 6
Vyberte MMC a MDC z nasledujúcich čísel.
a) 40 a 64
Správna odpoveď: mmc = 320 a mdc = 8.
Najrýchlejšou metódou na nájdenie mmc a mdc je rozdelenie čísel súčasne najmenšími možnými prvočíslami. Pozri nižšie.
Upozorňujeme, že mmc sa počíta vynásobením čísel použitých pri faktoringu a gcd sa vypočíta vynásobením čísel, ktoré rozdeľujú obe čísla súčasne.
b) 80, 100 a 120
Správna odpoveď: mmc = 1 200 a mdc = 20.
Simultánny rozklad troch čísel nám poskytne mmc a mdc prezentovaných hodnôt. Pozri nižšie.
Delenie prvočíslami nám dalo výsledok mmc vynásobením faktorov a mdc vynásobením faktorov deliacich tri čísla súčasne.
Cvičenie 7
Pomocou prvočíselnej faktorizácie určite: aké sú dve za sebou idúce čísla, ktorých mmc je 1260?
a) 32 a 33
b) 33 a 34
c) 35 a 36
d) 37 a 38
Správna alternatíva: c) 35 a 36.
Najprv musíme faktorovať číslo 1260 a určiť prvočíselné faktory.
Vynásobením faktorov zistíme, že postupné čísla sú 35 a 36.
Na dôkaz si spočítajme mmc týchto dvoch čísel.
Cvičenie 8
Na oslavu Dňa študentov sa uskutoční lov na muchy so žiakmi troch tried 6., 7. a 8. ročníka. Nižšie uvádzame počet študentov v každej triede.
| Trieda | 6º | 7º | 8º |
| Počet študentov | 18 | 24 | 36 |
Prostredníctvom MDC určte maximálny počet študentov v každej triede, ktorí sa môžu zúčastniť súťaže ako tím.
Potom odpovedzte: koľko tímov môže byť zostavených v 6., 7. a 8. triede, s maximálnym počtom účastníkov na tím?
a) 3, 4 a 5
b) 4, 5 a 6
c) 2, 3 a 4
d) 3, 4 a 6
Správna alternatíva: d) 3, 4 a 6.
Aby sme odpovedali na túto otázku, musíme začať faktorizáciou daných hodnôt do prvočísel.
Preto sme zistili maximálny počet študentov na tím a týmto spôsobom bude mať každá trieda:
6. ročník: 6/18 = 3 tímy
7. ročník: 6/24 = 4 tímy
8. ročník: 36/6 = 6 tímov
Vstupné skúšky vyriešené
Otázka 1
(Apprentice Sailor - 2016) Nech A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) a y = mdc (A, B), potom sa hodnota x + y rovná:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Správna alternatíva: d) 520.
Ak chcete zistiť hodnotu súčtu x a y, je potrebné najskôr nájsť tieto hodnoty.
Týmto spôsobom ideme faktorovať čísla do prvočíselných faktorov a potom vypočítať mmc a mdc medzi danými číslami.
Teraz, keď poznáme hodnotu x (mmc) a y (mdc), môžeme nájsť súčet:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternatíva: d) 520
otázka 2
(Unicamp - 2015) Nasledujúca tabuľka informuje o niektorých výživových hodnotách pre rovnaké množstvo dvoch potravín, A a B.
Zvážte dve izokalorické dávky (s rovnakou energetickou hodnotou) potravín A a B. Pomer medzi množstvom proteínu v A a množstvom proteínu v B sa rovná
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Správna alternatíva: c) 8.
Ak chcete nájsť izokalorické dávky potravín A a B, vypočítajme mmc medzi príslušnými energetickými hodnotami.
Musíme teda zvážiť potrebné množstvo každej potraviny, aby sme dosiahli kalorickú hodnotu.
Ak vezmeme do úvahy jedlo A, aby mala kalorická hodnota 240 Kcal, je potrebné vynásobiť počiatočné kalórie 4 (60. 4 = 240). Pokiaľ ide o jedlo B, je potrebné vynásobiť 3 (80. 3 = 240).
Množstvo bielkovín v potravinách A sa teda vynásobí 4 a množstvo v potravinách B 3:
Jedlo A: 6. 4 = 24 g
Jedlo B: 1. 3 = 3 g
Máme teda, že pomer medzi týmito veličinami bude daný:
Alternatíva: c) 8
otázka 3
(UERJ - 2015) V nasledujúcej tabuľke sú uvedené tri možnosti usporiadania n notebookov do balíkov:
Ak je n menšie ako 1 200, súčet číslic najväčšej hodnoty n je:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Správna alternatíva: b) 17.
Vzhľadom na hodnoty uvedené v tabuľke máme nasledujúce vzťahy:
n = 12. x + 11
n = 20. r + 19
n = 18. z + 17
Upozorňujeme, že ak by sme k hodnote n pridali 1 knihu, už by nám v troch situáciách nezostal zvyšok, pretože by sme vytvorili ďalší balíček:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Takže n + 1 je spoločný násobok 12, 18 a 20, takže ak nájdeme mmc (čo je najmenší spoločný násobok), môžeme odtiaľ nájsť hodnotu n + 1.
Výpočet mmc:
Takže najmenšia hodnota n + 1 bude 180. Chceme však nájsť najväčšiu hodnotu n menej ako 1 200. Poďme teda hľadať násobok, ktorý spĺňa tieto podmienky.
Z tohto dôvodu vynásobme 180, kým nenájdeme požadovanú hodnotu:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (táto hodnota je väčšia ako 1 200)
Môžeme teda vypočítať hodnotu n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Súčet jeho čísel bude daný:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternatíva: b) 17
Pozri tiež: MMC a MDC
otázka 4
(Enem - 2015) Architekt renovuje dom. S cieľom prispieť k ochrane životného prostredia sa rozhodne opätovne použiť drevené dosky z domu. Má 40 dosiek s rozmermi 540 cm, 30 s 810 cm a 10 s 1080 cm, všetky rovnakej šírky a hrúbky. Požiadal stolára, aby dosky nakrájal na rovnako dlhé kúsky bez toho, aby odišiel zvyšky a aby nové kúsky boli čo najväčšie, ale kratšej dĺžky že 2 m.
Na žiadosť architekta musí stolár vyrobiť
a) 105 kusov.
b) 120 kusov.
c) 210 kusov.
d) 243 kusov.
e) 420 kusov.
Správna alternatíva: e) 420 kusov.
Pretože kusy majú byť rovnako dlhé a čo najväčšie, vypočítajme mdc (maximálny spoločný deliteľ).
Vypočítajme MDC medzi 540, 810 a 1080:
Zistenú hodnotu však nemožno použiť, pretože existuje obmedzenie dĺžky menej ako 2 m.
Vydeľme teda 2,7 číslom 2, pretože nájdená hodnota bude tiež spoločným deliteľom 540, 810 a 1080, pretože 2 je najmenší spoločný prvočíselný faktor týchto čísel.
Potom bude dĺžka každého dielu rovná 1,35 m (2,7: 2). Teraz musíme vypočítať, koľko kusov z každej dosky budeme mať. Za týmto účelom urobíme:
5,40: 1,35 = 4 kusy
8.10: 1,35 = 6 kusov
10,80: 1,35 = 8 kusov
Vzhľadom na počet jednotlivých dosiek a ich sčítanie máme:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 kusov
Alternatíva: e) 420 kusov
otázka 5
(Enem - 2015) Manažér kina každoročne poskytuje školám bezplatné lístky. Tento rok sa rozdá 400 vstupeniek na popoludňajšie zasadnutie a 320 vstupeniek na večerné zasadenie rovnakého filmu. Na získanie lístkov je možné zvoliť viac škôl. Existuje niekoľko kritérií pre distribúciu lístkov:
- každá škola musí dostať lístky na jedno sedenie;
- všetky oprávnené školy musia dostať rovnaký počet lístkov;
- nebudú tu žiadne zvyšné lístky (tj. všetky lístky budú distribuované).
Minimálny počet škôl, ktoré môžu byť vybrané na získanie lístkov, podľa stanovených kritérií je
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Správna alternatíva: c) 9.
Aby sme zistili minimálny počet škôl, musíme poznať maximálny počet lístkov, ktoré môže každá škola dostať, pretože tento počet musí byť na obidvoch sedeniach rovnaký.
Týmto spôsobom vypočítame mdc medzi 400 a 320:
Nájdená hodnota mdc predstavuje najväčší počet lístkov, ktoré každá škola dostane, takže v nich nezostanú žiadne zvyšky.
Aby sme vypočítali minimálny počet škôl, ktoré je možné zvoliť, musíme tiež vydeliť počet lístkov na každé sedenie počtom lístkov, ktoré každá škola dostane, takže máme:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Minimálny počet škôl sa preto bude rovnať 9 (5 + 4).
Alternatíva: c) 9.
otázka 6
(Cefet / RJ - 2012) Aká je hodnota číselného výrazu ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Správna alternatíva: a) 0,2222
Ak chcete zistiť hodnotu číselného výrazu, je prvým krokom výpočet mmc medzi menovateľmi. Takto:
Nájdený mmc bude novým menovateľom zlomkov.
Aby sme však nezmenili zlomkovú hodnotu, musíme vynásobiť hodnotu každého čitateľa výsledkom výsledku vydelenia mmc každým menovateľom:
Riešením sčítania a delenia máme:
Alternatíva: a) 0,2222
otázka 7
(EPCAR - 2010) Farmár bude pestovať fazuľu na rovnom lôžku. Za to začal označovať miesta, kde bude sadiť semená. Obrázok nižšie označuje body, ktoré už poľnohospodár označil, a vzdialenosti medzi nimi v cm.
Tento poľnohospodár potom označil ďalšie body medzi existujúcimi, takže vzdialenosť d medzi všetkými bol rovnaký a najväčší možný. ak X predstavuje počet opakovaní vzdialenosti d bol získaný farmárom, takže X je číslo deliteľné číslom
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Správna alternatíva: d) 7.
Na vyriešenie otázky musíme nájsť číslo, ktoré súčasne rozdeľuje prezentované čísla. Pretože sa požaduje, aby bola vzdialenosť čo najväčšia, vypočítame mdc medzi nimi.
Týmto spôsobom bude vzdialenosť medzi každým bodom rovná 5 cm.
Ak chcete zistiť počet opakovaní tejto vzdialenosti, vydelíme každý pôvodný segment číslom 5 a pridáme nájdené hodnoty:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Nájdený počet je deliteľný 7, pretože 21,7 = 147
Alternatíva: d) 7
Pozri tiež: Násobky a rozdeľovače