Proporcionálne veličiny majú svoje hodnoty zvýšené alebo znížené vo vzťahu, ktorý možno klasifikovať ako priamu alebo inverznú proporcionalitu.
Čo sú to proporcionálne množstvá?
Veličina je definovaná ako niečo, čo sa dá zmerať alebo vypočítať, či už je to rýchlosť, plocha alebo objem a materiálu a je užitočné ho porovnať s inými meraniami, často tej istej jednotky, ktoré predstavujú a dôvod.
Proporcia je vzťah rovnosti medzi pomermi, a teda predstavuje porovnanie dvoch veličín v rôznych situáciách.
Rovnosť medzi a, b, ca d sa číta takto: a je b, ako c je d.
Vzťah medzi veličinami sa môže vyskytnúť priamo alebo nepriamo úmerne.
Ako fungujú priamo a nepriamo úmerné množstvá?
Keď variácia jednej veličiny spôsobí, že sa druhá bude meniť v rovnakom pomere, máme priamu úmernosť. Pozoruje sa inverzná proporcionalita, keď zmena jednej veličiny spôsobí opačnú zmenu druhej.
priama úmernosť
Dve veličiny sú priamo úmerné, keď variácia jednej znamená variáciu druhej v rovnakom pomere, to znamená zdvojnásobením jednej z nich sa druhá tiež zdvojnásobí; zníženie o polovicu, ďalšie tiež znižuje o rovnaké množstvo... a tak ďalej.
Graficky priamo úmerná zmena veličiny vo vzťahu k inej tvorí priamku, ktorá prechádza počiatkom, pretože máme y = k.x, kde k je konštanta.
Príklad priamej proporcionality
Napríklad tlačiareň má schopnosť tlačiť 10 strán za minútu. Ak zdvojnásobíme čas, zdvojnásobíme počet vytlačených strán. Rovnako, ak tlačiareň zastavíme do pol minúty, dostaneme polovičný počet očakávaných výtlačkov.
Teraz uvidíme s číslami vzťah medzi týmito dvoma veličinami.
V tlačiarni sa vyrábajú výtlačky školských kníh. Za 2 hodiny sa vytvorí 40 výtlačkov. Rovnaký stroj vyprodukuje za 3 hodiny ďalších 60 odtlačkov, za 4 hodiny, 80 odtlačkov a za 5 hodín 100 odtlačkov.
| Čas (hodiny) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Zobrazenia (počet) | 40 | 60 | 80 | 100 |
Konštanta proporcionality medzi množstvami sa zistí ako pomer medzi pracovným časom stroja a počtom vyhotovených kópií.
Kvocient tejto postupnosti (1/20) sa volá konštanta proporcionality (k).
Pracovný čas (2, 3, 4 a 5) je priamo úmerný počtu výtlačkov (40, 60, 80 a 100), pretože zdvojnásobením pracovného času sa počet výtlačkov tiež zdvojnásobí.
inverzná proporcionalita
Dve veličiny sú nepriamo úmerné, keď zvýšenie jednej znamená zníženie druhej, to znamená zdvojnásobením množstva sa zodpovedajúca zníži o polovicu; strojnásobí jednu veľkosť, druhá ju zníži na tretiu... a tak ďalej.
Graficky nepriamo úmerná variácia jednej veličiny vo vzťahu k inej tvorí hyperbolu, pretože máme y = k / x, kde k je konštanta.
Príklad inverzného pomeru
Keď sa zvýši rýchlosť, čas na absolvovanie kurzu je kratší. Rovnako znížením rýchlosti bude potrebných viac času na vytvorenie rovnakej cesty.
Ďalej uvádzame aplikáciu vzťahu medzi týmito veličinami.
João sa rozhodol spočítať čas potrebný na bicykel z domu do školy rôznymi rýchlosťami. Poznačte si zaznamenanú postupnosť.
| Čas (min) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Rýchlosť (m / s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
S poradovými číslami môžeme vytvoriť nasledujúci vzťah:
Ak píšeme z rovnakých dôvodov, máme:
V tomto príklade je časová sekvencia (2, 4, 5 a 1) nepriamo úmerná priemernej rýchlosti šliapania (30, 15, 12 a 60) a konštanta proporcionality k) medzi týmito množstvami je 60.
Ak sa poradové číslo zdvojnásobí, zodpovedajúce poradové číslo sa zníži na polovicu.
Pozri tiež: Proporcionalita
Cvičenia komentovali priamo a nepriamo úmerné veličiny
Otázka 1
Klasifikujte nižšie uvedené množstvá do skupín priamo alebo nepriamo úmerných.
a) Spotreba paliva a kilometre, ktoré vozidlo najazdí.
b) Počet tehál a plocha steny.
c) Zľava poskytnutá na produkt a zaplatená konečná cena.
d) Počet kohútikov s rovnakým prietokom a časom na naplnenie bazéna.
Správne odpovede:
a) Priamo úmerné množstvá. Čím viac kilometrov vozidlo prejde, tým vyššia je spotreba paliva na dokončenie trasy.
b) Priamo úmerné množstvá. Čím väčšia je plocha steny, tým väčší je počet tehál, ktoré budú jej súčasťou.
c) Naopak. Čím vyššia je zľava poskytnutá pri kúpe produktu, tým nižšia je suma, ktorá sa za tovar zaplatí.
d) Naopak, proporcionálne množstvá. Ak majú faucety rovnaký prietok, prepúšťajú rovnaké množstvo vody. Čím viac kohútikov je otvorených, tým menej času trvá, kým sa uvoľní množstvo vody potrebné na naplnenie bazénu.
otázka 2
Pedro má vo svojom dome bazén, ktorý meria 6 metrov a obsahuje 30 000 litrov vody. Jeho brat Antônio sa tiež rozhodne postaviť bazén s rovnakou šírkou a hĺbkou, ale s dĺžkou 8 m. Koľko litrov vody sa zmestí do Antôniovho bazéna?
a) 10 000 l
b) 20 000 l
c) 30 000 l
d) 40 000 l
Správna odpoveď: d) 40 000 l.
Zoskupením dvoch veličín uvedených v príklade máme:
| veličiny | Peter | Antonio |
| Dĺžka bazéna (m) | 6 | 8 |
| Prietok vody (L) | 30 000 | X |
Podľa základná vlastnosť proporcií, vo vzťahu medzi veličinami je súčin extrémov rovný súčinu prostriedkov a naopak.
Na vyriešenie tohto problému používame X ako neznáma, teda štvrtá hodnota, ktorá sa musí vypočítať z troch hodnôt uvedených vo výpise.
Pomocou základnej vlastnosti proporcií vypočítame súčin priemerov a súčin extrémov, aby sme našli hodnotu x.
Všimnite si, že medzi množstvami sú priama úmernosť: čím väčšia je dĺžka bazéna, tým väčšie množstvo vody sa v ňom nachádza.
Pozri tiež: Pomer a proporcia
otázka 3
V kaviarni pán Alcides každý deň pripravuje jahodový džús. V kaviarni môže za 10 minút a pomocou 4 mixérov pripraviť džúsy, ktoré si zákazníci objednajú. Aby sa skrátil čas na prípravu, Alcides zdvojnásobil počet mixérov. Ako dlho trvalo, kým boli džúsy pripravené pomocou 8 mixérov, ktoré fungovali?
a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min
Správna odpoveď: d) 5 min.
|
Mixéry (číslo) |
Čas (minúty) |
| 4 | 10 |
| 8 | X |
Všimnite si, že medzi veľkosťami otázky sú inverzná proporcionalita: čím viac mixérov pripravuje šťavu, tým menej času bude trvať, kým budú všetci pripravení.
Preto musí byť na vyriešenie tohto problému časová veľkosť obrátená.
Potom použijeme základnú vlastnosť proporcionality a problém vyriešime.
Nezostávajte len pri tom, tiež by vás mohlo zaujímať:
- Cviky na rozum a proporcionalitu
- Jednoduché a zložené pravidlo troch
- Cvičenie podľa pravidla troch
