Štúdia o číselné množiny predstavuje jednu z hlavných oblastí matematiky, pretože sú veľmi dôležité pre teoretický rozvoj oblasti a majú niekoľko praktických aplikácií. Početné sady zahŕňajú pri štúdiu:
- prirodzené čísla;
- celé čísla;
- racionálne čísla;
- iracionálne čísla;
- reálne čísla; a
- komplexné čísla.
čítaj viac: Prvočísla - čísla, ktoré majú iba 1 a sami seba ako deliteľa
Sada prirodzených čísel
Rozvoj prvých civilizácií priniesol zlepšenie poľnohospodárstva a obchodu a v dôsledku toho aj pomocou čísel predstavujú množstvá. Prvá sada vyšla prirodzene, odtiaľ pochádza aj jej názov. Prirodzená pomenovaná množina sa používa na vyjadrenie veličín, označuje sa znakom symbol ℕ a je písaný v poradí. Pozri:
O množina číselje é nekonečný a uzavretý pre operácie dodatok a množenie, to znamená, že kedykoľvek sčítame alebo vynásobíme dve prirodzené čísla, odpoveď je stále prirodzená. Avšak pre operáciu odčítania a rozdelenie, súprava nie je zatvorená. Pozri:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Všimnite si, že čísla –1 a 0,5
nepatria do množiny prírodných a to je opodstatnenie pre vytváranie a štúdium nových množín čísel.Ak vložíte hviezdičku (*) do symbolu prirodzenej množiny, musíme zo zoznamu odstrániť číslo nula, pozri:
celé čísla nastavené
Celá sada čísel prišla s potreba vykonať operáciu odčítanie žiadne obmedzenia. Ako sme videli, keď sa odčíta menšie číslo od väčšieho, odpoveď nepatrí do skupiny prírodných.
Množinu celých čísel predstavuje tiež nekonečná číselná postupnosť a označuje sa znakom symbol ℤ.
Rovnako ako v množine prirodzených čísel, umiestnením hviezdičky do symbolu ℤ sa prvok nula odstráni z množiny, napríklad takto:
Symbol (-), ktorý sprevádza číslo, znamená, že je symetrický, takže symetrický k číslu 4 je číslo –4. Upozorňujeme tiež, že množina prirodzených čísel je obsiahnutá v množine celých čísel, to znamená, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel.
ℕ ⸦ ℤ
Prečítajte si tiež: Operácie s celými číslami - čo sú to a ako vypočítať?
množina racionálnych čísel
O množina racionálnych čísel é predstavuje symbol ℚ a nie je reprezentovaný číselnou sekvenciou. Táto množina sa skladá zo všetkých čísel, ktoré možno reprezentovať ako zlomok. Jeho prvky predstavujeme nasledovne:
Vieme, že každé celé číslo môže byť reprezentované znakom a zlomok, to znamená, že množina celých čísel je obsiahnutá v množine racionálnych čísel, takže, množina celých čísel je podmnožinou racionálnych.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Čísla, ktoré majú nekonečné zastúpenie, ako napr periodické desiaty, majú tiež zastúpenie vo forme zlomku, sú teda tiež racionálne.
Prečítajte si tiež: Operácie s zlomkami - krok za krokom, ako ich vyriešiť
Sada iracionálnych čísel
Ako sme videli, číslo je racionálne, ak sa dá napísať ako zlomok. Bolo tiež povedané, že nekonečné a periodické čísla sú racionálne, existujú však niektoré čísla nemožno napísať vo forme zlomku a ktoré teda nepatria do množiny racionálnych čísel.
Tieto neracionálne čísla sa nazývajú iracionálne a jeho hlavnými charakteristikami sú nekonečno desatinnej časti a nefrekvencia, to znamená, že sa žiadne číslo v desatinnej časti neopakuje. Zopár príkladov iracionálne čísla.
- Príklad 1
Druhé odmocniny čísel, ktoré nie sú dokonalými štvorcami.
- Príklad 2
Konštanty pochádzajúce zo zvláštnych dôvodov, ako je zlaté číslo, Eulerovo číslo alebo Pi.
Sada reálnych čísel
O množina reálnych čísel je reprezentovaný symbolom ℝ a je tvorený jednotamnožiny racionálnych čísel so sústavou iracionálnych čísel. Pamätajte, že množina racionálnych je spojenie prirodzených a celočíselných množín.
Keď usporiadame skutočné čísla na riadok, máme za to, že číslo nula je počiatok riadku, vpravo od nuly budú kladné čísla a vľavo záporné čísla.
Pretože táto os je skutočná, môžeme povedať, že medzi dvoma číslami sú nekonečné čísla a že táto os je nekonečná tak v pozitívny smer keď v negatívny smer.
Sada komplexných čísel
O množina komplexných čísel to je posledný a vznikla z rovnakého dôvodu ako množina celých čísel, to znamená, že ide o operáciu, ktorej vývoj iba s množinou reál nie je možný.
Vyriešením nasledujúcej rovnice uvidíte, že nemá riešenie, pozná iba reálne čísla.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Upozorňujeme, že musíme nájsť číslo, ktoré keď povzniesťdO na druhú, vedie k zápornému číslu. My to vieme akékoľvek číslo na druhú je vždy kladné, preto tento výpočet nemá skutočné riešenie.
Tak vznikli komplexné čísla, v ktorých máme a imaginárne číslo označené i, ktorá má nasledujúcu hodnotu:
Uvedomte si teda, že rovnica že predtým nemalo riešenie, má ho teraz. Odhlásiť sa:
čítaj viac: Vlastnosti zahŕňajúce komplexné čísla
skutočné intervaly
V niektorých prípadoch nebudeme používať každú skutočnú os, to znamená, že použijeme jej časti, ktoré sa budú volať prestávky. Tieto intervaly sú podmnožiny množiny reálnych čísel. Ďalej zavedieme niekoľko zápisov pre tieto podmnožiny.
Uzavretý rozsah - bez zahrnutia extrémov
Keď je interval uzavretý má svoje dva extrémy, teda minimum a maximum, a v tomto prípade extrémy nepatria do rozsahu. Označíme to pomocou otvorenej gule. Pozri:
Červenou farbou sú označené čísla, ktoré patria do tohto rozsahu, to znamená, že ide o čísla väčšie ako a a menšie ako b. Algebraicky napíšeme takýto interval nasledovne:
znak < X
Kde číslo x sú všetky reálne čísla, ktoré sú v tomto rozsahu. Môžeme to znázorniť aj symbolicky. Pozri:
] The; B [ alebo ( B)
Uzavretý rozsah - vrátane extrémov
Teraz to reprezentujme pomocou uzavretých guličiek extrémy patria do rozsahu.
Takže zhromažďujeme skutočné čísla, ktoré sú medzi a až b, vrátane nich. Algebraicky taký interval vyjadríme:
the ≤ Xb
Pomocou symbolickej notácie máme:
[The; B]
Uzavretý rozsah - vrátane jedného z extrémov
Stále sa zaoberáme uzavretými intervalmi, teraz máme prípad kde zahrnutý je iba jeden z extrémov. Jeden z guličiek sa preto zatvorí, čo naznačuje, že číslo patrí do rozsahu, a druhý nie, čo naznačuje, že číslo do tohto rozsahu nepatrí.
Algebraicky reprezentujeme tento rozsah takto:
the ≤ X
Symbolicky máme:
[The; B [ alebo [The; B)
Otvorený sortiment - bez konca
Rozsah sa otvorí, keď nemá maximálny alebo minimálny prvok. Teraz uvidíme prípad otvoreného rozsahu, ktorý má iba maximálny prvok, ktorý nie je zahrnutý v rozsahu.
Uvidíte, že rozsah pozostáva z reálne čísla menšie akoB, a tiež si to všimnite číslo b, ktoré nepatrí do rozsahu (otvorená guľa), takže algebraicky môžeme interval reprezentovať:
X
Symbolicky to môžeme reprezentovať pomocou:
] – ∞; B [ alebo (– ∞; B)
Otvorený sortiment - vrátane extrémov
Ďalším príkladom otvoreného rozsahu je prípad, keď je zahrnutý extrém. Tu máme rozsah, v ktorom sa objavuje minimálny prvok, pozri:
Všimnite si, že všetky reálne čísla sú väčšie alebo rovné číslu a, takže tento rozsah môžeme napísať algebraicky pomocou:
Xdo
Symbolicky máme:
[The; +∞[ alebo [The; +∞)
otvorený rozsah
Ďalším prípadom otvoreného rozsahu je čísla väčšie a menšie ako čísla fixné na skutočnej čiare. Pozri:
Upozorňujeme, že skutočné čísla, ktoré patria do tohto rozsahu, sú tie, ktoré sú menšie alebo rovnaké ako číslo a, alebo tie, ktoré sú väčšie ako číslo b, takže musíme:
X do aleboX > b
Symbolicky máme:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
alebo
(– ∞; a] U (b; + ∞)
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm