Systémy rovníc 1. stupňa: komentované a vyriešené cvičenia

Systémy rovníc 1. stupňa tvoria sústavy rovníc, ktoré prezentujú viac ako jednu neznámu.

Riešením systému je nájdenie hodnôt, ktoré vyhovujú všetkým týmto rovniciam súčasne.

Mnoho problémov sa rieši pomocou sústav rovníc. Preto je dôležité poznať metódy riešenia tohto typu výpočtu.

Využite výhody vyriešených cvičení na vyriešenie všetkých svojich pochybností týkajúcich sa tejto témy.

Komentované a vyriešené problémy

1) Námornícki učni - 2017

Súčet čísla x a dvojnásobku čísla y je - 7; a rozdiel medzi trojkou tohto čísla x a číslom y sa rovná 7. Preto je správne konštatovať, že súčin xy sa rovná:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Pozri odpoveď

Začnime zostavením rovníc vzhľadom na situáciu navrhnutú v probléme. Máme teda:

x + 2.y = - 7 a 3.x - y = 7

Hodnoty xay musia spĺňať obe rovnice súčasne. Preto tvoria nasledujúci systém rovníc:

Tento systém môžeme vyriešiť metódou sčítania. Aby sme to dosiahli, vynásobme druhú rovnicu 2:

Sčítanie dvoch rovníc:

Dosadením hodnoty x nájdenej v prvej rovnici máme:

1 + 2r = - 7
2y = - 7 - 1

Produkt xy sa teda bude rovnať:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternatíva: d) - 4

2) Vojenská vysoká škola / RJ - 2014

Vlak jazdí z jedného mesta do druhého vždy konštantnou rýchlosťou. Ak sa jazda uskutoční s rýchlosťou vyššou o 16 km / h, čas sa zníži o dve a pol hodiny, a keď sa jazdí s rýchlosťou nižšou o 5 km / h, čas sa zvýši o jednu hodinu. Aká je vzdialenosť medzi týmito mestami?

a) 1 200 km
b) 1 000 km
c) 800 km
d) 1 400 km
e) 600 km

Pozri odpoveď

Pretože rýchlosť je konštantná, môžeme použiť nasledujúci vzorec:

Potom sa vzdialenosť zistí takto:

d = v.t.

V prvej situácii máme:

v₁ = v + 16 a t₁ = t - 2,5

Nahradenie týchto hodnôt vo vzorci vzdialenosti:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

Môžeme v.t nahradiť rovnicou d a zjednodušiť:

-2,5v + 16t = 40

Pre situáciu, keď rýchlosť klesá:

v₂ = v - 5 a t₂ = t + 1

Rovnaká zámena:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Pomocou týchto dvoch rovníc môžeme zostaviť nasledujúci systém:

Ak systém vyriešime substitučnou metódou, izolovme v v druhej rovnici:

v = 5 + 5 t

Nahradenie tejto hodnoty v prvej rovnici:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5 t + 16 t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5

Nahradme túto hodnotu, aby sme našli rýchlosť:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Ak chcete zistiť vzdialenosť, jednoducho vynásobte nájdené hodnoty rýchlosti a času. Takto:

d = 80. 15 = 1 200 km

Alternatíva: a) 1 200 km

3) Námornícki učni - 2016

Študent zaplatil občerstvenie 8 realít v 50 centoch a 1 reali. S vedomím, že pri tejto platbe študent použil 12 mincí, určte ich sumy vo výške 50 centov a jednej skutočnej mince, ktorá bola použitá na zaplatenie občerstvenia a začiarknutie správnej možnosti.

a) 5 a 7
b) 4 a 8
c) 6 a 6
d) 7 a 5
e) 8 a 4

Pozri odpoveď

Ak vezmeme do úvahy x počet 50 centových mincí, y počet 1 dolárových mincí a zaplatenú sumu rovnajúcu sa 8 reaom, môžeme napísať nasledujúcu rovnicu:

0,5x + 1y = 8

Vieme tiež, že pri platbe bolo použitých 12 mincí, takže:

x + y = 12

Zostavenie a riešenie systému doplnením:

Nahradenie zistenej hodnoty x v prvej rovnici:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternatíva: e) 8 a 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Zo škatule obsahujúcej B biele guľôčky a P čierne guľôčky bolo odstránených 15 bielych guľôčok, medzi zvyšnými guľkami zostal pomer 1 bielej a 2 čiernych guľôčok. Potom bolo odstránených 10 čiernych, pričom v krabici zostalo množstvo guľôčok v pomere 4 biele k 3 čiernym. Systém rovníc na určovanie hodnôt B a P možno reprezentovať:

Pozri odpoveď

Vzhľadom na prvú situáciu naznačenú v probléme máme tento pomer:

Vynásobením tohto podielu „krížikom“ máme:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = str
2B - P = 30

Urobme to isté pre nasledujúcu situáciu:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Spojením týchto rovníc do systému nájdeme odpoveď na problém.

Alternatíva: a)

5) Faetec - 2012

Carlos vyriešil za jeden víkend ďalších 36 matematických cvičení ako Nilton. S vedomím, že celkový počet cvičení, ktoré obaja vyriešili, bolo 90, sa počet cvičení, ktoré Carlos vyriešil, rovná:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Pozri odpoveď

Ak vezmeme do úvahy x ako počet cvičení vyriešených Carlosom a y ako počet cvičení vyriešených Niltonom, môžeme nastaviť nasledujúci systém:

Dosadením x za y + 36 v druhej rovnici máme:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36

Nahradenie tejto hodnoty v prvej rovnici:

x = 27 + 36
x = 63

Alternatíva: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Stan na streľbu na terč v zábavnom parku poskytne účastníkovi cenu 20 $ za každé zasiahnutie terča. Na druhej strane, zakaždým, keď minie cieľ, musí zaplatiť 10,00 dolárov. Hranie hry nie je spoplatnené. Jeden účastník vystrelil 80 rán a nakoniec dostal 100,00 R $. Koľkokrát tento účastník zasiahol cieľ?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Pozri odpoveď

Kde x je počet striel, ktoré zasiahli cieľ a y je počet nesprávnych striel, máme nasledujúci systém:

Tento systém môžeme vyriešiť metódou sčítania, všetky členy druhej rovnice vynásobíme 10 a sčítame dve rovnice:

Preto účastník zasiahol cieľ 30-krát.

Alternatíva: a) 30

7) Enem - 2000

Poisťovňa zhromaždila údaje o automobiloch v konkrétnom meste a zistila, že ročne je ukradnutých v priemere 150 automobilov. Počet ukradnutých automobilov značky X je dvojnásobok počtu ukradnutých automobilov značky Y a značky X a Y spolu tvoria asi 60% ukradnutých automobilov. Očakávaný počet ukradnutých automobilov značky Y je:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Pozri odpoveď

Problém naznačuje, že počet ukradnutých automobilov značiek x a y sa spolu rovná 60% z celkového počtu, takže:

150.0,6 = 90

Ak vezmeme do úvahy túto hodnotu, môžeme napísať nasledujúci systém:

Nahradením hodnoty x v druhej rovnici máme:

2y + y = 90
3y = 90

Alternatíva: b) 30

Pozri tiež: Cvičenia z rovnice 1. stupňa s neznámym