Jeden polynomiálna rovnica sa vyznačuje tým, že má a polynóm rovná sa nule. Možno ho charakterizovať stupňom polynómu a čím je tento stupeň väčší, tým je vyššia aj miera ťažkostí pri hľadaní jeho riešenia alebo koreňa.
V tejto súvislosti je tiež dôležité pochopiť, čo je základná veta o algebre, ktorá to uvádza každá polynomiálna rovnica má aspoň jedno komplexné riešenie, inými slovami: rovnica stupňa jedna bude mať aspoň jedno riešenie, rovnica stupňa dva bude mať najmenej dve riešenia atď.
Čítajte tiež: Aké sú triedy polynómov?
Čo je to polynomiálna rovnica
Polynomiálna rovnica je charakterizovaná tým, že má polynóm rovný nule, teda každý výraz typu P (x) = 0 je polynomiálna rovnica, kde P (x) je polynóm. Ďalej uvádzame všeobecný prípad polynomiálnej rovnice a niekoľko príkladov.
Zvážteč, an -1, a n -2, ...,1, a0 a x reálne čísla, a n je kladné celé číslo, nasledujúci výraz je polynomiálna rovnica stupňa n.
- Príklad
Nasledujúce rovnice sú polynómy.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Rovnako ako polynómy, aj polynómové rovnice majú svoj stupeň. Ak chcete určiť stupeň polynomiálnej rovnice, nájdite najvyšší výkon, ktorého koeficient sa líši od nuly. Rovnice predchádzajúcich položiek sú teda:
a) Rovnica je z štvrtý stupeň:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Rovnica je z stredná škola:5X2 – 3 = 0.
c) Rovnica je z prvý stupeň:6X – 1 = 0.
d) Rovnica je z tretí stupeň: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
Ako vyriešiť polynomiálnu rovnicu?
Spôsob riešenia polynomiálnej rovnice závisí od jej stupňa. Čím väčší je stupeň rovnice, tým ťažšie je ju vyriešiť. V tomto článku si ukážeme metódu riešenia polynomiálnych rovníc prvý stupeň, druhý stupeň a štvorcový.
Polynomiálna rovnica prvého stupňa
Polynomiálna rovnica prvého stupňa je opísaná a polynóm 1. stupňa. Môžeme teda napísať rovnicu prvého stupňa všeobecne nasledovne.
Zvážte dve reálne čísla The a B s ≠ 0 je nasledujúcim výrazom polynomiálna rovnica prvého stupňa:
sekera + b = 0
Na vyriešenie tejto rovnice musíme použiť zásada rovnocennosti, to znamená, že všetko, čo sa prevádzkuje na jednej strane rovnosti, sa musí prevádzkovať aj na druhej strane. Aby sme určili riešenie rovnice prvého stupňa, musíme izolovať neznáme. Prvým krokom je v tomto prípade odstránenie B na ľavej strane rovnosti a potom odčítaťveslá b na oboch stranách rovnosti.
sekera + b - B = 0 - B
sekera = - b
Všimnite si, že hodnota neznámeho x nie je izolovaná, je potrebné vylúčiť koeficient a z ľavej strany rovnosti, a preto si obe strany vydelíme The.
- Príklad
Vyriešte rovnicu 5x + 25 = 0.
Na vyriešenie problému musíme použiť princíp ekvivalencie. Pre uľahčenie procesu vynecháme písanie operácie na ľavej strane rovnosti, bytia ekvivalent potom povedať, že ideme „odovzdať“ číslo na druhú stranu a zmeníme znamienko (inverzná operácia).
Viac informácií o riešení tohto typu rovnice sa dozviete v našom texte: Rovnica prvého stupňa s neznámym.
Polynomiálna rovnica druhého stupňa
Polynomiálna rovnica druhého stupňa má charakteristiku a polynom druhého stupňa. Zvážte teda reálne čísla a, bac s a ≠ 0. Rovnica druhého stupňa je daná vzorcom:
sekera2 + bx + c = 0
Vaše riešenie je možné určiť pomocou metódy bhaskara alebo faktoringom. Ak sa chcete dozvedieť viac o rovniciach tohto typu, prečítajte si: Rovakcia sdruhý grau.
→ Bhaskarova metóda
Pri použití Bhaskarovej metódy sú jej korene dané týmto vzorcom:
- Príklad
Určte riešenie rovnice x2 - 3x + 2 = 0.
Všimnite si, že koeficienty rovnice sú a = 1, b = - 3 a c = 2. Nahradením týchto hodnôt vo vzorci musíme:
→ Faktorizácia
Upozorňujeme, že je možné faktorovať výraz x2 - 3x + 2 = 0 pomocou myšlienky polynomiálna faktorizácia.
X2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Všimnite si teraz, že máme produkt rovný nule a produkt sa rovná nule, iba ak sa jeden z faktorov rovná nule, takže musíme:
x - 2 = 0
x = 2
alebo
x - 1 = 0
x = 1
Uvidíte, že riešenie rovnice sme našli pomocou dvoch rôznych metód.
bi-kvadratická rovnica
THE rovnica štvorca to je a konkrétny prípad polynomiálnej rovnice štvrtého stupňa, obyčajne by rovnica štvrtého stupňa bola napísaná v tvare:
sekera4 + bx3 + políčko2 + dx + e = 0
kde čísla a B C d a a sú skutočné s ≠ 0. Rovnica štvrtého stupňa sa považuje za štvorcovú, keď sú koeficienty b = d = 0, to znamená, že rovnica má tvar:
sekera4 + políčko2 + a = 0
V nasledujúcom príklade nájdete informácie o tom, ako vyriešiť túto rovnicu.
- Príklad
Vyriešte rovnicu x4 - 10x2 + 9 = 0.
Na vyriešenie rovnice použijeme nasledujúcu neznámu zmenu a kedykoľvek bude mať rovnica štvorcový tvar, urobíme túto zmenu.
X2 = str
Z bi-kvadratickej rovnice si všimnite, že x4 = (x2)2 a preto musíme:
X4 - 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Vidíme, že teraz máme polynomiálnu rovnicu druhého stupňa a môžeme použiť Bhaskarovu metódu, napríklad takto:
Musíme si však uvedomiť, že na začiatku cvičenia došlo k neznámej zmene, takže musíme použiť hodnotu zistenú pri zámene.
X2 = str
Pre p = 9 musíme:
X2 = 9
x ‘= 3
alebo
x ‘‘ = - 3
Pre p = 1
X2 = 1
x ‘= 1
alebo
x ‘‘ = - 1
Preto je množina riešení rovnice štvorca:
S = {3, –3, 1, –1}
Prečítajte si tiež: Briot-Ruffiniho praktické zariadenie - rozdelenie polynómov
Základná veta o algebre (TFA)
Základná veta o algebre (TFA), ktorú dokázal Gauss v roku 1799, uvádza, že každá nasledujúca polynomiálna rovnica má najmenej jeden komplexný koreň.
Koreňom polynomiálnej rovnice je jej riešenie, to znamená, že neznáma hodnota robí rovnosť pravdivou. Napríklad rovnica prvého stupňa má už určený koreň, rovnako ako rovnica druhého stupňa, ktorá má najmenej dva korene, a štvorcový štvorec, ktorý má najmenej štyri korene.
vyriešené cviky
Otázka 1 - Určte hodnotu x, ktorá robí rovnosť pravdivou.
2x - 8 = 3x + 7
Rozhodnutie
Upozorňujeme, že na vyriešenie rovnice je potrebné ju usporiadať, to znamená ponechať všetky neznáme na ľavej strane rovnosti.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Princípom ekvivalencie môžeme vynásobiť obe strany rovnosti rovnakým číslom, a keďže chceme zistiť hodnotu x, vynásobíme obe strany číslom –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
otázka 2 - Marcos má o 20 $ viac ako João. Spoločne sa im podarilo kúpiť dva páry tenisiek, pričom každý pár stál R $ 80 a bez peňazí. Koľko realít má John?
Rozhodnutie
Zvážte, že Mark má x reais, keďže John má o 20 reais viac, takže má x + 20.
Známky → x skutočných
João → (x + 20) reais
ako kupovali dva páry tenisiek ktoré stoja 80 každý, takže ak spojíme časti každého z nich, budeme musieť:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Preto mal Mark 70 realov a João 90 reaisov.
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
