Podobnosť trojuholníkov: Komentované a vyriešené cvičenia

THE trojuholníková podoba sa používa na nájdenie neznámej miery jedného trojuholníka poznaním mier iného trojuholníka.

Ak sú dva trojuholníky podobné, merania ich zodpovedajúcich strán sú proporcionálne. Tento vzťah sa používa na riešenie mnohých problémov s geometriou.

Využite preto komentované a vyriešené cvičenia a vyčistite všetky svoje pochybnosti.

Problémy vyriešené

1) Námornícky učeň - 2017

Viď obrázok nižšie

Budova vrhá 30 m dlhý tieň na zem v rovnakom okamihu, keď 6 m vysoká osoba vrhá 2,0 m tieň. Dá sa povedať, že výška budovy stojí za to

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Pozri odpoveď

Môžeme uvažovať, že budova, jej premietaný tieň a slnečný lúč tvoria trojuholník. Rovnako tak máme aj trojuholník, ktorý tvorí osoba, jej tieň a slnečný lúč.

Berúc do úvahy, že slnečné lúče sú rovnobežné a že uhol medzi budovou a zemou a osobou je zem sa rovná 90 °, trojuholníky označené na obrázku nižšie sú podobné (dva uhly rovná sa).

Pretože sú si trojuholníky podobné, môžeme napísať nasledujúci pomer:

Alternatíva: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Na obrázku má obdĺžnik ABCD strany dĺžky AB = 4 a BC = 2. Nech M je stredom strany a N stredný bod strany . Segmenty zachytiť segment v bodoch E a F.

Plocha trojuholníka AEF sa rovná

Pozri odpoveď

Oblasť trojuholníka AEF možno nájsť zmenšením oblasti trojuholníka ABE z oblasti trojuholníka AFB, ako je uvedené nižšie:

Začnime hľadaním oblasti trojuholníka AFB. Za týmto účelom musíme zistiť výškovú hodnotu tohto trojuholníka, pretože je známa základná hodnota (AB = 4).

Upozorňujeme, že trojuholníky AFB a CFN sú podobné v tom, že majú dva rovnaké uhly (prípad AA), ako je znázornené na obrázku nižšie:

Nakreslime si výšku H₁, relatívne k strane AB, v trojuholníku AFB. Pretože miera strany CB sa rovná 2, môžeme uvažovať, že relatívna výška strany NC v trojuholníku FNC sa rovná 2 - H₁.

Potom môžeme napísať nasledujúci pomer:

Ak poznáme výšku trojuholníka, môžeme vypočítať jeho plochu:

Ak chcete zistiť oblasť trojuholníka ABE, musíte tiež vypočítať jeho výškovú hodnotu. Použijeme na to skutočnosť, že trojuholníky ABM a AOE, ktoré sú znázornené na obrázku nižšie, sú si podobné.

Ďalej, trojuholník OEB je pravý trojuholník a ďalšie dva uhly sú rovnaké (45 °), takže ide o rovnoramenný trojuholník. Dve nohy tohto trojuholníka teda majú hodnotu H.₂, ako na obrázku nižšie:

Bočná AO trojuholníka AOE sa teda rovná 4 - H_2. Na základe týchto informácií môžeme určiť nasledujúci podiel:

Ak poznáme hodnotu výšky, môžeme teraz vypočítať plochu trojuholníka ABE:

Plocha trojuholníka AFE sa teda bude rovnať:

Alternatíva: d)

3) Cefet / MG - 2015

Nasledujúca ilustrácia predstavuje obdĺžnikový biliardový stôl so šírkou a dĺžkou 1,5 m, respektíve 2,0 m. Hráč musí odhodiť bielu loptu z bodu B a trafiť čiernu loptu v bode P, bez toho, aby najskôr zasiahol ktorúkoľvek z ostatných. Pretože je žltá v bode A, tento hráč hodí bielu loptu do bodu L, aby sa mohla odraziť a zraziť s čiernou.

Ak sú uhol dráhy dopadu lopty na strane stola a uhol odrazu rovnaké, ako je znázornené na obrázku, potom je vzdialenosť od P do Q v cm približne

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Pozri odpoveď

Trojuholníky označené na obrázku nižšie červenou farbou sú podobné, pretože majú dva rovnaké uhly (uhol rovný α a uhol rovný 90 °).

Preto môžeme napísať nasledujúci pomer:

Alternatíva: a) 67

4) Vojenská vysoká škola / RJ - 2015

V trojuholníku ABC patria body D a E k stranám AB a AC a sú také, že DE / / BC. Ak F je bod AB taký, že EF / / CD a merania AF a FD e sú 4 a 6, meranie segmentu DB je:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Pozri odpoveď

Môžeme reprezentovať trojuholník ABC, ako je uvedené nižšie:

Pretože segment DE je rovnobežný s BC, potom sú trojuholníky ADE a ABC podobné v tom, že ich uhly sú zhodné.

Potom môžeme napísať nasledujúci pomer:

Trojuholníky FED a DBC sú tiež podobné, pretože segmenty FE a DC sú rovnobežné. Platí teda aj tento pomer:

Izoláciou y v tomto pomere máme:

Nahradenie hodnoty y v prvej rovnosti:

Alternatíva: a) 15

5) Epcar - 2016

Pozemok v tvare pravouhlého trojuholníka bude rozdelený na dve časti plotom, ktorý je urobený na útvare prepony, ako je to znázornené na obrázku.

Je známe, že strany AB a BC tohto terénu merajú v uvedenom poradí 80 ma 100 m. Teda pomer medzi obvodom dávky I a obvodom dávky II v tomto poradí je

Pozri odpoveď

Aby sme zistili pomer medzi obvodmi, musíme poznať hodnotu všetkých strán obrázka I a obrázku II.

Všimnite si, že spojnica prepony rozdeľuje stranu BC na dva zhodné segmenty, takže segmenty CM a MB merajú 50 m.

Pretože trojuholník ABC je obdĺžnik, môžeme vypočítať stranu AC pomocou Pytagorovej vety. Upozorňujeme však, že tento trojuholník je Pytagorejský trojuholník.

Prepona sa teda rovná 100 (5. 20) a jedna dve nohy sa rovnajú 80 (4,20), potom druhá noha môže mať iba 60 (3,20).

Zistili sme tiež, že trojuholníky ABC a MBP sú podobné (prípad AA), pretože majú spoločný uhol a druhý rovný 90 °.

Aby sme teda našli hodnotu x, môžeme napísať tento pomer:

Hodnota z sa dá zistiť vzhľadom na pomer:

Hodnotu y môžeme nájsť aj takto:

Teraz, keď poznáme všetky strany, môžeme vypočítať obvody.

Obvod obrázku I:

Obvod obrázku II:

Preto bude pomer medzi obvodmi rovný:

Alternatíva: d)

6) Enem - 2013

Majiteľ farmy chce dať opornú tyč, aby lepšie zaistil dva stĺpy s dĺžkami 6 ma 4 m. Obrázok predstavuje skutočnú situáciu, v ktorej sú stĺpiky opísané segmentmi AC a BD a tyčou je reprezentovaný segmentom EF, ktorý je kolmý na zem, čo je naznačené priamym segmentom AB. Segmenty AD a BC predstavujú oceľové káble, ktoré sa budú inštalovať.

Aká by mala byť hodnota dĺžky tyče EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Pozri odpoveď

Na vyriešenie problému nazvime výšku stonky ako z a merania AF a FB segmentov X a r, ako je uvedené nižšie:

Trojuholník ADB je podobný trojuholníku AEF v tom, že obidva majú uhol rovný 90 ° a spoločný uhol, takže sú si podobné v prípade AA.

Preto môžeme napísať nasledujúci pomer:

Násobením „krížom“ dostaneme rovnosť:

6x = h (x + y) (I)

Na druhej strane, trojuholníky ACB a FEB budú tiež podobné, a to z rovnakých dôvodov, ktoré sú uvedené vyššie. Máme teda pomer:

Riešenie rovnakým spôsobom:

4y = h (x + y) (II)

Upozorňujeme, že rovnice (I) a (II) majú za znamienkom rovnosti rovnaký výraz, takže môžeme povedať, že:

6x = 4r

Nahradenie hodnoty x v druhej rovnici:

Alternatíva: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Na obrázku je trojuholník ABC obdĺžnikový so stranami BC = 3 a AB = 4. Bod D navyše patrí kľúčnej kosti. , bod E patriaci do kľúčnej kosti a bod F patrí do prepony , takže DECF je rovnobežník. ak , takže plocha paralelogramu DECF stojí za to

Pozri odpoveď

Plocha rovnobežníka sa zistí vynásobením základnej hodnoty výškou. Zavolajme h výšku a x základnú mieru, ako je uvedené nižšie:

Pretože DECF je rovnobežník, jeho strany sú rovnobežné dva po druhom. Takto sú strany AC a DE rovnobežné. Takže uhly sú rovnaké.

Potom môžeme zistiť, že trojuholníky ABC a DBE sú podobné (prípad AA). Máme tiež to, že prepona trojuholníka ABC sa rovná 5 (trojuholník 3,4 a 5).

Týmto spôsobom napíšme tento pomer:

Ak chcete zistiť mieru x základne, zvážime tento pomer:

Pri výpočte plochy rovnobežníka máme:

Alternatíva: a)