Založili sme a okupácia keď dávame do vzťahu jednu alebo viac veličín. Časť prírodných javov je možné študovať vďaka vývoju v tejto oblasti matematiky. Štúdium funkcií je rozdelené na dve časti, máme všeobecnú časť, v ktorej študujeme koncepcievšeobecne, a konkrétna časť, kde študujeme konkrétne prípady, ako sú polynomické funkcie a exponenciálne funkcie.
Pozri tiež: Ako nakresliť funkciu?
Čo sú to funkcie?
Funkcia je aplikácia, ktorá sa týka prvkov dvoch sady nie prázdny. Zvážte dve neprázdne množiny A a B, kde je to funkcia f súvisieť každý prvok od A do len jeden prvok B.
Pre lepšie pochopenie tejto definície si predstavte jazdu taxíkom. Pre každú cestu, to znamená pre každú prekonanú vzdialenosť, existuje iná a jedinečná cena, to znamená, že nemá zmysel, aby mala cesta dve rôzne ceny.
Túto funkciu, ktorá berie prvky z množiny A do množiny B, môžeme reprezentovať nasledujúcimi spôsobmi.
Všimnite si, že pre každý prvok množiny A existuje a jediný súvisiaci prvok s ním v súbore B. Teraz si môžeme myslieť koniec koncov, keď vzťah medzi dvoma množinami nebude funkciou? No, keď prvok množiny A súvisí s dvoma odlišnými prvkami B, alebo keď existujú prvky množiny A, ktoré nesúvisia s prvkami B. Pozri:
Všeobecne môžeme funkciu napísať algebraicky takto:
f: A → B
x → r
Všimnite si, že funkcia berie prvky z množiny A (reprezentované x) a berie ich do prvkov B (reprezentovaných y). Môžeme tiež povedať, že prvky množiny B sú dané z hľadiska prvkov množiny A, takže y môžeme reprezentovať pomocou:
y = f(X)
Znie: (y sa rovná f x)
Doména, doména a obraz roly
Keď máme rolu f, súvisiace sady dostávajú špeciálne mená. Zvážte teda funkciu f ktorý berie prvky zo sady A do prvkov zo sady B:
f: A → B
Volá sa množina A, od ktorej sa odchádzajú vzťahy doména funkcie a volá sa množina, ktorá prijíma „šípky“ tohto vzťahu protidoména. Tieto množiny označujeme nasledovne:
Df = A → doména f
CDf = B → Counterdomain of f
Podmnožina protidomény funkcie tvorenej prvkami, ktoré sa týkajú prvkov množiny, sa nazýva Obrázok funkcie a označuje sa:
imf → Obrázok používateľa f
- Príklad
Zvážte funkciu f: A → B znázornenú na nasledujúcom diagrame a určite doménu, protidoménu a obrázok.
Ako už bolo povedané, množina A = {1, 2, 3, 4} je doménou funkcie f, zatiaľ čo množina B = {0, 2, 3, –1} je protidoménou rovnakej funkcie. Teraz si všimnite, že množina tvorená prvkami, ktoré prijímajú šípku (oranžovou farbou) tvorenú prvkami {0, 2, –1}, je podmnožinou protidomény B, táto množina je obrazom funkcie f, teda:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
imf = {0, 2, –1}
Hovoríme, že 0 je elementový obrázok 1 domény, ako aj 2 je to obraz prvkov 2 a 3 domény a –1 je elementový obrázok 4 domény. Ak sa chcete o týchto troch konceptoch dozvedieť viac, prečítajte si: Ddoména, doména a obrázok.
Surjektívna funkcia
Funkcia f: A → B bude surjektívne alebo surjektívne vtedy a len vtedy, ak sa množina obrázkov zhoduje s protikladom, tj. ak sú všetky prvky kontradomény obrazy.
Hovoríme potom, že funkcia je surjektívna, keď všetky prvky pultovej domény dostanú šípky. Ak sa chcete hlbšie zaoberať týmto typom funkcií, navštívte náš text: Funkcia overjet.
Injekčná funkcia
Funkcia f: A → B bude injektívne alebo injektívne vtedy a len vtedy, ak majú odlišné prvky domény odlišné obrázky v protidoméne, to znamená, podobné obrázky sú generované rovnakými prvkami domény.
Upozorňujeme, že podmienkou je, že rôzne prvky domény súvisia s rôznymi prvkami kontradomény, pričom so zostávajúcimi prvkami v doméne nie je problém. Pre lepšie pochopenie tohto pojmu si môžete prečítať text: Funkcia injektora.
Bijektorová funkcia
Funkcia f: A → B bude bijektívne, len ak je injektor a surjektor súčasne, to znamená, že odlišné prvky domény majú odlišné obrázky a obraz sa zhoduje s protidoménou.
- Príklad
V obidvoch prípadoch zdôvodnite, či je funkcia f (x) = x2 je to injektor, surjektor alebo bijektor.
) f: ℝ+ → ℝ
Upozorňujeme, že doménou funkcie sú všetky kladné reály a protidoménou sú všetky reálne čísla. Vieme, že funkcia f je daná f (x) = x2, teraz si predstavte všetky pozitívne reálne čísla vysoká na druhú, všetky obrázky budú tiež pozitívne. Môžeme teda dospieť k záveru, že funkcia je injekčná a nie surjektívna, pretože záporné reálne čísla nebudú dostávať šípky.
Je to vstrekovanie, ako každý prvok domény (ℝ+) sa týka iba jedného prvku protidomény (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funkcia má v tomto prípade doménu ako všetky reality a protidoménu ako pozitívne reality. Vieme, že každé skutočné číslo na druhú je kladné, takže všetky prvky pultomény dostali šípky, takže funkcia je surjektívna. Nebude to vkladanie, pretože doménové prvky sa týkajú dvoch protidoménových prvkov, napríklad:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
V tomto príklade má funkcia doménu a doménu ako kladné reálne čísla, teda funkcia je bijektor, pretože každé kladné skutočné číslo sa týka jedného Reálne číslo kladná proti doméne, v tomto prípade ako druhá mocnina čísla. Všetky čísla proti doméne navyše dostali šípky.
zložená funkcia
THE zložená funkcia je spojená s skratka nápad. Zvážte tri neprázdne množiny A, B a C. Zvážte tiež dve funkcie f a g, kde funkcia f vezme prvky x zo sady A na prvky y = f (x) zo sady B a funkcia g vezme prvky y = f (x) na prvky z zo sady C.
Kompozitná funkcia dostane tento názov, pretože ide o aplikáciu, ktorá berie prvky zo množiny A priamo na prvky zo množiny C, bez toho, aby prešla množinou B, zložením funkcií f a g. Pozri:
Funkcia označená (f o g) vezme prvky z množiny A priamo do množiny C. Nazýva sa to zložená funkcia.
- Príklad
Uvažujme funkciu f (x) = x2 a funkcia g (x) = x + 1. Nájdite zložené funkcie (f o g) (x) a (g o f) (x).
Funkcia f o g je daná funkciou g aplikovanou na f, to znamená:
(f o g) (x) = f (g (x))
Na určenie tejto zloženej funkcie musíme brať do úvahy funkciu f, a namiesto premennej x musíme napísať funkciu g. Pozri:
X2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Podobne, aby sme určili zloženú funkciu (g o f) (x), musíme funkciu použiť f v role g, to znamená, zvážime funkciu g a namiesto premennej napíšeme funkciu f. Pozri:
(x + 1)
X2 + 1
Preto je zložená funkcia (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Rovnomerná funkcia
Zvážte funkciu f: A → ℝ, kde A je podmnožina neprázdnych reálií. Funkcia f bude párna iba pre všetky skutočné x.
Príklad
Zvážte funkciu f: ℝ → ℝ, dané f (x) = x2.
Upozorňujeme, že pre každú skutočnú hodnotu x, ak je druhá mocnina, je výsledok vždy pozitívny, to znamená:
f (x) = x2
a
f (–x) = (–x)2 = x2
Takže f (x) = f (–x) pre akúkoľvek skutočnú hodnotu x, teda funkcia f je to pár.
Prečítajte si tiež:Silové vlastnostis - čo sú a ako o použitievzduch?
jedinečná funkcia
Zvážte funkciu f: A → ℝ, kde A je podmnožina neprázdnych reálií. Funkcia f bude nepárna iba pre všetky skutočné x.
- Príklad
Zvážte funkciu f: ℝ → ℝ, dané f (x) = x3.
Vidíme, že pre každú hodnotu x môžeme napísať, že (–x)3 = -x3. Pozrite si niekoľko príkladov:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Môžeme teda povedať, že:
f (–x) = (–x)3 = –X3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Takže pre každé skutočné x f (–x) = –f (x), a teda funkcia f (x) = x3 je jedinečný.
zvyšujúca funkcia
Funkcia f é rastie v intervale len a len vtedy, keď s rastom doménových prvkov rastie aj ich obraz. Pozri:
Všimnite si, že x1 > x2 a to isté sa deje s obrázkom, takže môžeme pre funkciu vytvoriť algebraickú podmienku f byť rastie.
Funkcia zostupná
Funkcia f é klesajúci v intervale len a len vtedy, keď s rastom doménových prvkov klesá ich obraz. Pozri:
Vidíte, že vo funkčnej doméne máme to x1 > x2, avšak toto sa nevyskytuje na funkčnom obrázku, kde f (x1)
konštantná funkcia
Ako hovorí názov, a funkcia je konštantný kedy, pre akúkoľvek hodnotu doména, hodnota obrázka je vždy rovnaká.
súvisiaca funkcia
THE afinná funkcia alebo polynóm prvého stupňa sa píše vo forme:
f (x) = sekera + b
Kde a a b sú reálne čísla, a je nenulová a váš graf je čiara. Táto funkcia má skutočnú doménu a tiež skutočnú protidoménu.
kvadratická funkcia
THE kvadratická funkcia alebo polynomiálna funkcia druhého stupňa je daná a polynóm triedy dva, teda:
f (x) = sekera2 + bx + c
Kde a, b a c sú reálne čísla s nenulovou hodnotou a váš graf je a podobenstvo. Rola má tiež skutočnú doménu a doménu pultu.
modulárna funkcia
THE modulárna funkcia s premenná x nájde-ak vo vnútri modulu a algebraicky je to vyjadrené:
f (x) = | x |
Funkcia má tiež skutočnú doménu a doménu počítadla, to znamená, že môžeme vypočítať absolútnu hodnotu ľubovoľného reálneho čísla.
exponenciálna funkcia
THE exponenciálna funkciazobrazí premennú x v exponente. Má tiež skutočnú doménu a skutočnú protidoménu a je algebraicky opísaná:
f (x) = aX
Kde a je skutočné číslo väčšie ako nula.
logaritmická funkcia
THE logaritmická funkcia má premenná v logaritme a doména tvorená skutočnými číslami väčšími ako nula.
Trigonometrické funkcie
O trigonometrické funkcie majú premenná x zahŕňajúca trigonometrické pomery, hlavné sú:
f (x) = hriech (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
koreňová funkcia
Funkcia root je charakterizovaná tým, že má premenná vo vnútri koreňa, čím je index koreňa párny, doménou funkcie sa stanú iba kladné reálne čísla.
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
