Vieme ako opakované usporiadanie alebo úplné usporiadanie, všetky usporiadané preskupenia, s ktorými môžeme vytvoriť k prvky súpravy s č prvkov s prvkom č sa môžu objaviť viackrát. THE kombinatorická analýza je oblasť matematiky, ktorá rozvíja techniky počítania s cieľom zistiť množstvo možností zoskupenia v určitých situáciách.
Medzi týmito zoskupeniami je usporiadanie s opakovaním, ktoré je prítomné napríklad v vytváranie hesiel, ŠPZmedzi ostatnými. Na riešenie týchto situácií použijeme vzorec usporiadania s opakovaním ako technikou počítania. Existujú rôzne vzorce pre výpočet opakujúceho sa usporiadania a neopakujúceho sa usporiadania, preto je dôležité vedieť, ako každú z týchto situácií rozlíšiť, aby bolo možné použiť správnu techniku počítania.
Prečítajte si tiež: Základný princíp počítania - hlavný koncept kombinatorickej analýzy
Čo je to usporiadanie s opakovaním?
![Existuje výroba s opakovaním pri výrobe plechov vozidla. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
V každodennom živote sa stretávame so situáciami, ktoré zahŕňajú sekvencie a zoskupenia, ktoré sa objavujú v vyberajte heslá zo sociálnych sietí alebo bánk a tiež z telefónnych čísel alebo situácií, ktoré s tým súvisia fronty. Sme obklopení situáciami, ktoré zahŕňajú tieto zoskupenia.
Napríklad na ŠPZ, ktoré sú tvorené tromi písmenami a štyrmi číslami, je a jedinečný reťazec podľa stavu, ktorý identifikuje každé z automobilov, v tomto prípade pracujeme dojednania. Pokiaľ je možné prvky opakovať, pracujeme s úplným usporiadaním alebo usporiadaním s opakovaním.
Vzhľadom na sadu s č prvky, poznáme ako usporiadanie s opakovaním všetky zoskupenia, s ktorými sa môžeme vytvoriť k jej prvky nastaviť, kde sa prvok môže opakovať viackrát. Napríklad na ŠPZ vozidiel je to počet možných ŠPZ, ktoré môžeme vytvoriť berúc do úvahy, že majú tri písmená a štyri čísla a že písmená a čísla sa môžu opakovať.
Na výpočet počtu možných opakujúcich sa usporiadaní používame veľmi jednoduchý vzorec.
Usporiadanie vzorec s opakovaním
Ak chcete zistiť celú sumu dojednania, č odlišné prvky prevzaté z k v
oh, v danej situácii, ktorá umožňuje opakovanie prvku, použijeme nasledujúci vzorec:
VZDUCHč,k = čk
AR → usporiadanie s opakovaním
č → počet prvkov v množine
k → počet prvkov, ktoré budú vybrané
Pozri tiež: Jednoduchá kombinácia - spočítajte všetky podmnožiny danej množiny
Ako vypočítať číslo opakujúcej sa dohody
Ak chcete lepšie pochopiť, ako použiť vzorec opakovaného usporiadania, pozrite si príklad nižšie.
Príklad 1:
Heslo banky má päť číslic zložených výlučne z čísel, aký je počet možných hesiel?
Vieme, že heslo je päťmiestny reťazec a že neexistuje nijaké obmedzenie opakovania, takže vzorec usporiadania použijeme s opakovaním. Užívateľ si musí zvoliť spomedzi 10 číslic, ktoré budú tvoriť každú z piatich číslic tohto hesla, to znamená, že chceme vypočítať usporiadanie s opakovaním 10 prvkov prijatých každých päť.
VZDUCH10,5 = 105 = 10.000
Existuje teda 10 000 možností hesla.
Príklad 2:
Koľko poznávacích značiek vozidla je tvorených tromi písmenami a štyrmi číslicami, koľko poznávacích značiek je možné vytvoriť?
Naša abeceda sa skladá z 26 písmen a existuje 10 možných čísel, takže sa poďme rozdeliť do dvoch úplných polí a nájdeme počet možných polí pre písmená a čísla.
VZDUCH26,3 = 26³ = 17.576
VZDUCH10,4 = 104 = 10.000
Celkový počet možných opatrení je teda:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Rozdiel medzi jednoduchým a opakovaným usporiadaním
Pre riešenie problémov týkajúcich sa danej témy je nevyhnutné odlíšiť jednoduché usporiadanie od opakovania. Dôležité pre diferenciáciu je uvedomiť si, že keď máme do činenia so situáciou, v ktorej existujú preskupenia, ktorých poradie je dôležité, je to dohody, a ak tieto preskupenia pripúšťajú opakovanie medzi výrazmi, je to dohoda s opakovaním, známa tiež ako dohoda kompletný. Ak preskupenie neumožňuje opakovanie, je to o jednoduché usporiadanie.
Vzorec pre jednoduché usporiadanie sa líši od vzorca, ktorý používame pre opakované usporiadanie.
Príklady opakovaného usporiadania sme videli už skôr, teraz si pozrieme príklad jednoduchého usporiadania
Príklad:
Paulo chce položiť na svoju poličku tri zo svojich 10 školských kníh, ktoré sa navzájom líšia, koľko spôsobov môže tieto knihy usporiadať?
Upozorňujeme, že v tomto prípade je dôležité poradie, ale nedochádza k opakovaniu, pretože ide o jednoduché usporiadanie. Aby sme zistili počet možných zoskupení, musíme:
Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o tejto inej forme zoskupovania použitej v kombinatorickej analýze, prečítajte si text: THEjednoduché usporiadanie.
Vyriešené úlohy:
Otázka 1 - (Enem) Banka požiadala svojich klientov, aby si vytvorili osobné šesťciferné heslo pozostávajúce iba z čísel od 0 do 9, aby sa dostali na bežný účet cez internet. Špecialista na elektronické bezpečnostné systémy však odporučil, aby vedenie banky požiadalo o opätovnú registráciu svojich používateľov každé z nich, vytvorenie nového hesla so šiestimi číslicami, ktoré teraz umožňuje používať okrem číslic od 0 do 26 aj 26 písmen abecedy 9. V tomto novom systéme sa každé veľké písmeno považovalo za odlišné od verzie s malými písmenami. Okrem toho bolo zakázané použitie iných typov znakov.
Jedným zo spôsobov, ako vyhodnotiť zmenu v systéme hesiel, je skontrolovať koeficient zlepšenia, čo je dôvod nového počtu možností hesla vo vzťahu k starému. Odporúčaný koeficient zlepšenia zmeny je:
Rozhodnutie
Alternatíva A
Staré heslo je pole s opakovaním, pretože sa môže skladať zo všetkých čísel, takže ide o pole 10 prvkov každých šesť.
VZDUCH10,6 = 106
Nové heslo môže obsahovať 10 číslic a tiež veľké písmená (26 písmen) a malé písmená (26 písmen), takže heslo má pre každú číslicu spolu 10 + 26 + 26 = 62 možnosti. Pretože existuje šesť číslic, vypočítame usporiadanie s opakovaním 62 prvkov prijatých každých šesť.
VZDUCH62,6 = 626
THE dôvod z nového počtu možností hesla v porovnaní so starým sa rovná 626/106.
Otázka 2 - (Enem 2017) Spoločnosť vybuduje svoju webovú stránku a dúfa, že priláka publikum približne jedného milióna zákazníkov. Na prístup na túto stránku budete potrebovať heslo vo formáte, ktorý určí spoločnosť. Programátor ponúka päť možností formátovania, ktoré sú popísané v tabuľke, kde „L“ a „D“ predstavujú veľké písmeno a číslica.
Písmená abecedy, medzi 26 možnými, ako aj číslice medzi 10 možnými, sa môžu opakovať v ktorejkoľvek z možností.
Spoločnosť chce zvoliť formát, ktorého počet možných odlišných hesiel je väčší ako očakávaný počet zákazníkov, ale tento počet nepresahuje dvojnásobok očakávaného počtu zákazníkov.
Rozhodnutie
Alternatíva E
Výpočtom každej z možností chceme nájsť heslo, ktoré má viac ako milión možností a menej ako dva milióny možností.
I → LDDDDD
26 ·105 je viac ako dva milióny, takže nevyhovuje požiadavke spoločnosti.
II → DDDDDD
106 sa rovná jednému miliónu, takže nevyhovuje požiadavke spoločnosti.
III → LLDDDD
26² · 104 je viac ako dva milióny, takže nevyhovuje požiadavke spoločnosti.
IV → DDDDD
105 je to necelý milión, takže nevyhovuje požiadavke spoločnosti.
V → LLLDD
26³ · 10² je medzi miliónom a dvoma miliónmi, takže táto šablóna hesla je ideálna.
Kredit na obrázok
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm