Cvičenie na zložitý počet: Zoznam vyriešených otázok a spätná väzba

Vy komplexné čísla umožňujú riešiť matematické úlohy, ktoré nemajú riešenia v množine reálne čísla.

V komplexnom počte napísanom ako $\ dpi {120} z = a + bi$ , hovoríme to $\ dpi {120} až$ je skutočná časť, $\ dpi {120} b$ je imaginárna časť a $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ je to imaginárna jednotka.

Vystupovať operácie so zložitými číslami, existuje niekoľko výrazov, ktoré uľahčujú výpočty. Zvážte $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ a $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Sčítací výraz medzi komplexnými číslami:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Vyjadrenie odčítania medzi komplexnými číslami:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Vyjadrenie násobenia medzi komplexnými číslami:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Vyjadrenie rozdelenia medzi komplexnými číslami:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - reklama)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Nižšie je uvedený zoznam otázky riešené cvičeniami na komplexných číslach. Naučte sa používať každý z konceptov zahŕňajúcich tieto čísla!

Zoznam cvičení na komplexných číslach
Uznesenie o otázke 1
Uznesenie o otázke 2
Uznesenie o otázke 3
Uznesenie o otázke 4
Uznesenie o otázke 5
Uznesenie o otázke 6
Uznesenie o otázke 7
Uznesenie otázky 8

Zoznam cvičení na komplexných číslach

Otázka 1. Vzhľadom na zložité čísla $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ určiť hodnotu $\ dpi {120} A$ , Kedy $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Otázka 2. Nájdite hodnoty $\ dpi {120} x$ a $\ dpi {120} r$ také, že $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Otázka 3. Vzhľadom na zložité čísla $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , určiť hodnotu $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kedy $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ a $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

instagram story viewer

Otázka 4. Vypočítajte hodnotu $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ prečo $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kedy $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Otázka 5. Určte hodnotu $\ dpi {120} až$ prečo $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ byť čisté imaginárne číslo.

Otázka 6. Vypočítajte nasledujúce imaginárne výkony jednotiek $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Otázka 7. Nájdite riešenie rovnice $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ v množine komplexných čísel.

Otázka 8. Určte riešenie rovnice $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ v množine komplexných čísel.

Uznesenie o otázke 1

Máme $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ a $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ a chceme určiť hodnotu $\ dpi {120} A$ , Kedy $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Najprv si spočítajme $\ dpi {120} 4z_3$ a $\ dpi {120} 3z_1$ , oddelene:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Teraz poďme vypočítať $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Uznesenie o otázke 2

Chceme nájsť x a y tak $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Vyjadrením súčtu medzi dvoma komplexnými číslami musíme:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ šípka doprava (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Takže musíme $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ a $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Vyriešme tieto dve rovnice a nájdime x a y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Uznesenie o otázke 3

Máme $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ a chceme určiť hodnotu $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kedy $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ a $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Najprv spočítame $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Vyjadrením násobenia medzi dvoma komplexnými číslami musíme:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Teraz poďme vypočítať $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Preto $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Uznesenie o otázke 4

Chceme vypočítať hodnotu $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ prečo $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kedy $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ a $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Znamená to nájsť $\ dpi {120} str$ a $\ dpi {120} q$ aby:

Vyskúšajte niekoľko bezplatných kurzov

Bezplatný kurz inkluzívneho vzdelávania online
Online knižnica hračiek a vzdelávací kurz
Bezplatný online kurz matematických hier vo vzdelávaní v ranom detstve
Bezplatný kurz Pedagogické kultúrne workshopy online

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Vyjadrením rozdelenia medzi dvoma komplexnými číslami musíme:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Pri spájaní týchto dvoch podmienok musíme mať:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Teda:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Vyriešime každú z týchto rovníc, počnúc druhou, ktorá závisí iba od s.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Teraz nájdeme q podľa druhej rovnice:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Uznesenie o otázke 5

Chceme nájsť hodnotu $\ dpi {120} až$ prečo $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ byť čisté imaginárne číslo.

Čisté imaginárne číslo je číslo, ktorého skutočná časť sa rovná nule.

Ak vezmeme do úvahy výraz rozdelenia medzi dvoma komplexnými číslami, máme to:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Aby bolo toto číslo čisto imaginárne, musíme mať:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ šípka doprava a = -2$

Uznesenie o otázke 6

Definovaním mocnin a komplexných čísel musíme:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Sledujte vzor, ktorý sa opakuje každé štyri po sebe nasledujúce sily: 1, i, -1 a -i.

Ak teda chcete nájsť výsledok pri akejkoľvek mocnine i, stačí vydeliť exponent číslom 4. Zvyšok rozdelenia bude 0, 1, 2 alebo 3 a táto hodnota bude exponentom, ktorý by sme mali použiť.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 a zvyšok je 0.

Potom, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .