Algebra je to odvetvie matematiky, ktoré zovšeobecňuje aritmetiku. To znamená, že koncepty a operácie z aritmetiky (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie) budú testované a ich účinnosť bude preukázaná pre všetky čísla patriace do určitých množín číselný.
Funguje napríklad operácia „sčítania“ skutočne na všetkých číslach patriacich do množiny prirodzených čísel? Alebo existuje nejaké veľmi veľké prirodzené číslo blízke nekonečnu, ktoré sa po sčítaní chová odlišne od ostatných? Odpoveď na túto otázku dáva algebra: Najprv sa definuje množina prirodzených čísel a operácia sa pridá; potom je dokázané, že operácia sčítania funguje pre akékoľvek prirodzené číslo.
USA algebrické štúdie, písmená sa používajú na vyjadrenie čísel. Tieto písmená môžu predstavovať neznáme čísla alebo ľubovoľné čísla patriace do číselnej množiny. Ak je napríklad x párne číslo, potom x môže byť 2, 4, 6, 8, 10,... Týmto spôsobom je x akékoľvek číslo patriace do množiny párnych čísel a je zrejmé, čo je to číslo x: násobok 2.
Vlastnosti matematických operácií
S vedomím, že každé číslo patriace do množiny môže byť reprezentované písmenom, považujte čísla x, yaz za patriace do množiny čísel. reálny a operácie dodatok a násobenie reprezentované znakmi „+“ a „·“. Nasledujúce vlastnosti sú teda platné pre x, yaz:
1 - Asociativita
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - komutatívnosť
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - Existencia neutrálneho prvku (1 pre násobenie a 0 pre sčítanie)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Existenciaopačného (alebo symetrického) prvku.
x + (–x) = 0
X· 1 = 1
X
5 - Distribúcia (nazýva sa tiež distribučná vlastnosť násobenia nad sčítaním)
x · (y + z) = x · y + x · z
Títo päť nehnuteľností sú platné pre všetky reálne čísla x, yaz, pretože tieto písmená boli použité na vyjadrenie ľubovoľného reálneho čísla. Sú tiež platné pre operácie sčítania a násobenia.
algebraické výrazy
V matematike výraz je postupnosť matematických operácií vykonaných s niektorými číslami. Napríklad: 2 + 3 - 7 je číselný výraz. Keď tento výraz obsahuje neznáme čísla (neznáme), je volaný algebraický výraz. Algebraický výraz, ktorý má iba jeden výraz, sa nazýva monomium. akýkoľvek algebraický výraz ktorý je výsledkom sčítania alebo odčítania medzi dvoma monomiálmi, sa nazýva polynóm.
algebraické výrazy, monomiály a polynómy sú príkladmi prvkov patriacich do algebry, pretože sú tvorené z operácií vykonaných s neznámymi číslami. Pamätajte, že neznáme číslo môže predstavovať akékoľvek číslo v číselnej množine.
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
Rovnice
Rovnice oni sú algebraické výrazy ktorí majú rovnosť. Teda rovnica je to obsah matematiky, ktorý spája čísla s neznámymi prostredníctvom rovnosti.
Prítomnosť neznámeho je to, čo klasifikuje rovnica ako algebraický výraz. Prítomnosť rovnosti umožňuje nájsť riešenie rovnice, teda číselnej hodnoty neznáma.
Príklady
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Úlohy
Formálna definícia funkcie je nasledovná: okupácia je to pravidlo, ktoré spája každý prvok množiny s jedným prvkom druhej množiny.
Toto pravidlo je matematicky reprezentované algebraickým výrazom, ktorý má rovnosť, ale ktorý spája neznáme s neznámym. Toto je rozdiel medzi funkciou a rovnicou: rovnica sa týka neznámeho a pevného čísla; o okupácia, neznáme predstavuje celú číselnú množinu. Z tohto dôvodu sa neznáme vo funkciách nazývajú premenné, pretože môžu mať akúkoľvek hodnotu v množine, ktorú reprezentujú.
Pretože obsahuje algebraické výrazy, okupácia je to tiež obsah patriaci do Algebry, pretože písmená predstavujú akékoľvek číslo patriace do ľubovoľnej množiny čísel.
Príklady:
1) Uvažujme funkciu y = x2, kde x je ľubovoľné Reálne číslo.
V tomto okupácia, premenná x môže mať akúkoľvek hodnotu z množiny reálnych čísel. Pretože pravidlo spájajúce čísla predstavované x s číslami predstavovanými y je základná matematická operácia, tak y predstavuje aj reálne čísla. Jediným detailom je, že y nemôže v tejto funkcii predstavovať záporné skutočné číslo, pretože y je výsledkom exponentovej sily 2, ktorá bude mať vždy pozitívny výsledok.
2) Uvažujme funkciu y = 2x, kde x je a prirodzené číslo.
V tomto okupácia, môže premenná x nabrať akúkoľvek hodnotu v rámci sady prirodzených čísel. Tieto čísla sú kladné celé čísla, takže hodnoty, ktoré môže mať y, sú prirodzené čísla násobky 2. Týmto spôsobom je y zástupcom množiny párnych čísel.
Od klasickej algebry po abstraktnú algebru
Doteraz vymenované koncepty tvoria klasická algebra. Táto časť algebry je viac spojená so súbormi prirodzených, celých, racionálnych, iracionálnych, skutočných a komplexných čísel a študuje sa na základnej aj vysokej škole. Druhá časť algebry, známa ako abstraktná, študuje tieto rovnaké štruktúry, ale pre všetky množiny.
Teda vzhľadom na ľubovoľnú množinu s ľubovoľnými prvkami (číslami alebo bez nich) je možné definovať operáciu „sčítanie“, operáciu „násobenie“ a overenie existencie alebo neexistencie vlastností týchto operácií, ako aj platnosti „rovníc“, „funkcií“, „polynómov“ atď.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
