THE aritmetická postupnosť (AP) je číselná postupnosť ktoré používame na opis správania určitých javov v matematike. V PA je rast alebo rozpad je vždy konštantný, to znamená, že od jedného pojmu k druhému bude rozdiel vždy rovnaký a tento rozdiel sa nazýva dôvod.
V dôsledku predvídateľné správanie progresie, môžete to opísať zo vzorca známeho ako všeobecný termín. Z toho istého dôvodu je tiež možné vypočítať súčet podmienok PA pomocou špecifického vzorca.
Prečítajte si tiež: Geometrický postup - ako vypočítať?
Čo je to PA?
Pochopenie, že PA je sledom pojmov, v ktorých rozdiel medzi pojmom a jeho predchádzajúcim výrazom je vždy konštantný, aby sme opísali tento postup zo vzorca, musíme nájsť začiatočný výraz, príp tj. prvý člen progresie a jeho dôvod, ktorým je tento konštantný rozdiel medzi podmienky.
Všeobecne možno povedať, že PA sa píše nasledovne:
(The1, a2,3, a4,5, a6,7, a8)
Prvý termín je a1 a z toho do pridať dôvod r, poďme nájsť nástupnícke podmienky.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Aby sme teda mohli napísať aritmetický postup, musíme vedieť, kto a prečo je prvý termín.
Príklad:
Napíšme prvých šesť výrazov AP s vedomím, že jeho prvý člen je 4 a jeho pomer sa rovná 2. poznať1 = 4 a r = 2, dospeli sme k záveru, že táto progresia začína na 4 a zvyšuje sa z 2 na 2. Preto môžeme opísať jeho pojmy.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Tento BP sa rovná (4,6,8,10,12,14…).
Všeobecné funkčné obdobie PA
Popis PA zo vzorca nám uľahčí hľadanie akýchkoľvek jeho výrazov. Na vyhľadanie ľubovoľného výrazu AP použijeme nasledujúci vzorec:
Theč= a1 + r · (n-1) |
N → je poloha výrazu;
The1→ je prvý termín;
r → dôvod.
Príklad:
Nájdi to všeobecné funkčné obdobie PO (1,5,9,13, ...) a 5., 10. a 23. volebné obdobie.
1. krok: nájdi dôvod.
Ak chcete zistiť pomer, jednoducho vypočítajte rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi: 5 - 1 = 4; potom v tomto prípade r = 4.
2. krok: najdi obecny pojem.
Ako vieme, že1= 1 a r = 4, dosadme do vzorca.
Theč= a1 + r (n - 1)
Theč= 1 + 4 (n - 1)
Theč= 1 + 4n - 4
Theč= 4n - 3 → všeobecný termín PA
3. krok: ak poznáme všeobecný pojem, vypočítajme 5., 10. a 23. termín.
5. volebné obdobie → n = 5
Theč= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. volebné obdobie → n = 10
Theč= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. volebné obdobie → n = 23
Theč= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Typy aritmetických postupov
Existujú tri možnosti pre PA. Môže byť rastúci, klesajúci alebo konštantný.
Rastie
Ako naznačuje názov, aritmetická postupnosť sa zvyšuje, keď s pribúdajúcimi termínmi rastie aj ich hodnota., to znamená, že druhý člen je väčší ako prvý, tretí je väčší ako druhý atď.
Aby sa tak stalo, musí byť pomer kladný, to znamená, že PA sa zvyšuje, ak r> 0.
Príklady:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
zostupne
Ako naznačuje názov, aritmetický postup klesá, keď s pribúdajúcimi termínmi klesá ich hodnota, to znamená, že druhý člen je menší ako prvý, tretí je menší ako druhý atď.
The1 > the2 > the3 > the4 > …. > theč
Aby sa tak stalo, musí byť pomer záporný, to znamená, že PA sa zvyšuje, ak r <0.
Príklady:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Neustále
Aritmetický postup je konštantný, keď s pribúdajúcimi termínmi zostáva hodnota rovnaká., to znamená, že prvý člen sa rovná druhému, ktorý sa rovná tretiemu atď.
The1 =2 =3 =4 = …. = ač
Aby bol PA konštantný, musí sa pomer rovnať nule, teda r = 0.
Príklady:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Pozri tiež: Súčet výrazov PG - aký je vzorec?
Vlastnosti PA
1. majetok
Pri akomkoľvek termíne PA sa priemer aritmetika medzi jeho nástupcom a predchodcom sa rovná tomuto pojmu.
Príklad:
Zvážte postupnosť (-1, 2, 5, 8, 11) a termín 8. Priemer medzi 11 a 5 sa rovná 8, to znamená, že súčet nasledovníka s predchodcom čísla v PA sa vždy rovná tomuto číslu.
2. nehnuteľnosť
Súčet ekvidištančných výrazov je vždy rovnaký.
Príklad:
Súčet podmienok PA
Predpokladajme, že chceme pridať šesť výrazov BP uvedených vyššie: (16,13,10,7,4,1). Môžeme jednoducho pridať ich výrazy - v takom prípade je to málo výrazov, je to možné - ale ak je to tak dlhší reťazec, mali by ste použiť vlastnosť. Vieme, že súčet ekvidištančných členov je vždy rovnaký, ako sme to videli na vlastnosti, takže ak to vykonáme sčítať raz a vynásobiť polovicou množstva termínov, máme tu súčet prvých šiestich termínov z PAN.
Všimnite si, že v príklade by sme počítali súčet prvého a posledného, ktorý sa rovná 17, vynásobený polovicou množstva výrazov, to znamená 17-krát 3, čo sa rovná 51.
Vzorec súčet podmienok PA vyvinul ho matematik Gauss, ktorý túto symetriu realizoval v aritmetických postupoch. Vzorec je napísaný takto:
sč → súčet n prvkov
The1 → prvé volebné obdobie
Theč → posledné volebné obdobie
n → počet výrazov
Príklad:
Vypočítajte súčet nepárnych čísel od 1 do 2000.
Rozhodnutie:
Vieme, že táto sekvencia je PA (1,3,5,... 1997, 1999). Vykonať súčet by bolo veľa práce, takže vzorec je celkom vhodný. Od 1 do 2000 je polovica čísel nepárnych, takže ich je 1000.
Údaje:
n → 1 000
The1 → 1
Theč → 1999
Tiež prístup: Súčet konečných PG - ako na to?
Interpolácia aritmetických priemerov
Ak poznáme dve za sebou nasledujúce pojmy aritmetickej postupnosti, je možné nájsť všetky pojmy, ktoré spadajú medzi tieto dve čísla, čo poznáme ako interpolácia aritmetických priemerov.
Príklad:
Interpolujme 5 aritmetických priemerov medzi 13 a 55. To znamená, že existuje 5 čísel medzi 13 a 55 a tvoria postupnosť.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Na vyhľadanie týchto čísel je potrebné nájsť dôvod. Poznáme prvý termín (ďalej len1 = 13) a tiež 7. volebné obdobie (7= 55), ale vieme, že:
Theč =1 + r · (n - 1)
Keď n = 7 → ač= 55. Poznáme tiež hodnotu a1=13. Ak ho dosadíme do vzorca, musíme:
55 = 13 + r. (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Ak poznáme dôvod, môžeme nájsť výrazy v rozmedzí 13 až 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
vyriešené cviky
Otázka 1 - (Enem 2012) - Hranie kariet je aktivita, ktorá stimuluje uvažovanie. Tradičnou hrou je Solitaire, ktorá využíva 52 kariet. S kartami je pôvodne vytvorených sedem stĺpcov. Prvý stĺpec má jednu kartu, druhý má dve karty, tretí má tri karty, štvrtý má štyri karty atď postupne do siedmeho stĺpca, ktorý má sedem kariet a čo tvorí kôpku, čo sú nepoužité karty v stĺpce.
Počet kariet, z ktorých sa hromada skladá, je:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Rozhodnutie
Alternatíva B.
Najskôr si spočítajme celkový počet použitých kariet. Pracujeme s AP, ktorého prvé volebné obdobie je 1 a pomer je tiež 1. Takže po výpočte súčtu 7 riadkov je posledný člen 7 a hodnota n tiež 7.
Vediac, že celkový počet použitých kariet bol 28 a že je ich 52, hromadu tvoria:
52 - 28 = 24 kariet
Otázka 2 - (Enem 2018) Radnica malého mesta vo vnútrozemí sa rozhodne umiestniť okolo stĺpy na osvetlenie po rovnej ceste, ktorá začína na centrálnom námestí a končí na farme v tejto oblasti. vidiecky. Pretože námestie už má osvetlenie, prvý stĺp bude umiestnený 80 metrov od námestia, druhý na 100 metrov, tretí na 120 metrov atď. postupne vždy udržiavať vzdialenosť 20 metrov medzi stĺpikmi, až kým posledný stĺpik nebude umiestnený vo vzdialenosti 1 380 metrov od stĺpikov. námestie.
Ak mesto môže zaplatiť maximálne 8 000,00 R za umiestnené miesto, najvyššia suma, ktorú môžete minúť za umiestnenie týchto miest, je:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) 528 000,00 R $.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Rozhodnutie
Alternatíva C.
Vieme, že stĺpiky budú umiestnené každých 20 metrov, teda r = 20, a že prvý termín tohto PA je 80. Vieme tiež, že posledný výraz je 1380, ale nevieme, koľko výrazov je medzi 80 a 1380. Na výpočet tohto počtu výrazov použijeme všeobecný výrazový vzorec.
Údaje: ač = 1380; The1=80; a r = 20.
Theč= a1 + r · (n-1)
Bude umiestnených 660 príspevkov. Ak každý z nich bude stáť maximálne 8 000 R dolárov, najvyššia suma, ktorá sa môže minúť na umiestnenie týchto príspevkov, je:
66· 8 000 = 528 000
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
